2023-2024学年湘教版必修第一册 　有理数指数幂　 　无理数指数幂 课件（45张）

内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.通过对有理指数幂

(a>0,m,n∈N且n≥2)含义的认识,了解指数幂的拓展过程.(数学抽象)2.通过对实数指数幂au(a>0,且u∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程.(数学抽象)3.掌握指数幂的运算性质.(数学运算)思维脉络课前篇自主预习情境导入薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一,它侵害田地的面积S(单位:hm2)与年数t的关系式为S=S0·1.057t,其中S0为侵害田地面积的初始值.如果求10年后侵害田地的面积,那么S=S0·1.05710;如果求15.5年后侵害田地的面积,就需要计算S=S0·1.05715.5,这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢?知识梳理知识点一:根式1.n次方根的定义若一个(实)数x的n次方(n∈N,n≥2)等于a,即xn=a,则称x是

a的n次方根.2.n次方根的性质名师点析

1.在n次方根的概念中,关键是数a的n次方根x满足xn=a,因此求一个数a的n次方根,就是求一个数的n次方等于a.2.n次方根实际上就是平方根与立方根的推广.3.n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算.微思考

提示

不一定,当n为大于1的奇数时,a∈R;当n为大于1的偶数时,a≥0.知识点二:分数指数幂当a>0,m,n∈N且n≥2时,规定(3)0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂.那么,在a>0时,对于任意有理数r,s仍有下列运算法则:ar·as=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr(b>0).2.正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.3.我们可以类似得出:一般地,给定正数a,对任意有理数α,aα都是一个确定的实数.这就把整数指数幂推广为有理指数幂了.微点拨给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得微思考

知识点三:有理数指数幂的基本不等式

名师点析

有理数指数幂的基本不等式为我们提供了比较大小的另一种方法:作商法,即当a>0,b>0时,微练习比较大小(填“>”或“<”)(1)2.32.1>1;(2)0.490.59<1;(3)2.3-0.21<1;(4)0.49-1.7>1;(5)2.3-0.59<2.3-0.51;(6)0.352.59>0.353.1.知识点四:实数指数幂在幂的表达式au(a>0)中,a叫作底数,u叫作指数.可以证明,有理数指数幂的前述运算规律,对实数指数幂仍然成立.类似地,仍有一般的幂运算基本不等式:对任意的正数u和正数a,若a>1则au>1;若a<1则au<1.对任意的负数u和正数a,若a>1则au<1;若a<1则au>1.要点笔记实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个常用性质:(1)ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈R);微练习化简:课堂篇探究学习探究一根式的概念例1(1)27的立方根是

;16的4次方根是

.

(2)已知x6=2021,则x=

.

要点笔记根式概念问题应关注的两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数;(2)n为奇数时,被开方数a的正负决定着n次方根的符号.变式训练1已知a∈R,n∈N+,给出下列4个式子:A.1个 B.2个

C.3个 D.0个答案

A探究二根式的化简(求值)例2求下列各式的值:延伸探究(1)该例中的(2),若x<-3呢?(2)该例中的(2),若x>3呢?解

由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|.(1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0,故原式=-(x-1)-[-(x+3)]=4.(2)若x>3,则x-1>0,x+3>0,故原式=(x-1)-(x+3)=-4.探究三指数幂的简单计算例3计算:反思感悟

1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.3.规定了无理数指数幂的意义以后,幂ax中指数x的取值范围就扩展到了全体实数,指数幂的运算性质也就扩展到了全体实数.变式训练2计算:(1)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c)(a>0,b>0,c≠0);探究四幂运算基本不等式的应用例4(1)比较大小(填“>”或“<”):(2)已知a>1,β<0,∀α∈R,试比较aα+2β-aα+β与aα+β-aα的大小.(1)答案

①>

②<

③<

④>

⑤<

⑥<要点笔记1.熟练记忆并能应用指数幂基本不等式;2.作商法的应用——注意适用条件:a>0,b>0.探究五条件求值反思感悟

解决条件求值问题的一般方法——整体法对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.当字母的取值未知或不易求出时,可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体法”巧妙地求出代数式的值.素养形成用换元法处理指数幂中的化简与证明问题方法点睛1.对于“连等式”,常用换元法处理.