河南省郑州经济技术开发区第四中学2023-2024学年九年级上学期第一次学习比赛数学试卷

2023-2024学年河南省郑州四中九年级（上）第一次学习比赛数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是(

)A.x-1=0 B.x3+x=32.下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是(

)A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.有一个角是直角3.要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是(

)A.测量四边形画框的两个角是否为90°

B.测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分

C.测量四边形画框的一组对边是否平行且相等

D.测量四边形画框的四边是否相等4.已知关于x的一元二次方程x2+kx-2=0有一个根是A.1 B.-1 C.2 D.5.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(

)

A.AC⊥BD

B.AB=AD

C.6.若方程x2+2x+m+1=0A.-1 B.0 C.1 D.7.根据下表：x---…456x135-…-513确定方程x2-bxA.-2<x<-1或4<x<5 B.-2<x<-1或5<x<68.要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．计划安排28场比赛，应邀请多少个队参赛(

)A.6 B.7 C.8 D.99.如图，在平行四边形ABCD中，∠ADB=90°，AB=10，分别以B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，与AB交于点M，与CD交于点N，连接DM，BN，则四边形A.40 B.30 C.20 D.1010.如图1，在矩形ABCD(AB>AD)中，动点P从点B出发，沿B→C做匀速运动，到达点C后停止运动，动点Q从点D出发，沿D→C以同样的速度做匀速运动，到达点C后也停止运动，已知点P，Q同时开始运动，连接AP，AQ，设DQ=x，AP-AQ=yA.35-32 B.二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.方程9x2=4x的根为12.如果三角形两边的长分别是一元二次方程x2-9x+14=0的两根，则第三边的长能否是10，答______(填“能”或“不能13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则

14.如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P.若∠ABC=30°，AP=2，则PE的长等于______

15.如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF=8，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A'，D'处，当点D'落在直线BC上时，线段AE的长为______

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题8.0分)

解下列一元二次方程：

(1)x2-4=2(2-x)17.(本小题9.0分)

如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加条件______，能使四边形DBCE成为矩形，并说明理由．18.(本小题9.0分)

如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长为33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．要使围成养鸡场的面积为15019.(本小题9.0分)

已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1和x2．

(1)求实数m20.(本小题9.0分)

公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售256个，5月份销售400个，且从3月份到5月份销售量的月增长率均为r(r>0)．

(1)求月增长率r；

(2)经在市场中调查，若此种头盔的进价为30元/个时，定价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/21.(本小题10.0分)

如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点M，N分别为AB，CD上一点，且AM=CN，连接MN，DM，BN．

(1)当AM=3时，求证：四边形DMBN是菱形；

(2)填空：

①当AM=______时，四边形DAMN是矩形；

②当AM=______22.(本小题10.0分)

阅读材料，解决问题．

相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数．

则第n个三角数可以用1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n=n(n+1)2(n≥1且为整数)来表示．

(1)若三角数是55，则n=______；

(2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含23.(本小题11.0分)

综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断

操作一：对折正方形纸片，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；

操作二：在BE上选一点H，沿CH折叠，使点B落在EF上的点G处，得到折痕CH，把纸片展平；根据以上操作，直接写出图1中∠CHB的度数：______．

(2)拓展应用

小华在以上操作的基础上，继续探究，延长HG交AD于点M，连接CM交EF于点N(如图2).判断△MGN的形状，并说明理由．

(3)迁移探究

如图3，已知正方形ABCD的边长为6cm，当点H是边AB的三等分点时，把△BCH沿CH翻折得△GCH，延长HG交AD于点M，请直接写出AM的长．答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；

B、不是一元二次方程，故此选项错误；

C、是一元二次方程，故此选项正确；

D、a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误；

故选：C．

根据一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2进行分析即可．

此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”2.【答案】A

【解析】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法正确，符合题意；

B、对角线互相相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；

C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法错误，不符合题意；

D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；

故选：A．

由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．

此题考查菱形的判定，关键是由菱形的判定和矩形的判定解答．3.【答案】B

【解析】解：A、测量四边形画框的两个角是否为90°，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；

B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；

C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项C不符合题意；

D、测量四边形画框的四边是否相等，能判定为菱形，故选项D不符合题意；

故选：B．

由平行四边形的判定与性质、菱形的判定，矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．

本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．4.【答案】A

【解析】解：设方程的另一个根是m，

根据根与系数的关系，得-2m=-2，

解得m=1，

故选：A．

根据与系数的关系先求出5.【答案】C

【解析】[分析]

根据菱形的定义及其判定对各选项逐一判断即可得．

本题主要考查平行四边形的判定和菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定．

[详解]

解：∵四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AD/​/BC，

当AB=AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；

当AC=BD时，不能判定四边形ABCD是菱形；

当∠ABD=∠CBD时，

由AD//BC得：∠CBD=∠6.【答案】A

【解析】解：根据题意得Δ=22-4(m+1)>0，

解得m<0．

故选：A．

根据根的判别式的意义得到Δ=22-4(m+1)>07.【答案】A

【解析】解：由表格得：x=-2时，x2-bx-5=5，x=-1时，x2-bx-5=-1；

x=4时，x2-bx-5=-1，x8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程的应用．此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打(x-1)场球，第二个球队和其他球队打(x-2)场，以此类推可以知道共打(1+2+3+…+x-1)场球，然后根据计划安排28场比赛即可列出方程求解．

【解答】

解：设邀请x个球队参加比赛，

依题意得1+2+3+…+x-1=15，

即x(x-1)2=28，9.【答案】C

【解析】解：设EF交BD于点O，

则OD=OB，

由作图得：EF垂直平分BD，

∵∠ADB=90°，

∴AD/​/EF，

∴M平分AB，

∴DM=12AB=MB=5，

同理：DN=BN=5，

∴四边形DMBN10.【答案】B

【解析】解：根据函数图象可知AB-AD=2．

∵点P，Q的速度相同，

∴当x=2时，点P与点C重合，此时BC=DQ=2，AP-AQ=m．

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD=BC=2，AB=CD，

∴AB=CD=AD+2=22．

当x=2时，在Rt△ABP中，AP=11.【答案】x1=0，【解析】解：9x2=4x，

9x2-4x=0，

x(9x-4)=0，

x=0或9x-4=0，

所以x1=0，x2=412.【答案】不能

【解析】解：x2-9x+14=0，

(x-7)(x-2)=0，

x-7=0或x-2=0，

解得：x1=7，x2=213.【答案】22.5

【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，

∴OA=OB═OC，

∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，

∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，

∵∠EAC=2∠CAD，

∴∠EAO=∠AOE，

14.【答案】2【解析】解：过点A作AF⊥PE于点F，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠D=∠ABC=30°，AD=CD，

∴∠DAC=180°-∠D2=75°，

由折叠可知：∠E=∠D=30°，

∴∠APE=∠DAC-∠AEP=45°，

在Rt△APF中，PF=AP⋅cos∠APE，

∴PF=AF=2×cos45°=15.【答案】4或16

【解析】解：分两种情况：

①当D'落在线段BC上时，连接ED、ED'、DD'，如图1所示：

由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，

∴DE=D'E，

∵正方形ABCD的边长是18，

∴AB=BC=CD=AD=18，

∵CF=8，

∴DF=D'F=CD-CF=10，

∴CD'=D'F2-CF2=6，

∴BD'=BC-CD'=12，

设AE=x，则BE=18-x，

在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2=AD2+AE2=182+x2，D'E2=BE2+BD'2=(18-x)2+122，

∴182+x2=(18-x)2+122，

解得：x=4，

即AE=4；

②当D'落在线段BC延长线上时，连接ED16.【答案】解：(1)x2-4=2(2-x)，

(x+2)(x-2)-2(2-x)=0，

(x+2)(x-2)+2(x-2)=0，

(x-2)(x+4)=0【解析】(1)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；

(2)利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答．

本题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．17.【答案】AB=BE或∠ADB【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD/​/BC，AD=BC，

又∵AD=DE，

∴DE/​/BC，且DE=BC，

∴四边形BCED为平行四边形，

添加AB=BE，DE=AD，

∴BD⊥AE，

∴▱DBCE为矩形；

添加∠ADB=90°，

∴∠EDB=90°，

∴▱DBCE为矩形；

添加CE⊥18.【答案】解：设养鸡场的宽为x m，根据题意得：

x(33-2x+2)=150，

解得：x1=10，x2=7.5，

当x1=10时，33-2x+2=15<18，【解析】先设养鸡场的宽为x m，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意．19.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1和x2，

∴Δ=b2-4ac=(2m-1)2-4×1×m2=-4m+1≥0，

解得m≤14；

(2)不存在m的值，使得x1x2+x1+x2=0成立．理由如下：【解析】(1)根据已知可知，方程有两个实数根，那么△≥0，解不等式即可；

(2)根据根与系数的关系x1+x2=1-2m，x120.【答案】解：(1)由题意得：256(1+r)2=400，

解得r=0.25=25%或r=-2.25<0(不符合题意，舍去)，

答：月增长率r为25%．

(2)设该品牌头盔的实际售价应定为y(y≥40)元/个，则月销售量为600-10(y-40)=(1000-10y)(个)，

由题意得：(y-30)(1000-10y)=10000，【解析】(1)根据5月份销售量=3月份销售量×(1+r)2建立方程，解方程即可得；

(2)设该品牌头盔的实际售价应定为y(y≥40)元/个，从而可得月销售量，再根据利润=(实际售价21.【答案】4

112或5【解析】(1)证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=4，

∴AB=CD=8，AB/​/CD，∠A=90°，

∵AM=CN=3，

∴AB-AM=CD-CN，

∴BM=DN=8-3=5，

∵BM/​/DN，

∴四边形DMBN为平行四边形，

∵DM=AD2+AM2=42+32=5，

∴BM=DM，

∴四边形DMBN为菱形．

(2)解：①如图2，∵DN//AM，

∴当DN=AM时，四边形DAMN是平行四边形，

∵∠A=90°，

∴当DN=AM时，四边形DAMN矩形，

由(1)得BM=DN，

∴8-AM=DN，

∴8-AM=AM，

∴AM=4，

∴当AM=4时，四边形DAMN矩形，

故答案为：4．

②如图3，以MN为对角线的正方形是正方形MFNG，连接FG，

∵FG=MH，FG⊥MH，

∴S正方形MFNG=12FG⋅MN=12MN2=252，

∴MN=5，

作NE⊥AB于点E，则∠AEN=∠A=∠ADN=90°，

∴四边形ADNE是矩形，

∴22.【答案】10

【解析】解：(1)由题意得，n(n+1)2=55，即n2+n-110=0，

∴(n+11)(n-10)=0，

解得n=10(负值舍去)，

故答案为：10；

(2)由题意得：前n行所有点数的和为2+4+6+…+2(n-2)+2(n-1)+2n

=2[1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n]

=2×n(n+1)2

=n(n+1)；

(3)不能，理由如下：

假设能为12023.【答案】75°

【解析】解：(1)∵四边形ABCD为正方形，

∴BC=CD，∠B=∠BCF=90°，

根据折叠的性质可得，DF=CF=12CD，∠CFG=∠DFE=90°，BC=CG，∠B=∠CGH=90°，∠HCG=∠HCB=12∠GCB，

∴CF=12CG，EF/​/BC，

∴∠FGC=∠GCB=30°，

∴∠HCB=15°，∠CHB=90°-∠HCB=75°

故答案为：75°；

(2)解法一：△MGN为等边