线段的垂直平分线 省赛获奖

第一章三角形的证明第三节线段的垂直平分线（一）我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.请你尝试证明这一结论，并与同伴交流.定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=BC，P是MN上任意一点.求证:PA=PB.证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=900.∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).如果点P与点C重合，那么结论显然成立.想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果是,请你加以证明.定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.已知：如图，线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．求证：P点在线段AB的垂直平分线上．BPABPA证明：过点P作直线MN⊥AB,垂足为C,则PC是△PAB的高.MNC∵PA=PB,∴△PAB是等腰三角形.∴PC是△PAB的中线（三线合一）.∴AC=BC.∴直线MN是线段AB的垂直平分线.∴点P在线段AB的垂直平分线上例1已知：如图，在△ABC中，AB=AC,O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.证明：∵AB=AC,∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上）.同理，点O在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.1.已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E,F是AB上的两点.求证：∠ECF=∠EDF.随堂练习证明：∵AB是线段CD的垂直平分线，∴CE=DE，CF=DF.∴∠ECD=∠EDC，∠FCD=∠FDC.∴∠ECD+∠FCD=∠EDC+∠FDC.即∠ECF=∠EDF．2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200，AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F,连接AF,求∠AFC的度数.提示:∵EF垂直平分AB,∴AF=BF.∵AB=AC,∠BAC=1200,∴∠B=∠C=300.∵AF=BF,∴∠BAF=∠B=300.∴∠AFC=∠B+∠BAF=600.3.在以线段AB为底边的所有等腰三角形中,它们另一个顶点的位置有什么共同特征？这些顶点都在线段AB的垂直平分线上.BC长为23.理由如下：∵DE垂直平分AB∴BE＝AE∵三角形BCE的周长为50,即BE+EC+BC＝50.∴AE+EC+BC＝50.即AC+BC=50.∵AC=27,∴BC=50－AC=50－27=23.4.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.5.如图,A,B表示两个仓库,要在A,B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建造在什么位置？

提示:连接AB,作AB的垂直平分线,交河岸于点P.码头应建在点P处(如图).6.如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD.A.B.C.D.提示：连接AB,CD,分别作AB、CD的中垂线，中垂线的交点就是要求的P点.作图痕迹