人教版八年级下册数学172勾股定理逆定理讲义设计(解析版)

人教版八年级下册数学17.2勾股定理逆定理讲义设计（解析版）勾股定理逆定理定理：假如三角形的三条边长a，b，c，满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形.【例1】在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC1BC，求证：4AFEF．DFCEAB【解析】连结AE，设正方形的边长为4a，则AD4a，DFCF2a，CEa，利用勾股定理，22220a2在Rt△ADF中，AF4a2a，在Rt△CEF中，2222EF2aa5a，在Rt△ABE中，2222AE4a3a25a明显，在△AEF中，满足AE2AF2EF2，故AFEF．DFCEAB【例2】如图，已知CD=4，AD=3，∠ADC=90°，BC=12，AB=13．1）求AC的长．2）求图中阴影部分图形的面积．【解析】（1）在Rt△ADC中，∠ADC=90°，由勾股定理，得：AC=CD2AD25（2）∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴图中阴影部分图形的面积11=S△ABC-S△ACD=×5×12-×3×4=30-6=24．221/8人教版八年级下册数学17.2勾股定理逆定理讲义设计（解析版）【例3】假如△ABC的三边分别为a、b、c，1）求证：a2+c2-2ac＜b22）当a2c2-b2c2=a4-b4时，试判断△ABC的形状．【解析】（1）证明：∵△ABC的三边分别为a、b、c，b＞|a-c|，b＞0．|a-c|＞0，∴b2＞（a-c）2，∴a2+c2-b2＜2ac．（2）∵a2c2-b2c2=a4-b4，∴c2（a2-b2）-（a2+b2）（a2-b2）=0，∴（a2-b2）（c2-a2+b2）=0，∴（a2-b2）=0或c2-a2+b2=0，∴a=b或a2=b2+c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．【例4】如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1．1）∠BCD是否是直角？请说明原由；2）求四边形ABCD的面积．【解析】（1）∠BCD是直角，原由以下：连结BD，以以下图．∵BC=25，CD=5，BD=5，BC2+CD2=BD2，∴∠BCD为直角．2）S四边形ABCD=5×5-1×4×2-1×2×1-1×1-1×4×1-1×5×1=25-4-1-1-2-5，=29．2222222/8人教版八年级下册数学17.2勾股定理逆定理讲义设计（解析版）【例5】以以下图，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B亲近注意，并见告A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海疆？【解析】∵AB2BC252122169132AC2，∴△ABC为直角三角形．∴∠ABC＝90°．又BD⊥AC，可设CD＝x，x2BD2122,∴BD252,(13x)2①－②得x216926xx2解得x144．∴144131313

①②，1440.85(h)＝51(分)．169所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．训练1.△ABC三边a，b，c满足a2b2c233810a24b26c，则△ABC是（D）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【解析】由题意2b2c20，a5，b12，c13，因为a51213a2b2c2，所以△ABC为直角三角形.训练2.以下线段不可以构成直角三角形的是（D）A.a6，b8，c10B.a1，b2，c3C.a5，b1，c3D.a2，b3，c644训练3.以下各组式子所表示的线段中，必定能构成直角三角形的有（D）A．k1，4k，k1（k1）；B．m1，m2，m3（m是正整数）；C．k2，3k2，22k；D．m21，2m，m21（m1）3/8人教版八年级下册数学17.2勾股定理逆定理讲义设计（解析版）训练4.以以以下图，在由单位正方形构成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（B）CEBHFDAGA．CD，EF，GHB．AB，EF，GHC．AB，CD，GHD．AB，CD，EF【解析】AB8，CD20，EF5，GH13，选B．训练5.若△ABC的三边a、b、c，满足(ab)(a2b2c2)0，则△ABC是（C）．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形训练6.若x12(y13)2z210z250，以x、y、z为三边长的三角形是（B）．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形2213，z5222【解析】x12(y13)z50得x12，y，，满足51213以x、y、z为三边长的三角形为直角三角形．训练7.已知△ABC的三边为a、b、，且ab4，ab1，c14，则△ABC是（B）．cA．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【解析】∵ab4，ab1，∴a2b22214c2，ab2ab16214故△ABC是直角三角形．训练8.如右图，四边形ABCD中，AB15，BC12，CD16，DA25，且C90°，则四边形ABCD的面积是246．ABDC【解析】连结BD，证△ABD为直角三角形，面积为246.4/8人教版八年级下册数学17.2勾股定理逆定理讲义设计（解析版）训练9.在等边△ABC内有一点P，已知PA=3，PB=4，PC=5.现将△APB绕A点逆时针旋转60°，使P点抵达Q点，连PQ，猜想△PQC的形状，并论证你的猜想.【解析】因为△APB绕A点逆时针旋转60°获取△AQC，所以△APB≌△AQC，∠PAQ=60°，所以AP=AQ=PQ=3，BP=CQ=4，又因为PC=5，PQ2CQ2PC2所以△PQC是直角三角形.训练10.已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状；【解析】∵a2c2－b2c2=a4－b4∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，∴c2=a2+b2，或a2b2∴△ABC是直角三角形或等腰三角形.训练11.如图，在一次夏令营活动中，小明从阵营A出发，沿北偏东60°方向走了503m抵达点B，此后再沿北偏西30°方向走了50m抵达目的地C．（1）求A、C两点之间的距离；（2）确定目的地C在阵营A的北偏东多少度方向．【解析】（1）如图，过点B作BE∥AD．∴∠DAB=∠ABE=60°，30°+∠CBA+∠ABE=180°，∴∠CBA=90°，∴AC=AB2BC2100；2）在Rt△ABC中，∵BC=50m，AC=100m，∴∠CAB=30°，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=30°，即目的地C在阵营A的北偏东30°的方向上．5/8人教版八年级下册数学17.2勾股定理逆定理讲义设计（解析版）训练12.如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明原由．（2）求四边形ABCD的面积．【解析】（1）连结AC，∵∠B=90°，2222222∴AC2=DA2+DC2，∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；2）∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC，∴S四边形ABCD=1AB?BC+1AD?CD=1×20×15+1×24×7=234．2222训练13.以以下图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝23，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．【解析】∵AB⊥AD，∴∠A＝90°，在Rt△ABD中，BD2AB2AD222(23)216．∴BD＝4，∴1BD，可知＝，∠ADB302°在△BDC中，BD2CD2163225，BC25225，∴BD2CD2BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°．6/8人教版八年级下册数学17.2勾股定理逆定理讲义设计（解析版）训练14.以以下图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．【解析】连结BD．∵CD⊥CP，且CD＝CP＝2∴△CPD为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．∵∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD．CA＝CB，∴△CAP≌△CBD(SAS)，DB＝PA＝3．在Rt△CPD中，DP2CP2CD222228．又∵PB＝1，则PB21．∵DB29，∴DB2DP2PB819，∴△DPB为直角三角形，且∠DPB＝90°，∴∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．训练15.在△ABC中，AB13cm，AC24cm，中线BD5cm．求证：△ABC是等腰三角形．BADC【解析】证明：如图，在△ABC中，AB213252122BD2AD2，∴△ABD是直角三角形，ADB90，∴△BCD也是直角三角形，∴BCCD2BD213，ABCB13，△ABC是等腰三角形．7/8人教版八年级下册数学17.2勾股定理逆定理讲义设计（解析版）训练16.以以下图，在平面直角坐标系中，直线y3x3与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线y1x3与x轴交于点C，同时也过点A．请判断两直线有如何的位3置关系，并说明原由．【解析】∵直线y3x3与x轴交于点B，∴当y0时，x1，∴点B的坐标为(-1，0)．∵直线y3x3与y轴交于点A，∴当x