第十二章 线性回归分析

第十二章线性回归分析

双变量计量资料：每个个体有两个变量值

总体：无限或有限对变量值样本：从总体随机抽取的n对变量值

（X1,Y1）,（X2,Y2）,…,（Xn,Yn）

目的：研究X和Y的数量关系

方法：回归与相关简单、基本——直线回归、直线相关

英国人类学家F.Galton首次在《自然遗传》一书中，提出并阐明了“相关”和“相关系数”两个概念，为相关论奠定了基础。其后，他和英国统计学家KarlPearson对上千个家庭的身高、臂长、拃长（伸开大拇指与中指两端的最大长度）做了测量，发现：历史背景：

儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X，英寸）存在线性关系：。也即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来说不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子父代的子代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton将这种趋向于种族稳定的现象称之“回归”。

目前，“回归”已成为表示变量之间某种数量依存关系的统计学术语，并且衍生出“回归方程”“回归系数”等统计学概念。如研究糖尿病人血糖与其胰岛素水平的关系，研究儿童年龄与体重的关系等。第一节两相关变量的散点图

一、直线回归的概念

目的：研究应变量Y对自变量X的数量依存关系。特点：统计关系。X值和Y的均数的关系，不同于一般数学上的X和Y的函数关系。为了直观地说明两相关变量的线性依存关系，用表12-1第（2）、（3）列中大白鼠的进食量和体重增加量的数据在坐标纸上描点，得图12-1所示的散点图（scatterplot）。

例12-1

用某饲料喂养12只大白鼠，得出大白鼠的进食量与体重增加量如表12-1，试绘制其散点图。

表12-112只大白鼠的进食量（g）与体重增加量(g)测量结果

在定量描述大白鼠进食量与体重增加量数量上的依存关系时，习惯上将进食量作为自变量（independentvariable），用X表示；体重增加量作为应变量（dependentvariable），用Y表示。由图12-1可见，体重增加量有随进食量增加而增大的趋势，且散点呈直线趋势，但并非12个点都在直线上，此与两变量间严格的直线函数关系不同，称为直线回归（linearregression）,其方程叫直线回归方程，以区别严格意义的直线方程。回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归。第二节

回归方程一、直线回归方程的一般表达式为

为各X处Y的总体均数的估计。残差(residual)或剩余值，即实测值Y与假定回归线上的估计值的纵向距离。求解a、b实际上就是“合理地”找到一条能最好地代表数据点分布趋势的直线。原则：最小二乘法(leastsumofsquares)，即可保证各实测点至直线的纵向距离的平方和最小二、直线回归方程的求法

（12-3）

例12-2

（续例12-1）根据表12-1数据，对大白鼠的体重增加量进行回归分析。解题步骤

此直线必然通过点(,)且与纵坐标轴相交于截距。如果散点图没有从坐标系原点开始，可在自变量实测范围内远端取易于读数的值代入回归方程得到一个点的坐标，连接此点与点(,)也可绘出回归直线。第三节

回归系数的假设检验

建立样本直线回归方程，只是完成了统计分析中两变量关系的统计描述，研究者还须回答它所来自的总体的直线回归关系是否确实存在，即是否对总体有？1．回归系数的方差分析

数理统计可证明：上式用符号表示为

式中

上述三个平方和，各有其相应的自由度，并有如下的关系：

如果两变量间总体回归关系确实存在，回归的贡献就要大于随机误差，大到何种程度时可以认为具有统计意义，可计算统计量F:式中2.t检验例12-3（续例12-1）根据表12-1数据进行回归系数的方差分析。解：先列出下列计算结果（3）确定P值。查F界值表，P<0.001。（4）下结论。按水准，拒绝H0，接受H1，故可以认为体重的增加量与进食量之间有直线关系。t检验方法前已算得

:第四节回归系数与预测值的区间估计一、总体回归系数的区间估计例12-5（续例12-1）试估计总体回归系数的95%的可信区间。二、二、的区间估计 是指总体中当X为一定值时的均数。是波动的，当把代入回归方程所求得的估计值，为样本条件均数