2022年浙江省杭州市余杭镇第一中学高三数学理测试题含解析

2022年浙江省杭州市余杭镇第一中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（

） A．

B．4

C．1 D．一1参考答案：B略2.已知实数满足，则目标函数的最大值为（）A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.已知函数为奇函数，，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知正数x，y，z满足，则下列结论不可能成立的是A.

B.

C.D.参考答案：B设，则，，，故时，；时，；时，.故选B.5.已知集合为A. B. C. D.参考答案：B略6.已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据正三角形的边长，确定三角函数的A和ω，即可求出函数f（x），g（x）的解析式，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．【解答】解：∵△EFG是边长为2的正三角形，∴三角形的高为，即A=，函数的周期T=2FG=4，即T==4，解得ω==，即f（x）=Asinωx=sin（x﹣），g（x）=sinx，由于f（x）=sin（x﹣）=sin[（x﹣）]，故为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象向左平移个长度单位．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．7.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8π B．16π C．32π D．64π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2，故外接球的表面积S=4πR2=32π，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，，则参考答案：D【分析】由空间线面、面面平行的性质和判定逐一判断各选项即可.【详解】A,若，,则或，故A不正确.B,若，，，则或与相交，故B不正确.C，若，，则或，故C不正确.D,如图，由可得，易证，故D正确.【点睛】本题考查空间线面的位置关系.使用空间线面、面面平行(垂直)的判定定理和性质定理时，一定要保证条件完整才能推出结论.9.已知集合，，则（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B10.在直角三角形中，，取点，使那么A．3

B．6

C．-3

D

-6，参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若,则

参考答案：312.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是

．参考答案：由题意得，直线与椭圆方程联立可得，，由可得，，，则，由可得，则．13.的展开式中的系数为

．参考答案：4，所以展开式中的系数为

14.设数列满足对任意的，满足，且，则数列的前n项和为__________.参考答案：试题分析：由得以及，故，，则，故其前项和，故答案为.

15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinB﹣asinA=asinC，且△ABC的面积为a2sinB，则cosB=．参考答案：

【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】由正弦定理化简已知的式子，结合条件和三角形的面积公式列出方程化简后，得到三边a、b、c的关系，由余弦定理求出cosB的值．【解答】解：∵bsinB﹣asinA=asinC，∴由正弦定理得，b2﹣a2=ac，①∵△ABC的面积为a2sinB，∴，则c=2a，代入①得，b2=2a2，由余弦定理得，cosB===，故答案为：．16.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数b满足，则实数b的取值范围是．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】函数f（x）是定义在R上的偶函数，实数b满足，可得f（|log2b|）≤f（1），利用f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，可得|log2b|≤1，即可求出实数b的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，实数b满足，∴f（|log2b|）≤f（1），∵f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴|log2b|≤1，∴﹣1≤log2b≤1，∴b∈，故答案为．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性、单调性和运用，考查对数不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．17.已知抛物线的焦点F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是

．参考答案：抛物线的焦点，设，，则，当直线斜率不存在时，，当直线斜率存在时，设直线的方程为，代入得，，，当且仅当时取等号．∴的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，将△ABC沿中位线DE翻折，得到如图2所示的空间图形（∠ADB为锐角）．（1）求证：BC⊥平面ABD；（2）若BC=2，当三棱锥A﹣BCE的体积为时，求∠ABD的大小．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）证明：DE⊥平面ADB，DE∥BC，即可证明BC⊥平面ABD；（2）求出A到平面BCE的距离，即可求∠ABD的大小．【解答】（1）证明：由题意，DE∥BC，∵DE⊥AD，DE⊥BD，AD∩BD=D，∴DE⊥平面ADB，∴BC⊥平面ABD；（2）解：由题意，S△BCE==1，设A到平面BCE的距离为h，则=，∴h=∵AD=1，∴sin∠ABD=，∴∠ABD=60°．19.（本小题满分12分）已知是等差数列，公差，是方程的两根，数列的前项和为，且（1）求数列，的通项公式；（2）记，求数列的前项和．参考答案：解（1）由a2+a5=12，a2?a5=27，且d＞0，得a2=3，a5=9，∴d==2，a1=1，∴an=2n﹣1，…………2分在Tn=1﹣bn，令n=1，得b1=，

…………3分当n≥2时，Tn=1﹣bn，Tn﹣1=1﹣，…………4分两式相减得，（n≥2），∴=

（n∈N+）．…………6分（2）=，…………7分∴Sn=2（），∴Sn=2（），两式相减可解得

Sn=2﹣．

…………12分20.选修4-5：不等式选讲不等式对任意实数恒成立，实数的取值范围为_______.参考答案：根据函数的几何意义知：。要使不等式对任意实数恒成立，只需，即，解得，所以实数的取值范围为。21.【选修4－5：不等式选讲】已知，不等式的解集为.(1)求;(2)当时，证明：.参考答案：略22.如图，直线经过⊙上的点，并且⊙