第二章多维随机变量

第三章多维随机变量及其分布1到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布.飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）来确定的等等.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.如:在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的.因而需进一步讨论由多个随机变量构成的随机向量.其处理思路及方法与一维情形相同,但形式较一维复杂;学习时应注意与一维情形的对照.2

设S为试验E的样本空间,若对S中的任一基本事件e,都有惟一确定的n个实数X1(e),

…,Xn(e)与之对应,则叫(X1(e),…,Xn(e))为n维随机变量,由于从二维推广到多维一般没有实质性的困难,我们重点讨论二维随机变量.定义:简记为(X1,…

,Xn).二维随机变量一般用(X,Y)来表示.3

§1&§2二维随机变量的联合分布与边缘分布一、X与Y的联合分布函数及边缘分布函数

X的分布函数二维随机变量

(X,Y)的分布函数为也叫X与Y的联合分布函数.4

几何表示:

(X,Y)的分布函数yx0.(x,y).(X,Y)F(x,y)为随机点(X,Y)落在图中阴影区域内的概率.(X,Y)的分布函数具有:等性质.5在二维随机变量(X,Y)中:X的分布函数称为

(X,Y)关于X的边缘分布函数,Y的分布函数称为

(X,Y)关于Y的边缘分布函数;由联合分布函数可确定边缘分布函数,对此有:6进一步可定义n维随机变量(X1,…,Xn)的分布函数:及关于Xi

(i

=1,…,n)

的边缘分布函数:7

二、二维离散型随机变量的分布律及边缘分布律X的分布律对二维离散型随机变量(X,Y):为(X,Y)的分布律，或X与Y的联合分布律.(X,Y)的分布律的性质:可列表表示:(1)非负性(2)归一性

XY

x1

x2

…xi

…

y1yj

┇┇

p11

p21

…pi1

…

p1j

p2j

…pij…

┇┇┇……┇┇┇……8在二维离散型随机变量(X,Y)中,称X的分布律为(X,Y)关于X的边缘分布律,Y的分布律为(X,Y)关于Y的边缘分布律;由联合分布律可确定边缘分布律,对此有:关于X的边缘分布律为关于Y的边缘分布律为(X,Y)的分布律9由联合分布律确定边缘分布律,也可列表给出:P{X=xi}……1P{Y=yj}┇┇

XY

x1

x2

…xi

…

y1yj

┇┇

p11

p21

…pi1

…

p1j

p2j

…pij…

┇┇┇……┇┇┇……10例:一整数N等可能地在1,2,…,10十个值中取一个值,D=D(N)是能整除N的正整数的个数,F=F(N)是能整除N的素数的个数,试确定D和F的联合分布律及边缘分布律.

解:

先由N的取值确定D和F的取值:12345678910NDF10212131214221413142D的可能取值为1,2,3,4;F的可能取值为0,1,2;再确定取值的概率,如:等等.可得D和F的联合分布律及边缘分布律为:1/107/102/101/104/102/103/101D04/102/101/10F01212341/100000002/1011

三、二维连续型随机变量的概率密度与边缘概率密度

X的概率密度fX(x)：对二维连续型随机变量(X,Y)有:

f(x,y)称为(X,Y)的概率密度,或称为X与Y的联合概率密度.yx0.(x,y).(X,Y)即:随机点(X,Y)落在图中阴影区域内的概率为f(x,y)在该区域上的积分.12

f(x,y)为(X,Y)的概率密度,则(1)非负性(2)归一性概率密度的性质:(3)对xoy面上的任一区域G,(4)在f(x,y)的连续点上,13在二维连续型随机变量(X,Y)中:X的概率密度称为(X,Y)关于X的边缘概率密度,Y的概率密度称为(X,Y)关于Y的边缘概率密度.由联合概率密度可确定边缘概率密度,对此有:14解:例:设(X,Y)

的分布函数为：试求(1)

a、b、c,(2)(X,Y)的概率密度.(1)依据分布函数的性质可得:(2)

故

15例设(X,Y)

的概率密度为：试求(1)k

,(2)(3)边缘概率密度fX(x),fY(y).解:(1)由归一性可得:(2)故xy01作f(x,y)非零区域的图形,结合图形进行处理非常有用16例设(X,Y)

的概率密度为：试求(2)解:xy01x+y=1xy01y=x最终的积分区域为f(x,y)的非零区域与区域的公共部分17解:例:设(X,Y)

的概率密度为：试求(3)边缘概率密度fX(x),fY(y).xy01xy18四、两个常见的二维连续型随机变量的分布(一)均匀分布设G是平面上的有界区域，其面积为A;若二维随机变量(X,Y)的概率密度为则称（X,Y）在G上服从均匀分布.例如:向平面上有界区域G上任投一质点,若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比,而与B的形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布.19(二)二维正态分布若二维随机变量(X,Y)的概率密度为则称(X,Y)服从参数为其中均为常数,且的二维正态分布.记作(X,Y)~20可以证明:二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.则

若(X,Y)~注意:由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.21

§4随机变量的独立性P(AB)=P(A)P(B)事件A,B独立也就是:定义:若对任意的x,y都有则叫随机变量X与Y相互独立.X与Y相互独立对任意的x,y有对二维离散型随机变量(X,Y):X与Y相互独立对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),22对二维连续型随机变量(X,Y):几乎处处成立对任意的x,y,

X与Y相互独立(“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立)例:

若

则X与Y相互独立23例:设(X,Y)的分布律为

而X与Y相互独立,试确定a和b?

123X

b1/81/16Y013/163/8a解:由归一性得再由独立性列出其它式子,为此需确定边缘分布:取一式,如a+9/16b+3/16b+3/161/2a+1/161123X

b1/81/16Y013/163/8a解得24

例

设(