向量加法运算及其几何意义

复习回顾：1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么呢？向量：既有方向又有大小的量平行向量：方向相同或相反的向量相等向量：方向相同并且长度相等的向量1复习回顾：2.向量的大小和方向是如何用有向线段表示的呢？什么叫零向量和单位向量？向量的大小：有向线段的长度。向量的方向：有向线段的方向。零向量：长度为零的向量叫零向量。单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。22.2.1向量加法运算及其几何意义由于以前大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？如何用向量表示?上海台北香港上海台北香港引例4求两个向量和的运算叫做向量的加法.baBba+b根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．aAO已知向量a和b，在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则向量OB叫做a和b的和，记作a+b．即a+b=OA+AB=OB．首尾相连首尾连GEOCF2F1GEOF图1图2

探究：如图1表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；图2表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长了相同的长度．GEOCFF1F2力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用产生的效果相同．物理学中把力F叫做F1与F2的合力．

探究：如图1表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；图2表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长了相同的长度．GEOCFF1F2

探究：如图1表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；图2表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长了相同的长度．F2由图发现，力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形的对角线长．如图，以同一点O为起点的两个已知向量a和b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．ObAabaab+CB9位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．对于零向量与任一向量

．我们规定a10BA作法1：abObaab+例1.如图，已知向量，求做向量。在平面内任取一点O．作OA=a，AB=b，则OB=a+b．BCA作法2：abOba在平面内任取一点O．作OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边做平行四边形OACB，连接OC，则ab+baOC=OA+OB=a+b．例1.如图，已知向量，求做向量。如图，已知a，b用向量加法的三角形法则作出a＋b．（1）bab

a+b（2）

OABab

a+b如图,已知用向量加法的平行四边形法则作出

（1）（2）15

思考：如下图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？ababab+ab+方向相同方向相反ab+=OBOABOABab+=OB16探究：考察下列各图，|a＋b|与|a|＋|b|的大小关系如何？|a＋b|与||a|－|b||的大小关系如何？AaBbDCa+b

何时取得等号?≤≤17

思考：如下图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？ababab+ab+方向相同方向相反ab+=OBOABOABab+=OB18探究：当a、b处于什么位置时，(1)|a＋b|＝|a|＋|b|．(2)|a＋b|＝|a|－|b|（或|b|－|a|）．(1)当a、b共线，且同向时，(2)当a、b共线，且反向时，|a＋b|＝|a|＋|b|．

|a＋b|＝|a|－|b|（或|b|－|a|）．19【答案】D(2)若平面内有n个向量首尾相接,构成一个封闭图形,那么A1A2

+A2A3

+

……+An-1An

+AnA1

=_______0（1）A1A2+A2A3+……+An-1An=_______A1An拓展：探究：数的加法满足交换律与结合律，即对任意的a，b∈R，有

a+b=b+a

(a+b)+c=a+(b+c)任意向量a，b的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索．22BCDAa+b+ca+bb+cabcBCDAbabaa+b

数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)

任意向量a,b的加法是否也满足交换律与结合律?向量加法的运算律交换律结合律以上两个性质可以推广到任意多个向量根据图示填空:(1)a+d=____________(2)c+b=____________ACDBOabcd练一练根据图示填空ABDEC课本84页427例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。ADBC例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对