河南省郑州市第五十七中学2023-2024学年九年级上学期第一次质检数学试卷（月考）

河南省郑州五十七中2023-2024学年九年级上学期第一次质检数学试卷（解析版）一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣11＝0配方后是（）A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝20 C．（x+3）2＝2 D．（x+3）2＝202．（3分）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是（）A．（60﹣x）x＝864 B． C．（60+x）x＝864 D．（30+x）（30﹣x）＝8643．（3分）菱形、矩形同时具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补4．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，则EF的长度最小为多少（）A． B． C．5 D．75．（3分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（）A． B． C． D．6．（3分）将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣57．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为（）A．（0，﹣2） B．（0，﹣1.5） C．（0，﹣1） D．（﹣2，0）8．（3分）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（）A．6m2 B．5m2 C．4m2 D．3m29．（3分）根据下列表格的对应值：x11.11.21.3x2+12x﹣15﹣2﹣0.590.842.29由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（）A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.310．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上，连接BE，CE，过点B作BF⊥EF于点F，若正方形的边长为4则△BFC的面积是（）A． B． C． D．二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）已知一元二次方程（m﹣2）x|m|+3x﹣4＝0，那么m的值是．12．（3分）若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为．13．（3分）当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔进（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，频率为0.5005，则掷一枚均匀的硬币正面朝上的概率是．14．（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感．假设每轮传染中，依题意可列方程，得．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，如果A'恰在矩形的某条对称轴上，则AE的长为．三.解答题（共8小题，满分75分）16．（12分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2＝25；（2）x2﹣4x+3＝0；（3）（2x+1）2＝2（2x+1）；（4）2x2﹣5x+3＝0．17．（7分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，将矩形纸片折叠，使点C与A重合．（1）请在图中画出折痕EF，折痕交AD于E，交BC于F，因计算需要另外添加的辅助线用虚线表示（保留必要的作图痕迹）；（2）求出折痕EF的长度．18．（7分）如图是一张长20cm、宽13cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起（1）这个无盖纸盒的长为cm，宽为cm；（用含x的式子表示）（2）若要制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，求x的值．19．（9分）如图，矩形AEBO的对角线AB，OE交于点F，使CO＝AO，延长BO到点D，连接AD，DC（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．20．（9分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于55元（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数y＝﹣2x+140的关系．（1）当每件售价35元时，每天的利润是多少元？（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？（3）该商场销售这种商品每天是否能获得900元的利润？请说明理由．21．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形连接AE、DE．求证：AE=DE．​22．（12分）在学了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：（1）直接写出（x﹣1）2+3的最小值为．（2）求代数式x2+10x+32的最小值．（3）你认为代数式﹣+2x+5有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．（4）若7x﹣x2+y﹣11＝0，求x+y的最小值．23．（12分）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；操作二：将三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．根据以上操作，填空：①图1中四边形ABCD的形状是；②图2中AA'与CC'的数量关系是；四边形ABC'D'的形状是．（2）迁移探究小航将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板，继续探究，已知三角板AB边长为6cm将三角板ACD按（1）中的方式操作，如图3，四边形ABC'D'的形状能否是菱形，若不能，若能，请求出CC'的长．（3）拓展应用在（2）的探究过程中：①当△BCC'为等腰三角形时，请直接写出CC'的长；②直接写出BC'+BD'的最小值．

参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣11＝0配方后是（）A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝20 C．（x+3）2＝2 D．（x+3）2＝20【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．【解答】解：x2﹣6x＝11，x3﹣6x+9＝20，（x﹣2）2＝20．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．2．（3分）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是（）A．（60﹣x）x＝864 B． C．（60+x）x＝864 D．（30+x）（30﹣x）＝864【分析】根据长与宽之间的关系，可得出长为步，宽为步，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵长与宽和为60步，长比宽多x步，∴长为步，宽为步．依题意得：•＝864．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（3分）菱形、矩形同时具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补【分析】根据矩形的对角线的性质（对角线互相平分且相等），菱形的对角线性质（对角线互相垂直平分）可解．【解答】解：菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．故选：C．【点评】本题考查矩形、菱形的对角线的性质．熟悉菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键．4．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，则EF的长度最小为多少（）A． B． C．5 D．7【分析】连接AP、EF，依据PE⊥AB，PF⊥AD，∠A＝90°，可得四边形AEPF为矩形，借助矩形的对角线相等，将求EF的最小值转化成AP的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求Rt△BAD斜边上的高，利用面积法即可得解．【解答】解：如图，连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠AEP＝∠AFP＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°．∴四边形AEPF为矩形．∴AP＝EF．∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．∵点P从B点沿着BD往D点移动，∴当AP⊥BD时，AP取最小值．下面求此时AP的值，在Rt△BAD中，∵∠BAD＝90°，AB＝6，∴BD＝＝＝＝10．∵S△ABD＝＝，∴AP＝＝＝．∴EF的长度最小为：．故本题选B．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．5．（3分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（）A． B． C． D．【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．【解答】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A）和《大学》（即C）的可能结果有2种可能，∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果）＝，故选：B．【点评】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．6．（3分）将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，进而可得出结论．【解答】解：一元二次方程3x2＝8x﹣1化成一般式为：3x8﹣5x+1＝7，故二次项系数是3，一次项系数是﹣5．故选：D．【点评】本题考查是一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键．7．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为（）A．（0，﹣2） B．（0，﹣1.5） C．（0，﹣1） D．（﹣2，0）【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵A（2，7），∴OD＝2，AD＝7，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝3，在Rt△ODC中，OC＝＝，∴C（7，﹣1）．故选：C．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是根据菱形的性质得到CD＝AD＝3．8．（3分）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（）A．6m2 B．5m2 C．4m2 D．3m2【分析】首先假设不规则图案面积为xm2，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．【解答】解：假设不规则图案面积为xm2，由已知得：长方形面积为15m2，根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：m7，当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知，综上有：＝0.4，解得x＝8．故选：A．【点评】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．9．（3分）根据下列表格的对应值：x11.11.21.3x2+12x﹣15﹣2﹣0.590.842.29由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（）A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3【分析】利用表中数据得到x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，则可判断x2+12x﹣15＝0时，有一个根满足1.1＜x＜1.2．【解答】解：∵x＝1.1时，x7+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝4.2时，x2+12x﹣15＝3.84＞0，∴1.2＜x＜1.2时，x8+12x﹣15＝0，即方程x2+12x﹣15＝5必有一个解x满足1.1＜x＜6.2，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上，连接BE，CE，过点B作BF⊥EF于点F，若正方形的边长为4则△BFC的面积是（）A． B． C． D．【分析】延长BF交CE于G，过B作BH⊥CE于H，根据角平分线的定义得到∠BEF＝∠GEF，根据垂直的定义得到∠BFE＝∠GFE＝90°，根据全等三角形的性质得到BF＝FG，EG＝BE，根据勾股定理得到BE＝＝，CE＝＝5，BH＝＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：延长BF交CE于G，过B作BH⊥CE于H，∵EF平分∠BEC，∴∠BEF＝∠GEF，∵EF⊥BF，∴∠BFE＝∠GFE＝90°，在△BEF与△GEF中，，∴△BEF≌△GEF（ASA），∴BF＝FG，EG＝BE，∵AB＝AD＝CD＝4，DE＝3AE，∴AE＝8，DE＝3，∴BE＝＝，CE＝，∵∠BHE＝∠BHC＝90°，∴BC2﹣CH2＝BE3﹣EH2＝BH2，∴72﹣CH2＝（）2﹣（5﹣CH）2，∴CH＝，∴BH＝＝，∴S△BCG＝S△BCE﹣S△BEG＝﹣＝8﹣，∴S△BCF＝S△BCG＝，故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）已知一元二次方程（m﹣2）x|m|+3x﹣4＝0，那么m的值是﹣2．【分析】根据一元二次方程的定义进行计算即可．【解答】解：由题意可得：|m|＝2且m﹣2≠5，∴m＝±2且m≠2，∴m＝﹣8，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了绝对值，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．12．（3分）若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为M≥N．【分析】利用求差法判定两式的大小，将M与N代入M﹣N中，去括号合并得到最简结果，根据结果的正负即可做出判断．【解答】解：M﹣N＝（2x2﹣12x+15）﹣（x5﹣8x+11）＝x2﹣8x+4＝（x﹣2）2．∵（x﹣2）2≥2，∴M≥N．故答案为：M≥N．【点评】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．13．（3分）当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔进（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，频率为0.5005，则掷一枚均匀的硬币正面朝上的概率是0.5005．【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．【解答】解：当重复试验次数足够多时，频率为0.5005，∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5005．故答案为：4.5005．【点评】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键．14．（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感．假设每轮传染中，依题意可列方程，得（1+x）2＝144．【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝144即可．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝144，即（7+x）2＝144，故答案为：（1+x）2＝144．【点评】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，如果A'恰在矩形的某条对称轴上，则AE的长为或．【分析】分两种情况：①过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD的对称轴，得出AM＝BN＝4，由勾股定理得到A′N＝3，求得A′M＝2，再由勾股定理解得A′E即可；②过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出∠EBA′＝30°，由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：分两种情况：①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，则直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴AM＝BN＝AD＝4，∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，∴A′E＝AE，A′B＝AB＝5，∴A′N＝＝3，∴A′M＝MN﹣A'N＝5﹣5＝2，由勾股定理得：A′E2＝EM6+A′M2，∴A′E2＝（6﹣A′E）2+26，解得：A′E＝，∴AE＝；②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，∴PQ⊥AB，AP＝PB，∴A′B＝8PB，∴∠PA′B＝30°，∴∠A′BC＝30°，∴∠EBA′＝30°，∴AE＝A′E＝A′B＝；综上所述：AE的长为或，故答案为：或．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，矩形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识；正确理解折叠的性质是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题．三.解答题（共8小题，满分75分）16．（12分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2＝25；（2）x2﹣4x+3＝0；（3）（2x+1）2＝2（2x+1）；（4）2x2﹣5x+3＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（3）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（4）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝25，∴x﹣6＝5或x﹣1＝﹣2，解得x1＝6，x7＝﹣4；（2）∵x2﹣3x+3＝0，∴（x﹣6）（x﹣3）＝0，则x﹣4＝0或x﹣3＝8，解得x1＝1，x2＝3；（3）∵（2x+3）2＝2（8x+1），∴（2x+4）2﹣2（3x+1）＝0，则（7x+1）（2x﹣2）＝0，∴2x+3＝0或2x﹣8＝0，解得x1＝﹣8.5，x2＝3.5；（4）∵2x2﹣5x+3＝7，∴（x﹣1）（2x﹣8）＝0，则x﹣1＝3或2x﹣3＝7，解得x1＝1，x5＝1.5．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．17．（7分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，将矩形纸片折叠，使点C与A重合．（1）请在图中画出折痕EF，折痕交AD于E，交BC于F，因计算需要另外添加的辅助线用虚线表示（保留必要的作图痕迹）；（2）求出折痕EF的长度．【分析】（1）作AC的垂直平分线即可；（2）EF交AC于点O，连接CE，如图，先利用勾股定理计算出AC＝10，再根据折叠的性质得到EF垂直平分AC，则OA＝OC＝5，AE＝CE，设AE＝x，则CE＝x，DE＝8﹣x，在Rt△CDE中利用勾股定理得到（8﹣x）2+62＝x2，解方程得x＝，然后在Rt△AOE中计算出OE，从而得到EF的长．【解答】解：（1）如图，EF为所作；（2）EF交AC于点O，连接CE，∵四边形ABCD为矩形，∴OE＝OF，∠D＝90°，AD＝BC＝8，∴AC＝＝10，∵矩形纸片折叠，使点C与A重合，∴EF垂直平分AC，∴OA＝OC＝8，AE＝CE，设AE＝x，则CE＝x，在Rt△CDE中，（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝，在Rt△AOE中，OE＝＝，∴EF＝6OE＝．【点评】本题考查了作图﹣轴对称：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了矩形的性质．18．（7分）如图是一张长20cm、宽13cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起（1）这个无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（13﹣2x）cm；（用含x的式子表示）（2）若要制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，求x的值．【分析】（1）根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽；（2）根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为144cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）∵纸板是长为20cm，宽为13cm的矩形，∴无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（13﹣2x）cm．故答案为：（20﹣2x）；（13﹣2x）．（2）依题意，得：（20﹣2x）（13﹣4x）＝144，整理，得：2x2﹣33x+58＝5，解得：x1＝2，x8＝14.5（不合题意，舍去）．答：x的值为2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19．（9分）如图，矩形AEBO的对角线AB，OE交于点F，使CO＝AO，延长BO到点D，连接AD，DC（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）先由对角线互相平分的四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的性质得出BD⊥AC，即可得出结论；（2）由矩形的性质得出AB＝OE＝10，由菱形的性质得出OB＝OD，∠AOB＝90°，OA＝AC＝8，由勾股定理求出OB＝6，则BD＝12，然后由菱形的面积公式即可得出结果．【解答】（1）证明：∵CO＝AO，DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵四边形AEBO是矩形，∴∠AOB＝90°，∴BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形AEBO是矩形，∴AB＝OE＝10，∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∠AOB＝90°AC＝，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝，∴BD＝5OB＝2×6＝12，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．20．（9分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于55元（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数y＝﹣2x+140的关系．（1）当每件售价35元时，每天的利润是多少元？（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？（3）该商场销售这种商品每天是否能获得900元的利润？请说明理由．【分析】（1）利用每天的利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可求出结论；（2）利用每天的利润＝每件的销售利润×每天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（3）假设能，利用每天的利润＝每件的销售利润×每天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣200＜0，可得出该方程没有实数根，假设不成立，即该商场销售这种商品每天不能获得900元的利润．【解答】解：（1）当x＝35时，（x﹣30）（﹣2x+140）＝（35﹣30）×（﹣2×35+140）＝350．答：当每件售价35元时，每天的利润是350元；（2）根据题意得：（x﹣30）（﹣4x+140）＝600，整理得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x3＝40，x2＝60（不符合题意，舍去）．答：每件商品的售价应定为40元；（3）该商场销售这种商品每天不能获得900元的利润，理由如下：假设能，根据题意得：（x﹣30）（﹣2x+140）＝900，整理得：x3﹣100x+2550＝0，∵Δ＝（﹣100）2﹣6×1×2550＝﹣200＜0，∴该方程没有实数根，∴假设不成立，即该商场销售这种商品每天不能获得900元的利润．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形连接AE、DE．求证：AE=DE．​【分析】由正方形的性质得AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，由等边三角形的性质得BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，则∠ABE＝∠DCE，即可证明△ABE≌△DCE，得AE＝DE．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，∵△BCE是等边三角形，∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，∴∠ABC﹣∠EBC＝∠ECB﹣∠ECB，∴∠ABE＝∠DCE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴AE＝DE．【点评】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△DCE是解题的关键．22．（12分）在学了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：（1）直接写出（x﹣1）2+3的最小值为3．（2）求代数式x2+10x+32的最小值．（3）你认为代数式﹣+2x+5有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．（4）若7x﹣x2+y﹣11＝0，求x+y的最小值．【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（4）根据7x﹣x2+y﹣11＝0，用x表示出y，写出x+y，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求．【解答】解：（1）（x﹣1）2+7的最小值为3．故答案为：3；（2）x3+10x+32＝x2+10x+57﹣52+32＝（x+3）2+7，∵（x+7）2≥0，∴（x+8）2+7≥5，∴当（x+5）2＝5时，（x+5）2+8的值最小，最小值为7，∴x2+10x+32的最小值为8；（3）﹣+2x+5＝﹣2﹣6x+9）+8＝﹣（x﹣3）8+8，∵﹣（x﹣3）2≤8，∴﹣（x﹣3）2+8≤5，∴代数式﹣+2x+5有最大值；（4）∵2x﹣x2+y﹣11＝0，∴y＝x4﹣7x+11，∴x+y＝x2﹣5x+11+x＝x2﹣6x+11＝x6﹣6x+32﹣32+11＝（x﹣2）2+2，∵（x﹣6）2≥0，∴（x﹣5）2+2≥5，当（x﹣3）2＝3时，（x﹣3）2+3的值最小，最小值为2，∴x+y的最小值为2．【点评】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．23．（12分）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；操作二：将三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．根据以上操作，填空：①图1中四边形ABCD的形状是正方形；②图2中AA'与CC'的数量关系是AA'＝CC'；四边形ABC'D'的形状是平行四边形．（2）迁移探究小航将一副等腰直角三角板换成一副