2015秋九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程-解决代数问题导学案 （新版）新人教版

2015秋九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程-解决代数问题导学案（新版）新人教版一、知识准备1.象形法解决实际问题在初中数学学习中，我们常常需要使用到一元一次方程来解决一些实际问题，比如：某人年龄的一半比他大的1岁，那么这个人的年龄是多少？我们可以设这个人的年龄为x岁，那么根据题目条件可得：x/2+1=x解方程得到：x=2因此，这个人的年龄是2岁。但实际生活中，很多问题并不能简单地使用一元一次方程来解决，比如：某人现在的年龄是另一个人5年前的3倍，而且两人年龄差为10岁，问两人现在的年龄分别是多少？对于这样的问题，我们就需要使用到“象形法”来解决。具体来说，就是我们需要选择一个变量（通常用x、y等字母表示），来代表我们所要求出的未知量，然后根据题目中的其他条件，将这些条件转化为方程，最终解出未知变量的值。2.一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为：ax^2+bx+c=0其中a、b、c为常数，且a≠0。其中，称为一元二次方程的“标准形式”。在求解一元二次方程时，我们需要使用到一些常见的公式和规律，如求根公式、二次函数的性质等等。二、梳理思路考虑到这个文档的主题是“实际问题与一元二次方程”，我们可以将这部分内容分为以下三个部分：实际问题的转化和建模一元二次方程的求解方法实际问题与一元二次方程的结合接下来，我们将分别对这三个部分进行讲解。三、实际问题的转化和建模对于一些实际问题，我们需要将其转化为一元二次方程的形式，这就需要我们了解一些常见的问题建模方法。下面给出一些例子。1.小汽车追及问题题目描述：甲、乙两车在同一地点出发，乙车较甲车晚2小时出发。两车相遇后，甲车行驶4小时，乙车行驶3小时。若甲车的行驶速度为50千米/小时，问乙车的行驶速度是多少千米/小时？解法：首先，我们需要选择一个变量来代表我们所要求出的未知量，这里我们可以选择乙车的行驶速度，用x千米/小时表示。然后，我们可以根据题目中的条件，列出如下的方程：(4+2)×50+3x=x×(4+3)化简得到：200+150=7x解方程得到：x=50因此，乙车的行驶速度是50千米/小时。2.抛物线问题题目描述：有一剪刀，其双臂长度为AB=AC=h（h>0），并且满足AB=2AC=2h。假设从原点O开始发射一个物体，初速度大小为v0，竖直方向上的初速度分量为v0sinθ，水平方向上的初速度分量为v0cosθ。当物体射出后，其受到了重力的影响，在竖直方向上受到a=9.8m/s²的加速度，而在水平方向上保持匀速运动。问：当物体落地时，其离原点的水平距离为多少？解法：我们可以根据物理学的相关知识，得出物体的竖直方向运动方程和水平方向运动方程：竖直方向运动方程：y=v0sinθt-1/2at^2水平方向运动方程：x=v0cosθt我们需要求解的是物体落地时的水平坐标x，因此，我们需要将竖直方向运动方程中的时间t表示为水平方向运动方程中的未知量。具体来说，我们可以根据两个方程中的时间关系，得到：t=x/(v0cosθ)将t带入竖直方向运动方程中，得到：y=v0sinθ(x/(v0cosθ))-1/2a(x/(v0cosθ))^2化简得到：y=xtanθ-1/2ax2/(v02cos^2θ)于是，我们就得到了所需的一元二次方程：1/2ax2/(v02cos^2θ)-xtanθ+y=0可以使用求根公式解出x的值。四、一元二次方程的求解方法一元二次方程的解法有很多，这里主要介绍两种常用的方法：配方法和求根公式。1.配方法当一元二次方程的形式为：ax^2+bx+c=0时，我们可以使用配方法来求解。具体来说，我们需要根据方程的标准形式，将方程左右两边同乘以a，得到：ax^2+bx+c=a×0然后，我们可以将方程左右两边分别加上(b/2a)^2，得到：ax^2+bx+(b/2a)^2=(b/2a)^2-c接着，我们需要将方程两边开方，得到：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a这就是一元二次方程的求根公式。2.求根公式求根公式是指用根式表示方程ax^2+bx+c=0的实数解的公式。一般写成：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a使用这个公式，我们可以快速求解一元二次方程。五、实际问题与一元二次方程的结合实际问题与一元二次方程的结合，在初中数学中比较常见。在解决这类问题时，我们需要将实际问题转化为一元二次方程，然后使用我们已经学习的知识来求解。下面，我们来看一个例子：某物体被抛出后，它的远点高度是1米，达到最高点时速度为10米/秒，求出该物体的抛出速度。解法：我们可以设该物体的抛出速度为v米/秒，其重力加速度为g=9.8米/秒²。另外，我们可以利用物理学相关知识，得出该物体的高度和速度分别为：物体高度相关公式：y=v0t-1/2gt^2物体速度相关公式：v=v0-gt其中，t表示时间，v0表示抛出速度。我们注意到题目中的一些条件可以转化为式子，比如“远点高度是1米”可以表示为y(0)=1，而“达到最高点时速度为10米/秒”可以表示为v(t)=10。因此，我们可以将高度公式和速度公式联立起来，列出一元二次方程：y=v0t-1/2gt^2v=v0-gt代入题目中的条件和公式，得到：1=v0t-1/2gt^210=v0-gt化简得到：t=1/3v0v0=20/3