人教版八年级数学上册 （平方差公式）整式的乘法与因式分解教育教学课件

平方差公式

学习目标1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.（重点）2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点）回顾旧知说一说多项式与多项式是如何相乘的？

（x＋2)(x＋3）=x2＋3x＋2x＋6=x2＋5x＋6.

(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq合作探究某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到形式相同的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果。x2

－12m2－22(2x)2

－12计算下列多项式的积，你能发现什么规律？上面几个运算都是形如a+b的多项式与a-b的多项式相乘，即(a+b)(a−b)=aa-ab+ba-bb=a2−b2合作探究(a+b)(a−b)=a2−b2即，两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.平方差公式:注：这里的两数可以是两个单项式

也可以是两个多项式等．(a+b)(a-b)=a2-b2

相同为a相反为b，-b小试牛刀(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)填一填：

aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-120.3x1(0.3x)2-12(a-b)(a+b)典例精析例1

计算：(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)（-x+2y)(-x-2y).(2)原式＝(-x)2-(2y)2＝x2-4y2.解：（1）原式=(3x)2－22=9x2－4；知识点拨：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．小试牛刀1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？√×××小试牛刀1、利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25；(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；小试牛刀2.计算：解：小试牛刀3、先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，

其中x＝1，y＝2.原式＝5×12－5×22＝－15.解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，课堂小结今天我们收获了哪些知识？

1.说一说乘法的平方差公式？

2.应用平方差公式时要注意什么？紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2综合演练1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)C2.计算（-2x-1）（2x-1）等于（）A．4x2-1B．2x2-1C．4x-1D．-4x2+1D综合演练3、下列各题：

(l)(-a+b)(a+b)=_________.(2)(a-b)(b+a)=__________.(3)(-a-b)(-a+b)=________.(4)(a-b)(-a-b)=_________.a2-b2a2-b2b2-a2b2-a24.两个正方形的边长之和为6，边长之差为4，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．24综合演练5.利用平方差公式计算:（1）（a-2)(a+2)(a2+

4)

解:原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=（x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.综合演练6、对于任意的正整数n，整式(2n＋1)(2n－1)－(2－n)(2＋n)

的值一定是5的整数倍吗？即(2n＋1)(2n－1)－(2－n)(2＋n)的值是5的倍数．解：原式＝4n2－1－(4－n2)＝5n2－5.∵(5n2－5)÷5=n2-1.n为正整数，∴n2-1为整数课后作业教材112页练习题第1题．12.1全等三角形

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教学目标教学目标：1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质.2.能找准全等三角形的对应边，理解全等三角形的对应角相等.3.能进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题.

教学重点:

理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质.

教学难点：能找准全等三角形的对应边，理解全等三角形的对应角相等.新知讲解

合作学习知识点一：全等形的定义及性质问题1：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？①②③问题2：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？

④⑤

全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.全等形性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.下面哪些图形是全等图形？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）练一练思考：把一个三角形平移、旋转、翻折，变换前后的两个三角形全等吗？AACBDEABCDCFNMBABDCEF

一个图形经过平移,翻折，旋转后，位置变化了，但＿＿＿和＿＿＿都没有改变，即平移，翻折，旋转前后的图形___________.完全重合形状大小全等变化知识点二：全等三角形的定义及其他概念EDFBACABC像上图一样，把△ABC叠到△DEF上，能够完全重合的两个三角形,叫作全等三角形.把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角.你能指出上面两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角吗？点A与点D、点B与点E、点C与点F重合，称为对应顶点；边AB与DE、边BC与EF、边AC与DF重合，称为对应边；∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F重合，称为对应角.ABCEDF要点：对应顶点的字母写在对应的位置上提炼概念

△ABC≌△FDEA

BCEDF注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等的表示方法“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.典例精讲

例1你能指出下图中两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角吗？ABCDABCDABCD对应顶点：对应边：对应角：A与A,B与D,C与CAB与AD,BC与DC,AC与AC∠ABC与∠ADC,∠BCA与∠DCA,∠BAC与∠DACA与C,B与D,C与AAB与CD,BC与AD,AC与CA∠ABC与∠CDA,∠BCA与∠DAC,∠BAC与∠DCAA与D,B与C,C与BAB与DC,BC与CB,AC与DB∠ABC与∠DCB,∠BCA与∠CBD,∠A与∠D

请利用自制的一对全等三角形拼出有公共顶点或公共边或公共角的图形.试用全等符号表示它们，分析每个图形，找准对应边、对应角.探究归纳:寻找对应边、对应角有什么规律?ABCDOABCDOABCDEABDCE2.有公共点ABCDABCDABCD1.有公共边归纳概念

（1)根据书写规范，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，故可按照对应顶点的位置确定对应元素．如：△ABC≌△DEF，则AB和DE，AC和DF，BC和EF是对应边，∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．确定全等三角形对应元素的“三种方法”(2)图形位置法：①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角．(3)图形大小法：最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；

对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角．知识点三：全等三角形的性质如图，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角有什么关系？A

BCDFE

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.全等三角形的性质∵△ABC≌△FDE∴AB=FD，AC=FE，BC=DE（全等三角形对应边相等）∠A=∠F，∠B=∠D，∠C=∠E（全等三角形对应角相等）几何语言:例2：如图，△ABC与△ADC全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角.解：△ABC≌△ADC;相等的边为：AB=AD，AC=AC，BC=DC；相等的角为：∠BAC=∠DAC，∠B=∠D，∠ACB=∠ACD.常见全等三角形展示课堂练习1.下列说法正确的是()A.两个面积相等的图形一定是全等形B.两个长方形是全等形C.两个全等图形的形状一定相同D.两个正方形一定是全等形C2．如图所示，△ABC≌△CDA，且AB与CD是对应边，那么下列说法中错误的是(

)A．∠1与∠2是对应角B．∠B与∠D是对应角C．BC与AC是对应边D．AC与CA是对应边C3.如图，△ABC≌△ADE,若∠D=∠B，∠C=∠AED，∠DAE=

；∠DAB=

.ABCDE∠BAC∠EAC4.如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角.解：△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.解：（1）对应边：AB和AC，AD和AE，BD和CE.对应角：∠A和∠A，