第五章 参数估计基础

第五章参数估计基础10/14/20231徐州医学院卫生事业管理教研室徐州医学院卫生事业管理教研室[教学要求]了解：抽样分布及t分布的特征，总体概率的置信区间。熟悉：抽样误差的概念，标准误的意义及其应用。掌握：计算均数及率的标准误，总体均数和总体率的95%和99%置信区间及适用条件。标准差与标准误的区别。第五章参数估计基础10/14/20232徐州医学院卫生事业管理教研室第五章参数估计基础第一节抽样分布与抽样误差第二节t分布第三节总体均数及总体概率的估计10/14/20233徐州医学院卫生事业管理教研室

第一节抽样分布与抽样误差

一、样本均数的抽样分布与抽样误差均数的抽样误差：由个体变异产生的、由于抽样而造成的样本均数与样本均数及样本均数与总体均数之间的差异称为均数的抽样误差。用于表示均数抽样误差的指标叫样本均数的标准差，也称样本均数的标准误。10/14/20234徐州医学院卫生事业管理教研室抽样实验一：假定从13岁女学生身高总体均数，总体标准差的正态总体中进行随机抽样。

组段下限值（cm）频数频率%152.611.0153.244.0153.844.0154.42222.0155.02525.0155.62121.0156.21717.0156.833.0157.422.0158.011.0合计100100.0表5-1从正态总体N（155.4，5.32）抽样得到的100个样本均数的频数分布（ni=30）10/14/20235徐州医学院卫生事业管理教研室样本均数的分布特点：

1.各样本均数未必等于总体均数；

2.样本均数之间存在差异；

3.样本均数的分布很有规律，围绕着总体均数，中间多，两边少，左右基本对称，也服从正态分布；

4.样本均数的变异较之原变量的变异大大缩小。10/14/20236徐州医学院卫生事业管理教研室抽样实验二：在一个非正态总体中抽取样本含量分别为5，10，30和50的样本各100次，计算样本均数并绘制4个直方图，可见当样本量较小时，样本均数的分布呈偏态分布，而样本量足够大时，样本均数的分布近似正态分布。在计算机上完成。（实验5-2）10/14/20237徐州医学院卫生事业管理教研室10/14/20238徐州医学院卫生事业管理教研室10/14/20239徐州医学院卫生事业管理教研室10/14/202310徐州医学院卫生事业管理教研室10/14/202311徐州医学院卫生事业管理教研室10/14/202312徐州医学院卫生事业管理教研室1）从正态总体N(µ,σ2)中，随机抽取例数为n的多个样本，样本均数服从正态分布；即使是从偏态总体中随机抽样，当n足够大时(如n＞50)，也近似正态分布。数理统计推理和中心极限定理表明：2）从均数为µ，标准差为σ的正态或偏态总体中抽取例数为n的样本，样本均数的标准差即标准误为。10/14/202313徐州医学院卫生事业管理教研室

标准误的大小与σ的大小成正比，与n成反比，而σ为定值，说明可以通过增加样本例数来减少标准误，以降低抽样误差。σ未知，用样本标准差S来估计总体标准差σ。用来表示均数抽样误差的大小。（标准误的理论值）（标准误的估计值）10/14/202314徐州医学院卫生事业管理教研室

例5-12000年某研究所随机调查某地健康成年男子27人，得到血红蛋白的均数为125g/L，标准差为15g/L。试估计该样本均数的抽样误差。10/14/202315徐州医学院卫生事业管理教研室二、样本频率的抽样分布与抽样误差

从同一总体中随机抽出观察单位相等的多个样本，样本率与总体率及各样本率之间都存在差异，这种差异是由于抽样引起的，称为频率的抽样误差。表示频率的抽样误差大小的指标叫频率的标准误。

10/14/202316徐州医学院卫生事业管理教研室π：总体率，n：样本例数。当π未知时，pπ（为样本含量足够大，且p和1-p不太小）公式为:

：率的标准误的估计值，p：样本率。据数理统计的原理，率的标准误用表示10/14/202317徐州医学院卫生事业管理教研室

例5-2某市随机调查了50岁以上的中老年妇女776人，其中患有骨质疏松症者322人，患病率为41.5%，试计算该样本频率的抽样误差。10/14/202318徐州医学院卫生事业管理教研室第五章参数估计基础第一节抽样分布与抽样误差第二节t分布第三节总体均数及总体概率的估计10/14/202319徐州医学院卫生事业管理教研室第二节t分布

设某一变量服从总体均数为μ，总体标准差为σ的正态分布N（μ，σ），则服从标准正态分布N（0，1），即u分布。一、t分布的概念

10/14/202320徐州医学院卫生事业管理教研室

若从正态分布N（μ，σ）总体中，随机抽样并算得多个样本均数，它们服从总体均数为μ，总体标准差为的正态分布N（μ，），则也服从标准正态分布N（0，1）。10/14/202321徐州医学院卫生事业管理教研室在实际工作中，由于未知，用代替，则服从t分布（t-distribution），即：ν为自由度。10/14/202322徐州医学院卫生事业管理教研室

t分布，又称Studentt分布（Studenttdistribution），主要用于总体均数的区间估计和t检验等。t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。xt

分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(ν=13)t(ν=5)z10/14/202323徐州医学院卫生事业管理教研室二、t分布的图形和特征

υ=∞(标准正态分布)υ=5υ=1图不同自由度下的t分布图10/14/202324徐州医学院卫生事业管理教研室t分布曲线特点：

1）t分布曲线是单峰分布，它以0为中心，左右对称。

2）t分布的形状与样本例数n有关。自由度越小，则越大，t值越分散，曲线的峰部越矮，尾部翘的越高。

3)当n→∞时，则S逼近σ，t分布逼近标准正态分布。t分布不是一条曲线，而是一簇曲线。10/14/202325徐州医学院卫生事业管理教研室与单侧概率相对应的t值用表示，与双侧概率相对应的t值用表示。在相同自由度时，t绝对值越大，概率P越小。

由于t分布是以0为中心的对称分布，表中只列出了正值，故查表时，不管t值正负只用绝对值表示。正确使用t界值表！10/14/202326徐州医学院卫生事业管理教研室第五章参数估计基础第一节抽样分布与抽样误差第二节t分布第三节总体均数及总体概率的估计10/14/202327徐州医学院卫生事业管理教研室

一、参数估计的概念统计推断包括参数估计和假设检验。参数估计就是用样本指标（统计量）来估计总体指标（参数）。第三节总体均数及总体概率的估计参数估计点估计(pointestimation)区间估计(intervalestimation)10/14/202328徐州医学院卫生事业管理教研室

，即认为2000年该地所有健康成年男性血红蛋白量的总体均数为125g/L。（一）点估计：

用样本统计量直接作为总体参数的估计值。

例如于2000年测得某地27例健康成年男性血红蛋白量的样本均数为125g/L，试估计其总体均数。点估计的方法简单，但没有考虑抽样误差。

10/14/202329徐州医学院卫生事业管理教研室(二)区间估计：按预先给定的概率(1－α)估计总体参数的可能范围，该范围就称为总体参数的1－α置信区间(confidenceintervalCI)。

预先给定的概率(1－α)称为置信度，常取95%或99%。如无特别说明，一般取双侧95%。可信区间由两个数值即置信限构成，其中最小值称为下限，最大值称为上限。严格讲，可信区间不包括上下限两个端点值。10/14/202330徐州医学院卫生事业管理教研室通式：（双侧）二、置信区间的计算(一)总体均数的置信区间

1、σ已知，按标准正态分布原理计算由z分布，标准正态曲线下有95%的z值在±1.96之间。95%的双侧置信区间：99%的双侧置信区间：10/14/202331徐州医学院卫生事业管理教研室通式：（双侧）2、σ未知但样本例数n足够大（n＞50）时由t分布可知，自由度越大，t分布越逼近标准正态分布，此时t曲线下有95%的t值约在±1.96之间，即95%的双侧置信区间：99%的双侧置信区间：10/14/202332徐州医学院卫生事业管理教研室例5-3某市2000年随机测量了90名19岁健康男大学生的身高，其均数为172.2cm，标准差为4.5cm,，试估计该地19岁健康男大学生的身高的95%置信区间。该市19岁健康男大学生的身高的95%置信区间(171.3,173.1)cm10/14/202333徐州医学院卫生事业管理教研室3、σ未知且样本例数n较小时，按t分布原理，此时某自由度的t曲线下有95%的t值约在±t0.05(ν)之间，

通式:95%的双侧置信区间：99%的双侧置信区间：tа/2,ν是按自由度ν=n-1，由t值表查得的t值。10/14/202334徐州医学院卫生事业管理教研室例5-4已知某地27例健康成年男性血红蛋白量的均数为

，标准差S=15g/L