借“一例多解”之功达“增效减负”之效 论文

借“一例多解”之功达“增效减负”之效中对几种方法的合理选择和应用.关键词：含参数的函数，一例多解，增效减负引文:根据数学学科的特点，数学教学离不开解题教学。在“减负不减效”的政策要求下，师生要向课堂45分钟要效率，为了提高例题教学的教学效率，要摒弃“题海战术”，在解题教学过程中应充分发挥每一个例题的功效，“一例多解”不仅可提高课堂教学效率，实现增效减负，而且还可培养学生的发散性思维。含参数问题的几种常见解法---分类讨论法、数形结合法、参变分离法，省去了列举、讲解效。（注：本文例题选自《万唯中考试题研究》（第14年14版）第51页的练习6----一道含参数的二次函数交点问题）一.一道例题---一例多解<例>点A(m,n)为二次函数y=ax2-（a+1）x-2 (a>0)图像上的动点，当0<m≤3时,点A关于x轴的对称点始终在直线y=-求a的取值范围.

x+2的上方，1.参变分离法（1）方法概述而求出原问题的解，这样可以使问题简化，避免分类讨论。（2）解题思路分析二次函数图像上的动点A(m,n)与点A'(m,-n)关于x轴对称，由于A'(m,-n)始终在直线y=-x+2-n)及直线上的点A’‘(m，-m+2）的纵坐标，得出在0<m≤3时恒成立的不等式-am2+(a+1)a+2m+2>-m+

a >m在0<m≤3时恒成立问题，然后取m的最大值，可得出关于参数a的不等式，进而求出a的取值范围。（3）求解过程动点A(m,n)与点A'(m,-n)关于x轴对称，因为动点A(m,n)在二次函数y=ax2-(a+1)x-2（a>0）上，所以n=am2-(a+1)m-2，从而-n=-am2+(a+1)m+2（a>0）.又(m,-n)始终在直线y=-x+2以-am2+(a+1)m+2>-m+2在0<m≤3时恒成立.即am2-(a+2)m<

0在0<m≤3时恒成立，即am–(a+2)<0在0<m≤3+2>m在0<m≤3时恒成立，所以只需a+2大于m的最大值a aa即可.又因为0<m≤3,所以只需a+2>3（a>0），解得0<a<1.所a以a的取值范围是0<a<1.2．分类讨论法（1）方法概述境下求解问题，这样有助于更周全、更有条理地解决问题。（2）解题思路分析动点A(m,n)与点A'(m,-n)关于x轴对称，由于A'(m,-n)始终在直线y=-x+2-n)及直线上横坐标为m的点A’‘(m，-m+2)的纵坐标，可得出在0<m≤3时恒成立的不等式-am2+(a+1)m+2>- m+2，即0<m≤3时am2-(a+2)m<0恒成立.构造二次函数y=am2-(a+2)m（0<m≤由于函数表达式中含有参数a，需对参数a进行分类讨论，进而求出参数a的取值范围.（3）求解过程二次函数图像上的动点A(m,n)与点A'(m,-n)关于x轴对称，因为动点A(m,n)在二次函数y=ax2-(a+1)x-2（a>=am2-(a+1)m-2（a>-n=-am2+(a+1)m+2（a>(m,-n)始终在直线y=-x+2的上方，所以-am2+(a+1)m+2>- m+2在0<m≤am2-(a+2)m<0在0<m≤3时恒成立。构造二次函数y=am2-(a+a+2=1+1>1，2 a 2①当1<1+1<3即a>2时，如图1，在0<m≤1+1时，当

m的增2 2 a 5 2 a大时y减小，当1+1<m≤3时，当

m的增大时y增大，而且当m=0时，y=2 a0;当m=3时y=6a-6.所以要使am2-(a+2)m<0在0<m≤3时恒成立，只需6a-6<0<><a<5 5②当12

+1≥3，即0<a≤2时，如图2，在0<m≤3时，当

m的增5a大时y减小，又当m=0时，y=0.所以在0<m≤3时y<0恒成立.即当5a20<a≤ 时,25am2-(a+2)m<0在0<m≤3时恒成立. 图1 图2综合①②可得，a

的取值范围是0<a<1.3.数形结合法（1）方法概述数形结合兼有数的严谨性与形的直观性这两方面优点。以数助形即用数量加深对知识的理解，以及深刻认识问题的本质。（2）解题思路分析动点A(m,n)与点A'(m,-n)关于x轴对称，由于A'(m,-n)始终在直线y=-x+2-n)及直线上横坐标为m的点A’‘(m，-m+2)的纵坐标，可得出在0<m≤3时不等式-am2+(a+1)m+2>- m+2在0<m≤3时恒成立，然后构造两个函数y1=-am2+(a+1)m+2(a>0), y2=- m+

a的取值范围.（3）求解过程动点A(m,n)与点A'(m,-n)关于x轴对称，因为当0<m≤3时，A'(m,-n)因为动点A(m,n)在二次函数y=ax2-(a+1)x-2（a>=am2-(a+1)m-2（a>0）

从而-n=-am2+(a+1)m+2（a><m≤3时，A'(m,-n)始终在直线y=-x+2的上方，所以-am2+(a+1)m+2>-m+2在0<m≤3时恒成立。构造两个函数：y1=-am2+(a+1)m+2（a>0）,y2=- m+2.则-am2+(a+1)m+2>-m+2在0<m≤3时恒成立，即y1>y2在0<m≤3时恒成立，也即当0<m≤3时，函数y1的图像在函数y2图像的上方.因为aa+2 1>0，-a<0，则y1的图像是一开口向下的抛物线，对称轴是m=2a

=+21 1>1 13，a 2 2由图易知，只需当m=3时y1>y2即可，从而得图3-9a+3(a+1)+2> -3+2，求出a<1.又a>0，故得到0<a<1.二．两道习题----方法的应用1． 参变分离法的应用练习=x2-ax-3,y2=-2x+3a,当-3<x<3时,y1>y2a的取值范围.解：当-3<x<3时,y1>y2，即当-3<x<3时，不等式x2-ax-3>-2x+3a恒成立，即当-3<x<3时，不等式（x+3）a<x2+2x-3恒成立.因为当-3<x<3时，（x+3）>-3<x2+2x-3x<3时，a<

x+3即a<x-1恒成立，又当-3<x<3时，-4<x-1<2，所以a<-4.2． 分类讨论法与数形结合法的综合应用练习2：已知A（a，-2），B（-a，1-2a），若二次函数y=x2-ax-3的图像与线段AB有且只有一个交点，求a的取值范围.解：①当a>0时，如图4，yyyx-ax-3OxA(a,-2)B(-a,1-2a)图4当x=a时，y=a2-a2-3=-3<-2；当x=-a时，y=a2+a2-3=2a2-3,要二次函数y=x2-ax-3的图像与线段AB有且只有一个交点，结-3≥1-+a-2≥-1)(a+2)≥0，得a≥1或a≤-2.又因为a>0，故得出a≥1.②当a<0时，如图5，图5当x=a时，y=a2-a2-3=-3<-2；当x=-a时，y=a2+a2-3=2a2-3.要二次函数y=x2-ax-3的图像与线段AB-3≥1-+a-2≥-1)(a+2)≥a≥1或a≤-2.又因为a<，故得出a-2.综合①②，可得a的取值范围为a≥1或a≤-2三．全文小结题的