2021-2022学年河南省信阳市高二上学期期末数学（文）试题

20212022学年河南省信阳市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．若，为实数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用特殊值检验和不等式的性质即可求解.【详解】对于选项,若，，则A不成立；对于选项,若，，则B不成立；对于选项,若，，，无意义，则C不成立；对于选项,∵，，∴,则D成立.故选：.2．若命题为“，”，则为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据含有全称量词的命题的否定就是要将全称量词改写为存在量词，同时否定结论，即可得到结论.【详解】否定含有一个量词的全称命题时，要将全称量词改写为存在量词，同时否定结论，则命题的否定为：“，.故选:.3．已知实数，满足不等式组，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出不等式组对应的平面区域，然后根据线性规划的几何意义求得答案.【详解】作出不等式组所对应的可行域如图三角形阴影部分，平行移动直线直线，可以看到当移动过点A时，在y轴上的截距最小,联立，解得，当且仅当动直线即过点时，取得最小值为，故选：B4．若方程表示的曲线为，则（

）A．是为椭圆的充要条件B．是为椭圆的充分条件C．是为焦点在轴上椭圆的充要条件D．是为焦点在轴上椭圆的充分条件【答案】C【分析】根据椭圆的性质及焦点的性质可写出其充要条件，然后逐项分析即可.【详解】解：对于A、B选项：曲线表示椭圆的充要条件是且，所以A，B不正确；对于C、D选项：方程表示焦点在轴上椭圆，所以C对，D错.故选：C5．在中，，，的对边分别为，，，若，则最大角的弧度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理和余弦定理进行求解.【详解】解：由正弦定理得:设根据余弦定理可知又所以，根据正弦定理可知长边对大角，故最大角的弧度数为.故选：B6．设为双曲线右支上一点，，为左、右焦点，，则（

）A．，，为一个锐角三角形的顶点 B．，，为一个钝角三角形的顶点C．，，为一个直角三角形的顶点 D．，，不为三角形的顶点【答案】D【分析】根据双曲线的定义，结合题意，求得，再根据双曲线的性质，即可判断.【详解】设双曲线的实轴，虚轴，半焦距分别为，，，则，，，由已知得，，又，所以，，所以为实轴的右端点，所以，，不为三角形的顶点.故选：.7．以点为切点的曲线的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】利用导数的几何意义，求出切线方程，在求出与坐标轴交点坐标即可。【详解】，，所以切线的斜率为，切线方程为，即，与x轴y轴的交点坐标分别为（0，1），（1，0），所围成的面积；故选：A.8．已知命题p：，；命题q：，，则（

）A．是假命题 B．是真命题C．是真命题 D．是真命题【答案】D【分析】先分别判断命题、的真假，再利用逻辑联结词“或”与“且”判断命题的真假.【详解】由题意，判断得命题为真命题，命题为假命题，所以是假命题，为真命题，所以是真命题，是假命题，是假命题，是真命题.故选：D9．已知，为正实数，且，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．6 D．7【答案】C【分析】根据已知条件，将目标式中的用替换，再利用基本不等式即可求得结果.【详解】由已知条件得，，当且仅当，即，时取等号.故选：.10．设抛物线的焦点为，点在的中点在抛物线上，，则点的坐标为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根据题意，设出点的坐标，根据抛物线的定义，求得参数，再求点的坐标即可.【详解】设，易知，则，如图所示.因为，所以，设抛物线的准线为，过作于点，则，解得，所以抛物线方程为，且，又在抛物线上，所以，解得，所以点的坐标为或.故选：.11．“天干地支纪年法”（也叫农历）源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推.今年（2021年）为“天干地支纪年法”的辛丑年，为了推算公元年（为不小于2021的正整数）所在的农历年份，我们定义数列：的余数，若，则公元第年为辛丑年；若，则公元第年为壬寅年，依次类推，…，则以下不正确的为（

）A． B．，C． D．【答案】D【分析】根据数列的定义可判断A，数列的周期为60，可判断B，利用逆否命题的等价性可判断C，，则，可判断D.【详解】的余数的余数，所以A对；由的定义得，，所以B对；等价于，显然对，所以C对；若，则，所以D错.故选：D12．如图所示，在直线坐标系xoy中，抛物线段ARB对应的函数解析式为，其中A，B分别为抛物线段与x，y轴的交点，为抛物线段上任意一点，过R点的直线PQ与抛物线段ARB相切，与x轴交于点P，与y轴交于点Q，过B作BC平行于x轴，与直线PQ交于C，则以下错误的是（

）A．直线PQ的方程为B．抛物线段ARB的长度大于C．抛物线段ARB与坐标轴围成的面积大于1D．三角形POQ的面积取得最小值时，【答案】D【分析】根据导数的几何意义求切线方程，对选项逐一判断【详解】对于A，求导得，所以直线PQ的方程为，化简得，，所以A正确；对于B，显然抛物线段ARB的长度大于线段AB的长度，因为，所以抛物线段ARB的长度大于，所以B正确；对于C，抛物线段ARB与坐标轴围成的面积大于三角形OAB的面积1，所以C正确；对于D，三角形POQ的面积为，令，令，则，得，，时，时故在上单调递减，在上单调递增当且仅当时，三角形POQ的面积取得最小值，所以D错．故选：D二、填空题13．函数的导函数为______．【答案】【分析】由导数的运算法则计算【详解】函数的导函数为．故答案为：14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为C上一点，离心率，则双曲线的标准方程为______．【答案】【分析】根据题意列出方程组，求得，即可得解.【详解】解：根据题意可得，所以，所以双曲线的标准方程为．故答案为：．15．在中，，，分别是内角，，的对边，若，，，则的周长为______.【答案】【分析】利用余弦定理得到AC的长度，从而可得结果.【详解】由余弦定理可得，，所以的周长为.故答案为：16．已知等差数列、等比数列的前项和之积为，设等差数列的公差为、等比数列的公比为，以下正确的所有序号为______.①；②；③；④.【答案】④【分析】设等差数列、等比数列的前项和分别为，，由可得，然后可得答案.【详解】显然等比数列不是常数列，设等差数列、等比数列的前项和分别为，，其中，，，为常数，，，因为，即等差数列、等比数列的前项和之积为，所以，所以，所以，，，所以，，的值不确定，故答案为：④.三、解答题17．设，其中，．(1)若，且为真命题，求实数x的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，分别求出p，q为真命题时，实数x的取值范围，即可求出为真命题，实数x的取值范围；（2）利用集合的包含关系即可求得.【详解】(1)当时，，即p为真命题时，实数x的取值范围是同理q为真命题时，实数x的取值范围是因为为真命题，所以实数x的取值范围为；(2)，因为p是q的充分不必要条件，所以包含于所以，所以a的取值范围是18．在等差数列中，已知，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求得的通项公式；（2）由，得到，结合乘公比错位相减法，即可求得数列的前项和.【详解】(1)解：设等差数列的公差为，因为且，可得，解得，，所以的通项公式为.(2)解：由，可得，设，所以，两式相减得：，所以，所以.19．在三角形中，已知角，，的对边分别为，，，且，为方程的两个根，.(1)求三角形的面积；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据韦达定理得到，，再由余弦定理得到，所以，根据三角形面积公式得到结果即可；（2）由正弦定理得到，进而得到.【详解】(1)因为，为方程的两个根，所以，因为，所以因为，所以，所以三角形的面积为(2)在三角形中，由正弦定理得，所以，所以.20．已知抛物线的焦点为，为上的一个动点，与在的同一侧，且的最小值为.(1)求的方程；(2)若点在轴正半轴上，点、为上的另外两个不同点，点在第四象限，且，互相垂直、平分，求四边形的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合抛物线的定义可知等价于，进而根据当且仅当，，三点共线时取得最小值，即可求出结果.（2）结合抛物线的对称性求出顶点的坐标进而求出菱形的边长以及高，从而求出结果.【详解】(1)作出的准线，方程为，作于，所以，即的最小值为，因为与在的同一侧，所以当且仅当，，三点共线时取得最小值，所以，解得，所以的方程为；(2)因为，互相垂直、平分，所以四边形是菱形，所以轴，设点，所以，由抛物线对称性知，，由，得，解得，所以菱形的边，高，其面积为.21．函数的图象为曲线关于直线的对称曲线，，设为函数的导函数.（1）当时，求的零点；（2）时，设的最小值为，求证：.【答案】（1）1；（2）证明见解析.【分析】（1）由题知当时，，再结合函数的单调性与即可得答案；（2）由于，，为上的增函数，故在上有唯一的零点，且为函数的极小值点，进而得，再研究其最大值即可证明；【详解】解：（1）函数的定义域为，，设在上恒成立，所以为上的增函数.当时，，所以在上有唯一的零点1；（2）当时，，，因为是上的增函数，所以在上有唯一的零点，单调递减，单调递增，所以为函数的极小值点，也为最小值点，所以，因为，为上的减函数，所以，即.22．已知椭圆的离心率为，右焦点为，过作轴的垂线交双曲线的两条渐近线于，，得到三角形的面积为1.(1)求，；(2)设，，的三个点都在椭圆上，设的中点为，且.求证：的面积为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率及渐近线方程，表达出三角形面积后求参数.（2）分直线斜率存在和不存在两种情况分别计算出三角形面积，可知三角形的面积为定值.【详解】(1)椭圆的离心率为，其中，双曲线的两条渐近线的方程为，设，则因为三角形的面积为1，所以，所以，，故椭圆的方程为；(2)