【解析】四川省阆中中学高三全景模拟（最后一考）数学（理）试题

四川省阆中中学校高2017级全景模拟试题数学（理）一．选择题1.已知全集，，，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,∵，∴∴故选C点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.已知是虚数单位，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】，选D.3.某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】看见黄灯的概率是，则看不见黄灯的概率是，故选A.4.等比数列的各项均为正数，且，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设公比为，则，由题意得：，所以，选A.5.已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则()A.6 B.12 C.6 D.12【答案】A【解析】【分析】以向量为基底，将用基底表示，结合向量数量积的运算律，即可求解.【详解】由在边上且，为的中点，，，.故选：A.【点睛】本题考查向量基本定理以及向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.6.在如图所示的程序框图中，若函数，则输出的结果是（）A.16B.8C.D.【答案】A【解析】模拟执行程序框图，可得，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，满足条件，退出循环，输出的值为16．选A.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是()【答案】D【解析】【详解】由题意得，根据给定的三视图可知，原几何体是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥，所得的几何体，所以截去后剩余的几何体的体积为，故选D.8.已知函数（，）为奇函数，，是其图象上两点，若的最小值是1，则=（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】∵函数为奇函数，且，∴，．，是其图象上两点，若的最小值是1，则，∴，，则．选B.9.已知点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于、两点，若，则直线的倾斜角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知点坐标求出，方程为，代入抛物线方程整理得，设，则，，再利用得，结合进来可求得、（只要有一个即可）点坐标，得出直线斜率后即得倾斜角，从而得倾斜角的正弦值．【详解】由已知，，即抛物线方程为，为抛物线焦点，题中直线斜率显然不为0，设方程为，代入抛物线方程整理得，设，则①，②，由得，所以，即③，③代入②得，，时，，时，，所以或，设直线的倾斜角为，则，或，即或，所以．故选：A．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设出直线方程，设出交点坐标，应用韦达定理，得出，结合已知条件求出交点坐标，然后可得出结论．考查了学生的运算求解能力．10.已知函数，其中，若函数的最大值记为，则的最小值为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】函数，化简可得：，令，令，，∵，开口向下，对称轴，故当时，取得最大值为（当且仅当，即时取等号），故得的最小值为．选D11.三棱锥中，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是线段上一动点，连接，∵互相垂直，∴就是直线与平面所成角，当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大．此时，，在直角△中，．三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为，∴三棱锥的外接球的半径为，∴三棱锥的外接球的表面积为．选B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．12.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被3整除即可得概率．【详解】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9，因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除，所以所求概率．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，考查中国古代数学文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数．二、填空题13.若实数满足，则的最小值是__________.【答案】0【解析】【分析】画出满足条件的可行域，令，根据图象求出目标函数的最小值.【详解】画出满足的可行域，如下图所示，设，由图形可得，目标函数过原点时，取得最小值，所以的最小值为0.故答案为：0【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.14.过定点的直线：与圆：相切于点，则__．【答案】4【解析】直线：过定点，的圆心，半径为：3；定点与圆心的距离为：．过定点的直线：与圆：相切于点，则．点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．15.已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为__________．（用数字作答）【答案】120【解析】【详解】由题意，(2x2+xy)n的展开式中各项系数的和为32，即2n=32，∴n=5，那么(2x2+xy)5=[(2x2+x)y]5，通项公式，展开式中含有x5y2，可知r=2．那么(2x2+x)3中展开必然有x5，由通项公式，可得，含有x5的项：则t=1，∴展开式中x5y2的系数为.16.设公差不为的等差数列的前项和为，若成等比数列，且，则的值是____.【答案】【解析】【分析】由成等比数列得，再由为等差数列代入等差数列的通项公式可得，再由得，化简可得，从而得或即可求解.【详解】设等差数列公差为，因为成等比数列，所以，所以，解得，又，所以，化简得，因为，所以或解得或(舍去)，所以.故答案为【点睛】本题主要考查等比中项、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在△中，分别是内角的对边，且．（1）求角的大小；（2）若，且，求△的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根据余弦定理可得角的大小；（2）先根据两角和与差正弦公式化简得，或，再根据正弦定理得，结合条件可解得a,c，最后根据三角形面积公式求面积【详解】（1）:，可得：，∴由余弦定理可得：，∵，∴．（2）∵，∴，∴，可得：，∴，或，∴当时，，可得，可得；当时，由正弦定理知，由余弦定理可得：，解得：，，．18.共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？年轻人非年轻人合计经常使用单车用户120不常使用单车用户80合计16040200使用共享单车情况与年龄列联表（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布列与期望．参考数据：独立性检验界值表其中，，【答案】（1）列联表见解析，有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为．【解析】【分析】（1）补全的列联表，利用公式求得，即可得到结论；（2）由（1）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量取每个数值的概率，列出分布列，求解数学期望.【详解】（1）补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计经常使用共享单车10020120不常使用共享单车602080合计16040200于是，，，，∴，即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．（2）由（1）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，∵，∴，，，∴的分布列为01230.001．∴的数学期望．【点睛】本题主要考查了列联表,独立性检验，二项分布，二项分布的期望，属于中档题.19.已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如图，其中，，，点为线段的中点．（Ⅰ）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证明平面，并求出的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【详解】试题分析：（1）因为，所以在同一平面，取的中点，连结，交点即为所求点，因为；（2）根据底面菱形，根据余弦定理求，三边满足勾股定理，所以，平面，所以以建立空间直角坐标系，分别计算平面和平面的法向量，求法向量夹角的余弦值，再求正弦值.试题解析：（1）取的中点，连接交于点，点即为所求的点.证明：连接，∵是的中点，是的中点，∴，又平面，平面，∴直线平面.∵，∴，∴.（2）由（1）知，又面面，面面，面，所以面.故.以为空间原点，分别为轴建立空间直角坐标系，∵，∴为正三角形，，∴，∴.设平面的一个法向量，则由可得令，则.设平面的一个法向量，则由可得令，则.则，设二面角的平面角为，则，∴二面角的正弦值为.20.已知点，点是圆：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过的直线交曲线于不同的，两点，交轴于点，已知，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质及几何关系，结合椭圆的定义，求得曲线的方程；（2）过的直线斜率为0时，直接求出，可得，斜率不为0时可设为，，再联立方程组，运用根与系数的关系，化简向量式并表示出，化简可得.【详解】解：（1）由题意知，，故由椭圆定义知，点的轨迹是以点，为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为，短半轴长为，∴曲线的方程为：．（2）由题意知，若直线恰好过原点，则，，，∴，，则，，，则，∴．若直线不过原点，设直线：，，，，．则，，，，由，得，从而；由，得，从而；故．联立方程组得：整理得，∴，，∴．综上所述，．【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，向量共线的坐标表示，椭圆中的定值问题，还考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系等基本技巧，考查了学生的运算能力，属于中档题.21.函数，．（1）若在点处的切线与直线平行，求的值；（2）若，设，试证明存在唯一零点，并求的最大值．【答案】（1）；（2）证明见解析；最大值为．【解析】【分析】（1）求导，由两直线平行可得，可求得的值；（2）对求导，令，对求导得，又，，可知得存在，使得，可得证，再由的正负区间得出的单调性，可求得的最大值.【详解】（1），因为在点处的切线与直线平行，所以，∴；（2）证明：由题意知，于是，令，，∴在上单调递减．又，，所以存在唯一，使得，综上得存在唯一零点．当，，于是，在单调递增；当，，于是，在单调递减；故，又，，，故．所以的最大值为6.【点睛】本题考查运用导函数求得函数的切线，研究函数的零点，函数的最值问题，关键在于得出函数的导函数的正