平面和平面垂直单元教学设计

平面与平面垂直（单元教学设计）一、单元教学内容和内容解析1．内容第1学时：二面角的概念，平面与平面垂直的概念及鉴定定理．第2学时：平面与平面垂直的性质定理．2．内容解析平面与平面垂直是两个相交平面的一种特殊的位置关系．它是直线与平面垂直关系的拓展．首先由直线与平面垂直能够推证平面与平面垂直；另首先，两个互相垂直的平面里也蕴含着直线与平面的垂直．平面与平面垂直是通过直二面角来定义的．为了定义直线与直线垂直，需要先定义直线与直线所成的角．类似地，为了定义两个平面互相垂直，我们需要研究两个平面所成的角．与前面解决异面直线所成的角和直线与平面所成的角同样，教材用“平面化”的思想来定义两个（半）平面所成的角，即用“平面角”来度量“二面角”．要掌握好二面角的平面角概念，一定要注意“点在棱上”“线在面内”“与棱垂直”三个要点．二面角的大小是用其平面角的大小来度量的，它能够定量地反映两个相交平面的位置关系．由直线和平面平行能够推出平面与平面平行（面面平行的鉴定定理），我们同样能够将直线与平面的垂直关系转化为平面与平面的垂直关系．生活中也有诸多这样的实例．两平面垂直的鉴定定理再一次体现了直线和平面的位置关系与平面和平面的位置关系之间的互相转化．当两个平面互相垂直时，根据前面的学习经验，我们能够研究一种平面内的直线与另一种平面的位置关系．显然，线在面内，线面相交和线面平行都有可能．一种平面内的直线垂直于交线时，由平面与平面垂直的定义以及直线和平面垂直的鉴定定理，可推证它垂直于另一种平面，即得平面与平面垂直的性质定理．根据性质定理，可将平面与平面的垂直关系转化为直线和平面的垂直关系．立体几何中，我们经常需过平面外一点向平面作垂线，运用该定理能够协助我们拟定垂足的位置．平面与平面垂直的性质定理探究的是一种平面内的直线与另一种平面的特殊位置关系（垂直），课本还进一步探讨了直线不在两个平面内，或者是将直线换成平面的情形．对这些问题的探究有助于加深学生对线面位置关系的认识，也可作为平面与平面垂直的性质定理的应用．基于以上分析，拟定本节内容的教学重点是：二面角及其平面角的概念，平面与平面垂直的鉴定定理；平面与平面垂直的性质定理．二、单元目的和目的解析1．目的（1）理解二面角的概念．（2）理解二面角的平面角的概念，并能计算简朴的二面角的大小．（3）理解平面与平面垂直的定义，掌握平面与平面垂直的鉴定定理．（4）掌握平面与平面垂直的性质定理的探究过程并能纯熟应用．2．目的解析达成目的（1）的标志是：学生能通过实例并类比平面内两条直线的位置关系，抽象、归纳出二面角的定义．达成目的（2）的标志是：学生能通过直观感知和类比思考，懂得用平面角来度量二面角的大小，能解释为什么是用两条垂直于公共棱的射线的夹角来作为二面角的平面角，明白这是一种转化的思想；能在具体情境中作出二面角并计算其大小．达成目的（3）的标志是：学生能叙述平面与平面垂直的定义，能从生活实例中总结出平面与平面垂直的鉴定定理；能从定义的角度简朴解释其对的性；能应用鉴定定理证明平面与平面垂直的简朴问题．达成目的（4）的标志是：学生能直观感知并推证出平面与平面垂直的性质定理，理解其在生活中的应用，能根据该定理将面面垂直关系转化为线面垂直关系．三、教学问题诊疗分析即使前面学生已经学习了异面直线所成的角和直线与平面所成的角，已有了用平面角去度量空间角的经验，但他们对将空间问题转化为平面问题来解决的意识和能力尚有待进一步加强．根据定义来找二面角的平面角对学生来说并不容易，作出角度之后用精确的数学语言进行证明或书写也值得关注．与学生已经学习的直线与平面垂直的定义有所不同，平面与平面垂直是通过直二面角来定义的．平面与平面垂直的鉴定定理的直观感知和严谨证明都不难，但应用其进行论证时含有一定难度，由于学生需要判断在哪个平面内寻找哪一条直线与另一种平面垂直．对学生而言，灵活性增强了许多．对于平面与平面垂直的性质定理的理解要注意“面面垂直”“线在面内”“垂直于交线”等条件，缺一不可．学生在具体应用时，容易遗漏条件，教学时需关注．本节教学难点是：平面与平面垂直的鉴定定理和性质定理的应用，二面角的计算．四、教学过程设计第一学时平面与平面垂直的概念及鉴定定理（一）学时教学内容1．二面角的概念．2．平面与平面垂直的概念及鉴定定理．（二）学时教学目的1．理解二面角的概念．2．理解二面角的平面角的概念，并能计算简朴的二面角的大小．3．理解平面与平面垂直的定义，掌握平面与平面垂直的鉴定定理．（三）教学重点与难点教学重点：平面与平面垂直的鉴定定理．教学难点：二面角及其平面角，平面与平面垂直的鉴定定理的应用．（四）教学过程设计（1）探究、建构二面角及其平面角的概念在日常生活中，有诸多平面与平面相交的例子．例如笔记本电脑打开过程中，屏幕和键盘所在的平面相交并形成了一定的角度；打开门（或窗）的过程中，门（或窗）与墙所在的平面相交并形成一定的角度；修筑水坝时为了使水坝结实耐用，必须使水坝面与水平面成适宜的角度．问题1：在平面几何中，我们通过引入“角”的概念来刻画两条相交直线的位置关系，你能在空间中引入类似的概念来刻画两个相交平面的位置关系吗？设计意图：从生活中的实例出发，先让学生感性认识二面角．再类比平面角的概念，从学生的近来思维发展区，引入二面角的概念．师生活动：教师直观展示生活中二面角的实例图片，介绍二面角的有关概念、符号记法和图形表达法．问题2：即使都是平面与平面相交，但在直观感觉上，两平面的“开合程度”并不同．例如日常生活中，常说“把门开大某些”，这阐明门与墙面所形成的角度有不同的状态．那么该如何定量地刻画两平面的位置关系呢？根据前面研究异面直线所成的角和直线与平面所成的角的经验，我们能够用一种平面角来度量二面角的大小．这样的平面角该如何建构呢？追问1：在二面角的棱上任取一点，从该点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，即可构成一种平面角，这样的平面角能用来刻画二面角的大小吗？为什么？如果不能，又该如何作图呢？师生活动：学生应当都能指出这样是不行的，由于角的大小会由于所作射线的位置不同而不同．在此基础上，教师指出度量一种量的基本规定就是“唯一性”．明确了问题的症结所在，教师再请学生思考，以棱上的一点为顶点，如何在两个半平面内各作一条射线，使之形成的角度是唯一拟定的？设计意图：让学生经历提出猜想——分析可行性——找到症结——修正完善的解决问题的流程．既可激发学生的学习爱好，又锻炼了思维的严谨性．追问2：以棱上给定的一点为顶点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线形成的角度是唯一拟定的．若在棱上任意选用一点，用这个方法作出的平面角的大小会有所不同吗？为什么？师生活动：教师提出问题，学生思考回答．在此基础上，师生共同提炼出二面角的平面角的概念．设计意图：引导学生从等角定理来解释和理解二面角的平面角的大小与棱上点的选用无关，进一步加深对概念的认识．问题3:

二面角的平面角的取值范畴为，其中平面角为的二面角叫做直二面角．若两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，则称两个平面互相垂直．你能给出某些生活中直观上平面与平面垂直的例子吗？师生活动：学生举例回答，教师介绍平面与平面垂直的记法、图形表达等基础知识．设计意图：引入平面与平面垂直的概念，并结合生活实例让学生对平面与平面垂直有一种感性、直观的认识．（2）探究、发现平面与平面垂直的鉴定定理问题4：对于两相交平面，除了根据定义，通过分量其二面角的平面角的大小来鉴定它们与否垂直外，与否存在其它的鉴定办法呢？如图1，建筑工人在砌墙时，惯用铅锤来检测所砌的墙面与地面与否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，就认为墙面垂直于地面．你能分析其中蕴含的道理并总结出对应的结论吗？师生活动：教师提出问题，除了生活实例外，还能够提供长方体模型协助学生获得结论：如果一种平面通过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直．追问1：你能将上述结论用图形语言和符号语言表达出来吗？设计意图：图形语言、符号语言、文字语言之间的转换可让学生进一步理解鉴定定理，理清使用定理所需的条件，也是发展学生逻辑思维的需要．图形语言：符号语言：追问2：你能用定义证明该定理吗？师生活动：教师引导学生从平面与平面垂直的定义出发，在另一平面内过垂足作交线的垂线，则可得到一种二面角的平面角．再结合直线与平面垂直的定义可知，该平面角为直角．设计意图：教材对这一定理的解决是直观感知获取，没有证明．追问2让学生对其进行证明，首先确认其对的性，加强思辨论证；另首先，进一步扎实平面与平面垂直的定义、二面角的平面角的概念、直线与平面垂直的定义等基础知识．（3）巩固、运用平面与平面垂直的鉴定定理教师请一名学生板书，其它学生自己在本上书写证明过程．教师巡逻，发现并纠正格式规范性方面的问题．设计意图：本着精选例题、用好用足的原则，该追问旨在通过引导学生从面面垂直的定义出发进行证明，既让学生在运用不同办法证明的过程中提高思维的灵活性，又进一步扎实了二面角的概念及计算．在这个过程中使学生认识到证明平面与平面垂直普通有两种办法：一种办法是运用平面与平面垂直的定义，从二面角的角度加以证明；一种办法是运用平面与平面垂直的鉴定定理证明．例2如图3所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．追问：欲证两个平面垂直，根据平面与平面垂直的鉴定定理，应当证明其中一种平面内的一条直线垂直于另一种平面．而由线面垂直的鉴定定理，需证这条直线和另一种平面内的两条相交直线垂直．由题设条件，我们能够得到哪些线线垂直关系？师生活动：学生根据题设条件，不难发现，由条件“PA垂直于圆O所在的平面”能够得出PA⊥BC，由条件“AB是圆O的直径”能够得出AC⊥BC．由此可证：BC⊥平面PAC，进而可得结论．思考提高：设点B'是圆周上不与A,C重叠的任意一动点：（1）如何求二面角A-PC-B'的大小？（2）探究二面角A-PC-B'的平面角θ与∠APB',∠APC,∠B'PC的关系．（4）课堂练习，及时反馈教科书第158-159页第2、3、4题．教科书P158例8以及练习3中出现的四周体在中国古代被称为“鳖臑”，其特点为四个面都是直角三角形．“鳖臑”是用来展示空间垂直关系的典型素材，值得我们关注．（5）归纳小结教师与学生一起回想本节课所学的重要内容，并请学生回答下列问题：（1）本节课你学到哪些知识？又是用如何的办法学到这些知识的？（2）平面与平面垂直的定义和前面学过的直线与平面垂直的定义有何不同？（3）什么是二面角的平面角？对于给定的二面角，你能作出其平面角吗？（4）我们都有哪些办法来证明两个平面互相垂直？设计意图：通过小结，梳理本节课所学的知识，并回想本节课的学习过程，进一步体会立体几何的研究内容和研究办法，培养学生对学习内容反思的意识和习惯，协助学生在更大的范畴内把所学的知识系统化、构造化，并掌握对应的学习办法．（6）布置作业教科书第163页第6、7题，第164页第21题．（五）目的检测设计设计意图：考察平面与平面垂直鉴定定理的灵活应用，重点考察学生分析、解决问题的能力，培养探究精神．第二学时平面与平面垂直的性质定理（一）学时教学内容平面与平面垂直的性质定理．（二）学时教学目的1．掌握平面与平面垂直的性质定理的探究过程，进一步明确“直观感知”“推理论证”相结合的研究思路．2．理解平面与平面垂直的性质定理在生活中的应用．3．能纯熟运用平面与平面垂直的性质定理进行有关的证明或计算．（三）教学重点与难点教学重点：平面与平面垂直的性质定理．教学难点：平面与平面垂直的性质定理的探究及应用．（四）教学过程设计（1）探究平面与平面垂直的性质定理设计意图：设立问题情境，探究已知平面与平面垂直的条件下，一种平面内的直线与另一平面的位置关系．师生活动：（预设学生回答）b与a平行或相交．当b与a平行时，由线面平行的鉴定定理可知，b//α；当b与a相交时，b与α也相交．问题2：平面β内什么样的直线与平面垂直？设计意图：在问题1的基础上，由普通位置关系过渡到特殊情形，重点研究平面β的直线b何时与平面α垂直，引出本课的教学重点．师生活动：教师能够给出某些具体的情境协助学生思考，例如让学生思考如何在黑板上画一条直线，使之与地面垂直．这样更容易猜想出结论：在平面与平面垂直的条件下，在其中一种平面作垂直于交线的直线，则该直线垂直于另一种平面．问题3：你能将你的结论用符号语言表达出来吗？你能证明该结论吗？设计意图：在学生直观感知得出结论的基础上，让学生结论进行严格证明，从而得到平面与平面垂直的性质定理．师生活动：学生结合图示，尝试给出定理的符号表达：α⊥β,α∩β=a，b？β,b⊥a,则b⊥α．教师可让一名学生报告其成果，注意补充其可能遗漏的条件，并注意结合实例展示某一条件缺失后，结论为什么不成立．在给出符号表达之后，教师再请学生对定理的对的性进行证明．学生动笔证明前，教师可适宜给出某些提示，协助学生思考，例如：“要证直线和平面垂直，普通需先证明什么？”“平面与平面垂直时如何定义的？如何使用平面与平面垂直这一条件？”等．证毕结论，教师指出该定理即为平面与平面垂直的鉴定定理，该定理和平面与平面垂直的鉴定定理一道体现了“平面与平面的垂直关系”与“直线与平面的垂直关系”之间的互相转化．问题4：设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，则直线a与平面α含有什么位置关系？师生活动：学生根据直观感觉不难回答出a在平面α内，但要严格证明并不容易．教师能够给出“同一法”的思路提示（过一点只能作一条直线与已知平面垂直，因此如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重叠），然后再让学生完善证明过程．追问：在立体几何中，我们常需过平面外一种点向平面作垂线．这个问题的难点在于拟定垂足的位置．问题4能给你什么样的启发？此处教师要作适宜的补充点评：在立体几何中，我们常需过平面外一种点向平面作垂线．这个问题的难点在于拟定垂足的位置．问题4就给出了这个难题的一种解决方案——欲拟定平面α外一点P在α内射影的位置，可寻找或构造一种过点P且与α垂