江苏专版2023-2024学年新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程分层作业新人教A版选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程A级必备知识基础练1.［探究点二］（多选题）过点,且的双曲线的标准方程可以是()A. B. C. D.2.［探究点三］若方程表示焦点在轴上的双曲线,则实数的取值范围为()A. B.C. D.3.［探究点二］已知双曲线的左、右焦点分别为,,点在双曲线的右支上,若,且双曲线的焦距为,则该双曲线的方程为()A. B. C. D.4.［探究点一］已知双曲线上一点到左焦点的距离为10,则的中点到坐标原点的距离为()A.3或7 B.6或14 C.3 D.75.［探究点四］许多建筑融入了数学元素,更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图象,上、下底与地面平行.现测得下底直径米,上底直径米,与间的距离为80米,与上、下底等距离的处的直径等于,则最细部分处的直径为()图1图2A.10米 B.20米 C.米 D.米6.［探究点三］若方程表示双曲线,则实数的取值范围是；若表示椭圆,则实数的取值范围是.7.［探究点二］焦点在轴上的双曲线经过点,且与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为.8.［探究点二］已知与双曲线共焦点的双曲线过点,求该双曲线的标准方程.B级关键能力提升练9.已知定点,,是圆上任意一点,点关于点的对称点为,线段的中垂线与直线相交于点,则点的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆10.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点为双曲线上一点,的内切圆圆心为,若,则()A. B.6 C.8 D.1011.（多选题）已知方程表示的曲线为，下列说法正确的有()A.当时，曲线为椭圆B.当或时，曲线为双曲线C.若曲线为焦点在轴上的椭圆，则D.若曲线为焦点在轴上的双曲线，则12.（多选题）已知点在双曲线上,,是双曲线的左、右焦点,若的面积为20,则下列说法正确的有()A.点到轴的距离为 B.C.为钝角三角形 D.13.数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:与相关的代数问题可以考虑转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程的解为.14.一动圆过定点，且与定圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为.15.已知双曲线,,是其两个焦点，点在双曲线上.（1）若,求的面积.（2）若，的面积是多少?若，的面积又是多少?C级学科素养创新练16.[2023浙江杭州模拟]如图所示,平面直角坐标系中有两点和.以为圆心,正整数为半径的圆记为.以为圆心,正整数为半径的圆记为.对于正整数,点是圆与圆的交点,且,,,,都位于第二象限.则这5个点都位于()A.直线上 B.椭圆上 C.抛物线上 D.双曲线上3.2.1双曲线及其标准方程基础落实·必备知识全过关知识点1双曲线的定义过关自诊1.×;×;×;×提示①若将“小于”改为“等于”，其余条件不变，则动点轨迹是以，为端点的两条方向相反的射线（包括端点）；②若将“小于”改为“大于”，其余条件不变，则动点轨迹不存在;③若为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段的中垂线.3.解因为,所以根据双曲线的定义可知,一定在,且焦点在轴上的双曲线上.这就是说,点的坐标一定满足.另一方面,由可知,因此的横坐标要大于零,从而可知的轨迹方程为.知识点2双曲线的标准方程过关自诊提示“焦点跟着正项走”，若项的系数为正，则焦点在轴上；若项的系数为正，则焦点在轴上.2.B[解析]根据双曲线的定义知,的轨迹是以,为焦点,以8为实轴长的双曲线,所以,,,所以双曲线的方程为.故选.3.解椭圆的左、右顶点坐标分别为,,右焦点坐标为,因此,双曲线的焦点坐标为,,且经过点,可设双曲线的标准方程为,,,所以,所以所求双曲线的标准方程为.重难探究·能力素养全提升探究点一双曲线定义的应用【例1】（1）解设，根据双曲线的定义知，即.解得或.（2）由，得，，.由定义和余弦定理得，，所以，所以，.思路分析（1）直接利用定义求解.（2）在中利用余弦定理求.变式训练1解在双曲线的方程中,,,则.设,.由双曲线的定义可知，,两边平方，得.又,由勾股定理，得,.探究点二求双曲线的标准方程【例2】（1）解当焦点在轴上时，设所求标准方程为，把点的坐标代入，得，不符合题意；当焦点在轴上时，设所求标准方程为，把点的坐标代入，得.故所求双曲线的标准方程为.（2）（方法1）焦点相同，设所求双曲线的标准方程为，，即.①双曲线经过点，.②由①②得，，双曲线的标准方程为.（方法2）设所求双曲线的方程为.双曲线过点，，解得或（舍去）.双曲线的标准方程为.（3）设双曲线的方程为，.点，在双曲线上，解得双曲线的标准方程为.变式训练2（1）解,,则.又焦点在轴上,所以双曲线的标准方程为.（2）焦点为和,设方程为,且,所以.①因为经过点,所以.②由①②解得,.所以双曲线的标准方程为.探究点三双曲线标准方程的应用【例3】（1）解将所给方程化为,若该方程表示双曲线,则有,解得或,故实数的取值范围是.（2）将所给方程化为,若该方程表示焦点在轴上的双曲线,则有解得,故实数的取值范围是.思路分析根据双曲线方程的特征建立不等式（组）求解.变式训练3（1）D[解析]方程化为.因为,所以,故方程表示焦点在轴上的双曲线.（2）[解析]方程化为,依题意有,即.因为,所以.探究点四双曲线的实际生活应用【例4】解以线段的中点为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立平面直角坐标系（图略）,设发出巨响的点为.由题意可知,易知点在以,为焦点的双曲线上,即,,解得,,所以.因此发出巨响的点所在曲线的方程为.变式训练4;[解析]如图所示,以所在的直线为轴,的垂直平分线为轴建立直角坐标系.则,根据双曲线定义知,轨迹为双曲线的右支.故,,,,,故轨迹方程为.根据题意知,,当,,共线时,等号成立.本节要点归纳分层作业A级必备知识基础练1.AB[解析]由于,.当焦点在轴上时,设双曲线方程为,代入得.此时双曲线方程为.同理,求得焦点在轴上时,双曲线方程为.2.A[解析]方程表示焦点在轴上的双曲线,解得.实数的取值范围为.故选.3.C[解析]由题意得解得则该双曲线的方程为.4.A[解析]设双曲线的右焦点为,连接（图略）,是的中位线,.,,或6,或3.5.B[解析]建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可知,,设双曲线的方程为,解得.故选.6.;[解析]若方程表示双曲线,则应有,即；若表示椭圆,则有解得且.7.[解析]设焦点,,则由,得,,.设双曲线的方程为,双曲线过点,.又,,,双曲线的标准方程为.8.解已知双曲线,则,.设所求双曲线的标准方程为.依题意知,故所求双曲线方程可写为.点在所求双曲线上,,化简得,解得或.当时,,不符合题意,舍去,,,所求双曲线的标准方程为.B级关键能力提升练9.B[解析]如图所示,连接,由题意可得,且为的中点,.点关于点的对称点为,线段的中垂线与直线相交于点.由垂直平分线的性质可得.由双曲线的定义可得点的轨迹是以,为焦点的双曲线.10.D[解析]由双曲线得,,可得.设的内切圆的半径为,由,可得,即.易得,由双曲线的定义可得,则有,解得,则.11.BCD[解析]错误，当时，曲线为圆；正确，若为双曲线，则，或；正确，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，；正确，若曲线为焦点在轴上的双曲线，则.12.BC[解析]因为双曲线,所以.又因为,所以,故错误；将代入得,即，由对称性,不妨取点的坐标为,可知,由双曲线定义可知,所以,故正确；对于点,在中,,则,则为钝角,所以为钝角三角形,故正确；由余弦定理得,,故错误.13.[解析],,其几何意义为动点到定点,的距离差的绝对值为4.根据双曲线的定义,可将原方程的解转化为“以,为焦点,4为实轴长的双曲线与轴交点的横坐标”.,.,,双曲线方程为.令,得,解得.14.[解析]设动圆圆心为点，则，即.点的轨迹是以，为焦点，且，的双曲线的左支.又，.