专题09等腰三角形（5个知识点6种题型3个易错点5种中考考法）（原卷版）

专题09等腰三角形（5个知识点6种题型3个易错点5种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.等腰三角形的性质（重点）知识点2.等腰三角形的判定（重点）知识点3.等边三角形及其性质（重点）知识点4.等边三角形的判定（重点）知识点5.含30°角的直角三角形的性质（重点）【方法二】实例探索法题型1.等腰三角形中的分类讨论问题题型2.等腰三角形的判定及性质的综合应用题型3.等腰三角形的实际应用题型4.含30°角直角三角形的性质的应用题型5.等边三角形的性质和判定的综合应用题型6.有关等边三角形的探究性问题【方法三】差异对比法易错点1.利用等腰三角形的性质解题时考虑问题不全面易错点2.忽略分类讨论致错易错点3.误用等腰三角形“三线合一”的性质【方法四】仿真实战法考法1.等腰三角形的性质考法2.等腰三角形与线段垂直平分线的综合考法3.含30°角的直角三角形的性质考法4.等腰三角形的判定考法5.等边三角形性质【方法五】成果评定法【学习目标】了解等腰三角形和等边三角形的概念。掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理。掌握有一个角是30°的直角三角形的性质。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.等腰三角形的性质（重点）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．【例1】（2022•江口县三模）已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是（）A．13cm B．13cm或17cm C．17cm D．16cm【变式】（2022春•五华县期末）若等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成了15cm和18cm两部分，则它的腰长为cm．知识点2.等腰三角形的判定（重点）如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【例2】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．求证：△BCD为等腰三角形．知识点3.等边三角形及其性质（重点）1.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．2.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.【例3】（2022•博山区一模）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是（）A．135° B．125° C．120° D．110°知识点4.等边三角形的判定（重点）（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【例4】（2021秋•沐川县期末）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．知识点5.含30°角的直角三角形的性质（重点）（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．【例5】（2022春•神木市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（）A．4 B．6 C．8 D．10【变式】（2022•碑林区校级四模）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为（）A．2 B． C．3 D．【方法二】实例探索法题型1.等腰三角形中的分类讨论问题1、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．2、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．题型2.等腰三角形的判定及性质的综合应用3.已知：如图，中，，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．4.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．5.如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．题型3.等腰三角形的实际应用6．（2022春•本溪期末）如图，一艘船从A处出发向正北航行50海里到达B处，分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离是海里．7．（2022秋·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得，．(1)求海岛B到灯塔C的距离；(2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问小船航行到什么位置时，小船与灯塔C的距离最短？请作出图示并请说明理由．题型4.含30°角直角三角形的性质的应用8．（2023秋·八年级课时练习）如图所示，已知，P是射线上一动点，．(1)当是等边三角形时，求的长；(2)当是直角三角形时，求的长．9．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在等边中，点D、E分别为、边上的点，．连接、相交于点F．(1)求证：(2)过A作于点H，当，，时，求线段的长度．10．（2021秋·陕西渭南·八年级校考期中）如图，在等边中，点是边上的中点，点在边上，且，求证：．11．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，在Rt中，平分交于点(1)求证：点在的垂直平分线上；(2)若，求的长．题型5.等边三角形的性质和判定的综合应用12.等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.13．已知：如图，B、C、E三点共线，，都是等边三角形，连结AE、BD分别交CD、AC于N、M，连结MN.求证：AE＝BD，MN∥BE.题型6.有关等边三角形的探究性问题14.如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．15．（2023春·广东佛山·八年级佛山六中校考阶段练习）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．填空：①的度数为__________；②线段，之间的数量关系为__________．（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数并证明：．16．（2023秋·河南周口·八年级校考期末）如图1，已知是边长为5的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰三角形．点M，N分别是边与边上的点，并且满足．(1)尝试探究：要想证明为的平分线，小诚做了如下思考，如图2，延长至点F，使，连接，通过证明______，得到，进而证得______，得证为的平分线；(2)类比延伸：在（1）的思路下求的周长；(3)拓展迁移：当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长．17．（2022秋·湖南怀化·八年级统考期末）问题发现：如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B、D，E在同一直线上，连接CE，求的度数，并确定线段BD与CE的数量关系．拓展探究：如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，，且点B，D，E在同一直线上，于F，连接CE，求的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系．18．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）（1）【问题发现】如图1，和都是等边三角形，点D在边上，连接．则的度数为______；（2）【拓展探究】如图2，和都是等腰直角三角形，，点D在边上，连接．则的度数为______；（3）【迁移运用】如图3，在四边形中，，，，，求的值．【方法三】差异对比法易错点1.利用等腰三角形的性质解题时考虑问题不全面19、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想：（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想：20.直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．易错点2.忽略分类讨论致错21、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为()．A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°22.已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．易错点3.误用等腰三角形“三线合一”的性质23.在等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数最多有（重合的算一条）（ ）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个24．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，，点D是底边的中点，，求的度数．【方法四】仿真实战法考法1.等腰三角形的性质1．（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70° B．45° C．35° D．50°2．（2023•内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．32° B．58° C．74° D．75°3．（2023•河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（）A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150°考法2.等腰三角形与线段垂直平分线的综合4．（2021•广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为．考法3.含30°角的直角三角形的性质5．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m考法4.等腰三角形的判定6．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形7．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．考法5.等边三角形性质8．（2023•滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（）A．14° B．16° C．24° D．26°【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023秋·八年级课时练习）在等腰三角形中，，其周长为，则边的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习）中，，为上的高，且为等腰三角形，则等于（

）A．或 B．或 C．或 D．或3．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（）A． B． C． D．或4．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，和分别是和的平分线，且相交于点P．在图中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（

）A．9个 B．8个 C．7个 D．6个5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，已知平分，，若，则等于（）A．3 B．4 C． D．26．（2023秋·八年级课时练习）如图，是斜边上的高，，将沿折叠，点B恰好落在的中点E处，，则等于（

）A．25° B．30° C．45° D．60°7．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）等腰三角形的一边为4，一边为3，则此三角形的周长是（）A．10 B．11 C．6或8 D．10或118．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考开学考试）如图，是边长为2的等边三角形，点D、E分别在边、上，将沿直线折叠，使点B落在点处，、分别交边于点F、G．则阴影部分图形的周长等于（

）A．4 B．5 C．6 D．79．（2023秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在中，，，点在上，，则等于（）A．4 B．5 C．6 D．810．（2023秋·河南周口·八年级校考期末）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．二、填空题11．（2023春·湖南永州·八年级校考期中）在中，，，垂直平分，垂足为点，交边于点，，则的长为cm．12．（2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知一个等腰三角形的一边是8，另一边是6，则这个等腰三角形的周长是．13．（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）如图，在中，，是的中点，，则度．14．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，是四边形的对角线，，若，则点到边的距离为．15．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在中，，，平分，则．16．（2023秋·八年级课时练习）如图，是等腰直角三角形，是其底边上的高，点E是上的一点，以为边向上作等边三角形，连接，则的度数为．17．（2023秋·江苏·八年级专题练习）等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为12和18两部分，则腰长为．18．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，与是等边三角形，连接、，有以下结论：（）；（）；（）；（）；（）无论如何改变的度数，与始终全等．其中正确结论