2021年湖南省常德市中考数学试卷

2021年湖南省常德市中考数学试卷

一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

1.4的倒数为（）

A.AB.2C.1D.-4

4

2.若a>b,下列不等式不一定成立的是（)

A.a-5>b-5B.-5a<-5bC.A>kD.a+c>b+c

cc

3.一个多边形的内角和为1800°,则这个多边形的边数为（)

A.9B.10C.11D.12

4.下列计算正确的是（）

A.=Bc.a2+a2^=cr4

3

C.(d)2=a5D.———a(。#0)

2

a

5.舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越

冬的数量变化情况，以下是排乱的统计步骤：①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年

来当地避寒越冬的变化趋势；②从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地

避寒越冬的数量记录；③按统计表的数据绘制折线统计图；④整理中华秋沙鸭每年来当

地避寒越冬的数量并制作统计表.正确统计步骤的顺序是（）

A.②f③f①f④B.③f④一①f②C.①f②f④一③D.②f④f③f①

6.计算：（遥+1-1）•显1=（）

22_

A.0B.1C.2D.遥T

2

1.如图，已知尺E分别是正方形4BC。的边48与BC的中点，AE与DF交于P.则下列

结论成立的是（

A.BE=LAEB.PC=PD

2

C.NE4F+N4尸。=90°D.PE=EC

8.阅读理解：如果一个正整数机能表示为两个正整数小匕的平方和，即,"=/+廿，那么

称“为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③

两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数.依次正确的

是（）

A.②④B.①②④C.①②D.①④

二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

9.不等式2x-3>x的解集是.

10.今年5月II日，国家统计局公布了第七次全国人口普查的结果，我国现有人口141178

万人.用科学记数法表示此数为.

11.在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个

人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是班.

人数平均数中位数方差

甲班45829119.3

乙班4587895.8

12.分式方程4+」_=x+2的解为_____

XX-1X（X-1）

13.如图，已知四边形A8C。是圆。的内接四边形，NBO£>=80°,则

14.如图，在△ABC中，/C=90°,AD平分NCAB,DELABE,若CD=3,BD=5,

则BE的长为

D

15.刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中工为红珠，工为绿珠,

64

有8个黑珠.问刘凯的蓝珠最多有个.

16.如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1X1个小

正方形，所有线段的和为4,第二个图形有2X2个小正方形，所有线段的和为12,第三

个图形有3义3个小正方形，所有线段的和为24,按此规律，则第"个网格中所有线段的

和为.（用含〃的代数式表示）

三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）

17.计算：20210+3一%«-心出45°.

18.解方程:x2,-x-2=0.

四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）

19.化简：（」_+且过）+引电.

a_l42_]a-l

20.如图，在RtZVIOB中，AO±BO,轴，。为坐标原点，A的坐标为（/?,遂）,

反比例函数yi=3■的图象的一支过4点，反比例函数”=丝的图象的一支过3点，过

xx

A作AHLx轴于“，若△A0”的面积为返.

2

（1）求〃的值；

（2）求反比例函数”的解析式.

五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）

21.某汽车贸易公司销售4、8两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B

型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台8型车，可获利3.1万元，

销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元.

（1）求销售一台A型、一台3型新能源汽车的利润各是多少万元？

（2）该公司准备用不超过300万元资金，采购4、8两种新能源汽车共22台，问最少需

要采购A型新能源汽车多少台？

22.今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗

前举行了升旗仪式.仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗。处的仰角为

45°,站在同一队列8处的小刚测得国旗C处的仰角为23°,己知小明目高4E=1.4米，

距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高8尸=1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CO

是多少米？（最后结果保留一位小数）

(参考数据：sin230—.3907,cos23°=0.9205,tan230-0.4245)

六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）

23.我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医

院进行新冠疫苗接种.为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，

按接种情况可分如下四类：A类-接种了只需要注射一针的疫苗；B类一种了需要注射二

针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类-接接种了要注射三针，且每二针之间要

间隔一定时间的疫苗；。类-还没有接种.图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不

完整）.

请根据统计图回答下列问题

（1）此次抽样调查的人数是多少人？

（2）接种8类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？

（3）请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种.

（4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中

征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求

恰好抽到一男和一女的概率是多少.

24.如图，在Rt^ABC中，NABC=90°,以AB的中点。为圆心，AB为直径的圆交AC

于。，E是3c的中点，交8A的延长线于F.

（1）求证：尸。是圆。的切线：

（2）若BC=4,FB=8,求AB的长.

七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）

25.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形A8CZ）的AB边与y轴交于E点，F是

4。的中点，B、C、。的坐标分别为(-2,0),(8,0),(13,10).

(1)求过B、E、C三点的抛物线的解析式；

(2)试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；

(3)设过尸与AB平行的直线交y轴于Q,M是线段EQ之间的动点，射线与抛物

线交于另一点p,当△P8。的面积最大时，求P的坐标.

26.如图1,在△ABC中，AB=AC,N是BC边上的一点，。为AN的中点，过点A作BC

的平行线交CD的延长线于T,且AT=BN,连接BT.

(1)求证：BN=CN；

(2)在图1中4V上取一点。，使AO=OC,作N关于边AC的对称点连接MT、

MO、OC、OT,CM得图2.

①求证：XTOMsXkOC；

②设力W与AC相交于点尸，求证：PD//CM,PD=ZCM.

2

2021年浙江省金华市中考数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）实数-工，■正＞,2,-3中，为负整数的是（）

2

A.-1B.-辰C.2D.-3

2

2.(3分)A+,2=()

aa

A.3B.Wc.—D.3

2aa2a

3.（3分）太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，其中数150000000用科学记数法

表示为（）

A.1.5X1O8B.15X107C.1.5X107D.0.15X109

4.（3分）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（）

-2-10123

A.x+2>0B.Jt-2<0C.2在4D.2-x<0

5.（3分）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（）

如图，已知直线/1,12,13,U.若/1=/2,则/3=N4.

请完成下面的说理过程.

解：己知/1=N2,

根据（内错角相等，两直线平行）,得

再根据（:※），得/3=N4.

4

A.两直线平行，内错角相等

B,内错角相等，两直线平行

C.两直线平行，同位角相等

D.两直线平行，同旁内角互补

6.（3分）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（)

7.（3分）如图是一架人字梯，已知A2=AC=2米，AC与地面8c的夹角为a,则两梯脚

之间的距离8（^为（）

A

——w—

）.-

.raC，

BC

A.4cosa米B.4sina米C.4tana米D.——-——米

cosa

8.（3分）已知点A（xi,yi）,B（%2,y2）在反比例函数y=-的图象上.若xi<0<%2,

x

则（）

A.yi<0<y2B.y2<0<yiC.yi<”<0D.y2<yi<0

9.（3分）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最

低的是（）

A.先打九五折，再打九五折

B.先提价50%,再打六折

C.先提价30%,再降价30%

D.先提价25%,再降价25%

10.（3分）如图，在RtZVIBC中，ZACB=90°,以该三角形的三条边为边向形外作正方

形，正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上.记该圆面积为Si,△ABC面

积为52,则包的值是（）

S2

C.5TiD.¥

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11.（4分）二次根式子言中，字母x的取值范围是.

12.（4分）己知是方程3x+2y=10的一个解，则根的值是____.

IV=m

13.（4分）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三

等奖80个.已知每张奖券获奖的可能性相同，则I张奖券中一等奖的概率

是.

14.（4分）如图，菱形ABC。的边长为6cm,NB">=60°,将该菱形沿AC方向平移2小m

得到四边形A'B'CD',A'D'交CO于点E,则点E到AC的距离为cm.

15.（4分）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边8C

及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖A的横坐标是

1,则“猫”爪尖尸的坐标是.

16.（4分）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条8c上的点P处安装

一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D,从4点发出的光束经平面镜P反射后，在

MV上形成一个光点E.已知AB_LBC,MNLBC,AB=6.5,BP=4,PD=8.

Cl）ED的长为.

（2）将木条8C绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC'（如图2）,点P的对应点

为P',BC与的交点为》,从4点发出的光束经平面镜P'反射后，在MN上

图1图2

三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）

17.（6分）计算：（-1）202'+V8-4sin45°+|-2|.

18.（6分）已知x=工，求（3x7）2+（l+3x）（1-3x）的值.

6

19.（6分）已知：如图，矩形ABCQ的对角线AC,8。相交于点。，ZBOC=120°,AB

—2.

（1）求矩形对角线的长.

（2）过。作。于点E,连结BE.记NABE=a,求tana的值.

20.（8分）小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测

试了6次，获得如图测试成绩折线统计图.根据图中信息，解答下列问题：

（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量.

（2）求小聪成绩的方差.

（3）现求得小明成绩的方差为S小明2=3（单位：平方分）.根据折线统计图及上面两小

题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由.

小聪、小明6次测试成绩统计图

21.(8分)某游乐场的圆形喷水池中心。有一雕塑04,从4点向四周喷水，喷出的水柱

为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点。为原点建立直角坐标系，点A

在y轴上，x轴上的点C,。为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数

表达式为＞=-1(x-5)2+6.

6

(1)求雕塑高0A.

(2)求落水点C,O之间的距离.

(3)若需要在0£＞上的点E处竖立雕塑EF,OE=10，"，EF=L8，n,£7」。。.问：顶

部尸是否会碰到水柱？请通过计算说明.

22.(10分)在扇形A0B中，半径OA=6,点尸在OA上，连结PB,将408户沿户8折叠

得到△◊'BP.

(1)如图1,若NO=75°,且80'与蔡所在的圆相切于点8.

①求/4P0'的度数.

②求AP的长.

(2)如图2,B0'与众相交于点£),若点。为篇的中点，且P£＞〃08,求源的长.

图1图2

23.(10分)背景：点A在反比例函数y=K(&>0)的图象上，轴于点8,AC^y

轴于点C,分别在射线4C,8。上取点。，E,使得四边形ABEO为正方形.如图1,点

A在第一象限内，当AC=4时，小李测得C£>=3.

探究：通过改变点A的位置，小李发现点。，A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小

李解决下列问题.

(1)求A的值.

(2)设点A,。的横坐标分别为x,z,将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2,小李

画出了x>0时“Z函数”的图象.

①求这个“Z函数”的表达式.

②补画x<0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质(两条即可).

③过点(3,2)作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标.

乎

「JJ

-

£L13-

5x1-rnI-1

t-

*-7

I-I

mT-

I-I-

-T

-I

-X-

」

II-

I-X

，

图1图2

24.(12分)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-岳，0),点B在直线/：尸当上,

8

过点8作AB的垂线，过原点。作直线/的垂线，两垂线相交于点C.

(1)如图，点8,C分别在第三、二象限内，BC与4。相交于点。.

①若84=80,求证：CD=CO.

②若NCBO=45°,求四边形A80C的面积.

(2)是否存在点8,使得以A,B,C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB

的长；若不存在，请说明理由.

2021年浙江省金华市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

I.（3分）实数-工，-娓，2,-3中，为负整数的是（)

2

A.-AB.-C.2D.-3

2

【解答】解：A选项是负分数，不符合题意；

8选项是无理数，不符合题意；

C选项是正整数，不符合题意；

Q选项是负整数，符合题意；

故选：D.

2.（3分）2+2=（）

aa

A.3B.WC.—D.3

2aa2a

【解答】解：1+2=112=3.,

aaaa

故选：D.

3.（3分）太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，其中数150000000用科学记数法

表示为（）

A.1.5X108B.I5X107C.I.5X107D.0.15X109

【解答】解：150000000=1.5X1（）8,

故选：A.

4.（3分）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（）

-2-10123

A.JC+2>0B.x-2<0C.2x24D.2-JC<0

【解答】解：A、x>-2,故A错误；

B、x<2,故8正确;

C、x》2,故C错误;

D、x>2,故。错误.

故选:B.

5.（3分）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（)

如图，已知直线/1,12,13,14.若Nl=/2,则/3=/4.

请完成下面的说理过程.

解：己知/1=N2,

根据（内错角相等，两相线平行）,得

再根据（※"得N3=N4.

A.两直线平行，内错角相等

B.内错角相等，两直线平行

C.两直线平行，同位角相等

D.两直线平行，同旁内角互补

【解答】解：已知N1=N2,根据内错角相等，两直线平行，得力〃/2,

再根据两直线平行，同位角相等，得N3=N4.

故选：C

6.（3分）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（）

【解答】解：选项A、B、C均可能是该直棱柱展开图，而选项。中的两个底面会重叠,

不可能是它的表面展开图，

故选：D.

7.（3分）如图是一架人字梯，已知AB=AC=2米，AC与地面BC的夹角为a,则两梯脚

之间的距离8（7为（）

A

BC

A.4cosa米B.4sina米C.4tana米D.——冬—米

cosa

【解答】解：过点A作A。，3c于点。，

'：AB=AC=2米4）_L3C,

:.BD=DC、

•cc./y—DC—DC

AC2

:.£）C=2cosa（米），

/.BC=2DC=2,2cosa=4cosa（米）。

故选：A.

8.（3分）已知点A（xi,yi）,B（x2,”）在反比例函数y=-的图象上.若xiVOV必

x

贝|J（）

A.yi<0<y2B.y2<0<y\C.2VoD.”Vyi〈0

【解答】解：•:k=-12<0,

・,•双曲线在第二，四象限，

Vxi<0<%2,

・••点A在第二象限，点3在第四象限，

故选：B.

9.（3分）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最

低的是（）

A.先打九五折，再打九五折

B.先提价50%,再打六折

C.先提价30%,再降价30%

D.先提价25%,再降价25%

【解答】解：设商品原标价为〃元，

A.先打九五折，再打九五折的售价为：0.95X0.95a=0.9025a；

B.先提价50%,再打六折的售价为：（l+50%）X0.6a=0.9a；

C.先提价30%,再降价30%的售价为：（1+30%）（1-30%）a=0.91a；

。.先提价25%,再降价25%的售价为：（1+25%）（1-25%）。=0.9375”,

,.,0.9a<0.9025a<0.91a<0.9375a,

选项的调价方案调价后售价最低，

故选：B.

10.（3分）如图，在RtzMBC中,NAC8=90°,以该三角形的三条边为边向形外作正方

形，正方形的顶点E,F,G,hM,N都在同一个圆上.记该圆面积为Si,AABC面

积为52,则红的值是（）

$2

心

尸、一YE

B

AT3nC「.5<7TDc.—117——T

2

【解答】解：如图，

色

F----

设AB=c,AC=h,BC=a,

则a2+b2—c2,①

取AB的中点为。，

「△ABC是直角三角形，

•*.0A=OB=0C,

•.•圆心在MN和HG的垂直平分线上,

为圆心，

连接0G,0E,贝iJOG,0E为半径，

由勾股定理得：

222

r2=(a+y)+(y)=c2+(-1-)'②

由①②得a=b,

2

二丁九c

故选：C.

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11.（4分）二次根式行三中，字母x的取值范围是x\3.

【解答】解：当x-320时，二次根式J启有意义，

则123；

故答案为：

12.（4分）已知I、4是方程3X+2）=10的一个解，则死的值是2

代入方程得：

【解答】解：把'=23X2+2/?t=10,

•・加==2,

故答案为：2.

13.（4分）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三

等奖80个.已知每张奖券获奖的可能性相同，贝U1张奖券中一等奖的概率是

-30-

【解答】解：•.•共有150张奖券，一等奖5个,

•••1张奖券中一等奖的概率="_=上.

15030

故答案为：J_.

30

14.（4分）如图，菱形A8CZ）的边长为6的，N8AO=60°,将该菱形沿AC方向平移2行“

得到四边形A'B'CD',A'D'交CC于点E,则点£到AC的距离为2cm.

BB'

【解答】解：如图，连接8。,过点E作EFJ_AC于点尸,

D„D'

BBf

•・•四边形A8C。是菱形，

：.AD=AB,BD.LAC,

VZBAD=60°,

・・・三角形ABD是等边三角形，

「菱形ABCD的边长为6cm,

.*.AD=AB=BD=6cm,

:♦AG=GC=3，^cni),

.•・AC=6«(cM,

,**AA'—2A/3(C/W),

・・・4'C=4«(cm),

9：AD//ArE,

・A，E=CA，

ADAC

y

.AE=Ws

w

.\ArE=4(cm\

"：ZEA'尸=/OAC=J-/ZMB=30°,

：.EF=1A'E=2(cm).

2

故答案为：2.

15.（4分）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC

及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在〉轴上.若''猫"尾巴尖A的横坐标是

【解答】解：如图，作轴于H,过点F作轴于J交PQ于K，延长尸。交。8

于T.设大正方形的边长为4a,则0C=a,C£>=2a,

.\AH=AD=a,

：.OH=4a,

・・•点A的横坐标为1,

・・・4〃=1,

•〃=1

4

在RtA^PQ中，PF=FQ=2a=^

2

・・・尸。=亚"=率

:・PK=KQ,

・・・FK=PK=QK=返，

4

V/CJ=A,PT=T+（返』工返,

42222

FJ=^2.+X,KT=PT-PK=U返-返=工+返，

4422424

（一亚」工+返）.

4424_

故答案为：（-返-1,2+返）.

4424

16.（4分）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条BC上的点P处安装

一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为£>,从A点发出的光束经平面镜P反射后，在

MN上形成一个光点E.已知AB_LBC,MNLBC,AB=6.5,BP=4,PD=8.

（1）ED的长为13.

（2）将木条8c绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到8C'（如图2）,点P的对应点

为P,BC与MN的交点为。'，从A点发出的光束经平面镜尸'反射后，在MN上

图1图2

【解答】解：（1）如图，由题意可得，ZAPB=ZEPD,NB=NEDP=90°,

：.AABPsAEDP,

•M=BP,

"DEPD'

"：AB=6.5,BP=4,PD=8,

•••6---.-5_--4-,

DE8

：.DE=\3-,

故答案为：13.

(2)如图2,过点E'作/E'FG=/E'D'F,过点E'作E'GVBC'于点G,

M

图2

：.E'F=E'D',FG=GD',

'JAB//MN,

:.NABD'+ZE'D'B=180°,

AAABD'+ZE'FG=180°,

VZE'FB+ZE'FG=180°,

；./ABP'=NE'FP',

又NAP'B=NE'P'F,

：.AABP'sXe，FP',

.AB=BP，印6.5=4

，，E/FP'F'FTFT

设尸'F=4m,则E'F=6.5m,

：.E'D'=6.5%,

在RtZsB。。'中，NBDD'=90°,DD'=5,BD=BP+PD=V2,

由勾股定理可得，BD'=13,

：.cosABD'£>=巨,

13

在RtZXE'GD'中，cos/BD'D=-^.-=-L,

E'D'13

:.GD'=2.5机，

：.FG=GD'=2.5〃?，

•：BP'+P'F+FG+GD1=13,

，4+4〃?+25"+2.5/M=13,解得m=1,

：.E'D'=6.5,

：.EE'=DE+DD'-D'E'=13+5-6.5=11.5.

故答案为：11.5.

三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）

17.(6分)计算：(-1)2021+V8-4sin45°+|-2|.

【解答】解：原式=7+2后-4X返+2

2

=7+2立.2扬2

=1.

18.(6分)已知x=L,求(3x-I)2+(l+3x)(1-3x)的值.

6

【解答】解：(3x-1)2+(l+3x)(1-3x)

=97-6A+1+1-9/

=_6x+2,

当》=工时，原式=-6义工+2=-1+2=1.

66

19.(6分)已知：如图，矩形48c。的对角线4C,84相交于点O,ZB0C=120°,AB

=2.

(1)求矩形对角线的长.

(2)过。作OE_LA£＞于点E,连结BE.记NABE=a,求tana的值.

【解答】解：⑴；/BOC=120°,

...NAOB=60°,

•.•四边形ABC。是矩形，

AZBAD=90°,AC=BD,AO=OC,BO=DO,

：.AO=BO,

.♦.△AOB是等边三角形，

：.AB=AO=BO,

\'AB=2,

：.BO=2,

：.BD=2BO=4,

矩形对角线的长为4；

(2)由勾股定理得：AD=JBD?-AB2=442_22=2A/"§,

'：OA=OD,OELAD于点E,

：.AE=DE=^AD=y]3,

2

tana=^-=^f^-.

AB2

20.（8分）小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测

试了6次，获得如图测试成绩折线统计图.根据图中信息，解答下列问题：

（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量.

（2）求小聪成绩的方差.

（3）现求得小明成绩的方差为S小期2=3（单位：平方分）.根据折线统计图及上面两小

题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由.

小聪、小明6次测试成绩统计图

【解答】解：（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，

小聪成绩的平均数：-1（7+8+7+10+7+9）=8,

6

小明成绩的平均数：A（7+6+6+9+10+10）=8,

6

答：应选择平均数，小聪、小明的平均数分别是8,8；

（2）小聪成绩的方差为：（7-8）2+（8-8）2+（7-8）2+（10-8）2+（7-8）2+

6

（9-8）2]=A；

3

（3）小聪同学的成绩较好，

理由：由（1）可知两人的平均数相同，因为小聪成绩的方差方差小于小明成绩的方差，

成绩相对稳定.故小聪同学的成绩较好.

21.（8分）某游乐场的圆形喷水池中心。有一雕塑04,从4点向四周喷水，喷出的水柱

为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点。为原点建立直角坐标系，点A

在y轴上，x轴上的点C,。为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数

表达式为y=-—(x-5)2+6.

6

(1)求雕塑高。A.

(2)求落水点C,。之间的距离.

(3)若需要在0。上的点E处竖立雕塑£凡OE=10m,EF^1.8m,EF_L。。问：顶

部尸是否会碰到水柱？请通过计算说明.

N(m)

【解答】解：(1)当x=0时，y=-—(0-5)，6=工^,

66

.•.点4的坐标为(0,旦)，

6

...雕塑高工

6

(2)当y=0时，-工(x-5)2+6=0,

6

解得：Xl=-1(舍去)，X2—1l,

.•.点。的坐标为(11,0),

：.OD=\\m.

•.•从4点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，

OC=OD^\\m,

：.CD=OC+OD^22m.

(3)当x=10时，y=-A(10-5)2+6=JJL,

66

.•.点(10,-11)在抛物线旷=-1(x-5)2+6±.

66

又,••旦-1.83>1.8,

6

顶部尸不会碰到水柱.

22.(10分)在扇形AOB中，半径。A=6,点P在OA上，连结PB,将△08尸沿PB折叠

得到4。'BP.

(1)如图1,若/。=75°,且B。'与篇所在的圆相切于点8.

①求/APO'的度数.

②求AP的长.

(2)如图2,BO'与众相交于点£),若点。为篇的中点，且尸£>〃。8,求标的长.

图1图2

【解答】解：（1）①如图1中，是。。的切线，

：.ZOBO'=90°,

由翻折的性质可知，NOBP=NPBO'=45°,/0PB=N8P。'，

；NAOB=75°,

：.ZOPB=ZBPO'=180°-75°-45°=60°,

：.ZOPO'=120°,

.♦./APO'=180°-ZOPO'=180°-120°=60°.

②如图1中，过点B作BHVOA于"，在BH上取一点F,使得。尸=尸8,连接。立

VZBHO=9Q0,

.•.NO8H=90°-NBO"=15°,

；FO=FB,

：.ZFOB=ZFBO=15Q,

；.NOFH=/FOB+NFBO=30°,

设OH=/n,则HF=yf2m,OF=FB=2m,

'：OB2=OH2+BH2,

62=m2+（\f3m+2m）2,

.•.唐=当匠§返或-&近3返（舍弃），

22

...（）H=返,B4=二\^'3恒

22__

在中，PH=——=加+3&,

tan6002

：.PA=OA-OH-PH=6-%-3后-,反+&®=6-2遍.

22

(2)如图2中，连接AO,OZX

VAD=BD,

：.AD=BD,ZAOD=/BOD,

由翻折的旋转可知，NOBP=NPBD,

•:PD〃OB、

:・/DPB=/OBP,

:./DPB=NPBD,

：.DP=DB=AD.

：.ZDAP=4APD=/AOB,

・・・A0=0D=OBAD=DB,

：./\AOD^/\BOD,

：./OBD=/OAD=/A0B=2ZB0D,

,:OB=OD,

：.ZOBD=ZODB=2ZDOB,

・・・NQOB=36°,

AZAOB=72°,

图2

图1

23.（10分）背景：点A在反比例函数y=K（*>0）的图象上，ABL无轴于点8,AC±y

x

轴于点C,分别在射线4C,8。上取点D,E,使得四边形A8ED为正方形.如图1,点

A在第一象限内，当AC=4时，小李测得8=3.

探究：通过改变点A的位置，小李发现点。，A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小

李解决下列问题.

（1）求♦的值.

（2）设点A,。的横坐标分别为x,z,将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2,小李

画出了x>0时“Z函数”的图象.

①求这个“Z函数”的表达式.

②补画x<0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）.

③过点（3,2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标.

^4J乎-

C3-x

I_I-

-r—

OEBxF_-I

Ir-

r_I-T-

l_「-I-

r_—T

一-

u—X-

」

—-I-

^1A

_1

图1图2

【解答】解：（1）：AC=4,CD=3,

：.AD^AC-CD=\,

♦.•四边形ABE。是正方形，

：.AB=\,

；AC_Ly轴，AB_Lx轴，

ZACO=ZCOB=ZOBA=90°,

二四边形ABOC是矩形，

OB=AC=4,

♦A(4,l),

：.k=4.

⑵①由题意，A(x/-z),

；.x(x-z)=4,

图2

性质1：x>0时，y随x的增大而增大.

性质2：xVO时;y随x的增大而增大.

③设直线的解析式为y=kx+b,

把(3,2)代入得到，2=3k+b,

：.h=2-3k,

...直线的解析式为y=fcc+2-3k,

y=kx+2_3k

由|4，消去y得到，(々-1)/+(2-3A)x+4=0,

y=x--

x

当△=()时，(2-3k)2-4(Z-l)X4=0,

解得仁改或2,

9

当k=此时，方程为工2-当+4,解得x=6.

993

当左=2时，方程为7-4x+4=0,解得x=2.

综上所述，