空间向量与平行关系

第1课时空间向量与平行关系1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题．2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系.1.求直线的方向向量，平面的法向量．(重点)2.用方向向量，法向量处理线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线

或

的向量，一条直线的方向向量有

个．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的 ．共线平行无数法向量3．空间中平行关系的向量表示线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔

.线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔

.面面平行设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔

.a＝λba·u＝0u∥v⇔u－λv1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则(

)A．l∥α

B．l⊂αC．l⊥α D．l⊂α或l∥α解析：

因为a·b＝0，所以a⊥b，故选D.答案：

D2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝(

)A．2 B．－4C．4 D．－2答案：

C3．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.答案：

－14

64．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.求证：MN∥平面ADD1A1.证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)③a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)

(2)设u，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系：(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断α与l的位置关系：①u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)②u＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0)③u＝(1,4,5)，a＝(－2,4,0)解答本题可先判断直线的方向向量与平面的法向量之间的位置关系，再转化为直线与平面间的位置关系．

[规范作答]

(1)①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.1分②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.2分③∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)，∴a与b不共线与不垂直．∴l1与l2相交或异面.4分[题后感悟]

利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系；(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性．

(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．①u＝(1,1，－1)，a＝(－3,4,1)．②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－6,9)．

已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，分别求平面AED与平面A1FD的法向量．

已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.由题目可获取以下主要信息：①ABCD－A1B1C1D1为正方体且棱长为2；②E、F分别是BB1、DD1的中点．解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关系判定线面、面面平行．

[题后感悟]

利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1.令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1，∴n2＝(－1,1,1)，∴n1＝n2，即n1∥n2.∴平面A1BD∥平面CB1D1.1．如何认识直线的方向向量？空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个方向确定．在直线l上取A＝a，a可以作为l的方向向量，借助点A和a即可确定直线l的位置，并能具体表示出直线l上的任意一点．2．如何理解平面的法向量？(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．3．如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作用？(1)可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系．(2)可以利用它们表示直线与平面所成的线面角．(3)可以解决有关线段的长度或点、线、面之间的距离问题．4．用向量方法证明空间中的平行关系线线平行设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R)．线面平行①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．③证明一条直线l与一个平面α平行，只需证明l的方向向量能用平面α内两个不共线向量线性表示．[提醒]

向量法证明线面平行时，注意说明直线不在平面内．面面平行①转化为相应的线线平行或线面平行．②求出平面α，β的法向量u，v，证明u∥v，即可说明α∥β.◎已知u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若u