二次函数的应用 市赛获奖

1.4二次函数的应用（2）浙教版九年级《数学》上册

最近距离与最大利润问题如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?

复习思考

首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内

。例1：

如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６km处，现在Ａ，Ｂ两船同时出发，A船以１２km/h的速度朝正北方向行驶，B船以５km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？A’AB’B例1：①设经过t时后，Ａ、Ｂ两船分别到达A′、B′（如图），则两船的距离y应为多少

?

②如何求出y的最小值？?A′AB′B

如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６km处，现在Ａ，Ｂ两船同时出发，A船以１２km/h的速度朝正北方向行驶，B船以５km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？

某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元。经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问：销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润（每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价）最大？最大日均毛利润为多少元？例2：归纳小结：运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤

:求出函数解析式和自变量的取值范围配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内

。小试牛刀

1.如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，几秒后ΔPBQ的面积最大？最大面积是多少？ABCPQ解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大,则：AP=2xcmPB=（8-2x

）cm

QB=xcm则y=1/2x（8-2x）=-x2+4x=-（x2-4x+4

-4）=-（x-2）2

+4所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大最大面积是4cm2（0<x<4）ABCPQ思考题：

如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为美观，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度为2.25米,如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？AO水面CByxAO水面CByx解：以水面OC所的直线为x轴，柱子OA所在的直线为y轴，O为原点建立直角坐标系，

设抛物线的解析式为：y=a(x–h)+k,则有

1.25=a(0–1)+2.2522

解得：a=-1

所以，y=-(x–1)+2.252

则A、B两点的坐标分别为A(o,1.25)B(1,2.25)，令y=0,则-(x–1)+2.25=02解得：x=2.5

或x=-0.5(舍去)所以，水池半径至少需要2.5米。思考题：

在上面的练习题中，若水池喷出抛物线形状不变，水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0.1米）AO水面CByx解：依题意，A(0，1.25),C(3.5,0)设y=-(x-h)+k，则有

-(0-h)+k=1.25-(3.5-h)+K=0

解得h=—，k≈3.7.所以，此时水流最大高度应达3.7米.

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