2021年浙江省高考数学试卷解析

2021年高考浙江卷解析

一、选择题

1.设集合4={Z|221},B={x\-l<x<2},则力CIJB=（）

A.{x\x>-1}B.{x\x^\}C.{x|-1<x<1}D.{6|1W/V2}

【答案】D

2^已知（1+而），=3+2（，为虚数单位），则。=（）

4.-1BAC.-3D.3

【答案】C

3、已知非零向量a,b,c,则a・c=b•c是a=b的（）

A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

4、某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积

（单位：cm3）是（）11___________

=11T

，.挈0.3eS侧视图

A.1B.3C

【答案】A

r俯视图

5、若实数工，g满足约束条件:c+120

.T—八0,贝1」2=7—/勿的最小值是（）

2X+3T/-1^0

A.-2B.a-D—

210

【答案】B

6、如图，已知正方体43CD—4耳。1",M.N分别是4。、的中点，则（）

A直线4。与直线NB垂直，直线〃平面ABCO

B.直线4。与直线平行，直线平面

C直线AO与直线28相交，直线〃平面ABCD

D直线40与直线N8异面，直线平面BOA优

【答案】AB

7、已知函数/(4)=/+J,g(e)=sinc,则图象为右图的函数可能是()

4l/n

A.?=/(1)+.g(z)—1B."=/(c)—。(工)一：

C.y=/(c)g⑺D.y=得手工

【答案】D

【解析】对于A：a=/(/)+9(为一[=/+由1立即不是奇函数，也不是偶函数，排除A；

对于B：?=/(£)—g(z)―；=——sinz即不是奇函数，也不是偶函数，排除B；

对于C：y=/(c)g(a;)=(/+jsina;在0,看上单调递增，排除C；

故选D.

8、已知a,0,)是三个互不相等的锐角，则sinacos.6,sin0cossin)cosa中，大于;的数至多有

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【解析】估算法

当。=,3=)=7时，三个式子都等于今显然不可能都大于参

当a=£,/3>；，时，sinacos/3<sin)cosQ>[,

44422

乙Q乙乙

故选C.

9、已知实数a,6满足曲>0.函数/(z)=a/+b使得/(s—t),/(s),/(s+t)成等比数列，则坐标系中

的点(s,。的轨迹是()

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

【答案】C

【解析】[a(s-£)2+&]-[a(s+t)'+6]=(as2+b)2,整理得a产(a产-2as,2+2匕)=0>

9,2

所以t=0,或威2-2as2+26=0,即—第=1,表示双曲线.

所以选C.

10、数列｛。“｝满足伽=1,af—S”为数列｛a“｝的前n项和，则

1+V%

5Q9

A.^<5100<2B.3<5100<4C.4<S100<^D.j<51()0<5

【答案】A

22

1

【解析】a,l+1==+++

1+Van%+1£1-9<1

/1<J，累力口得-1।〃—1_几+1__.〜4

a

V^n+1V%/V%、1+一~17一s+i)2

._Q〃%n+1.篇+iv71+1

=-",

一叫LI7?Z、1+高n+3,^r^7r+3

累乘得Q〃&EW=6岛f)

所以&0041+9+6&-5+5—+…击一壶)<1+H5=3.故选A.

第10题，选择题压轴题（镇海中学虞哲骏）

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浙江镇

二'填空题

11、我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三

角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。若直角三角形直角边的

长分别为3,4,记大正方形的面积为S，小正方形的面积为S2,则普=.

【答案】25

；-3|+«,；蒙・若〃”述））=3,贝必=

12、已知aeR,函数/（2）=<

【答案】2

2

13、已知多项式（忆一1）3+（2+1）4=/+0排3+（Z2X+a3x+a4,则Qi=,

。2+如+Q1—.

【答案】5；10.

14、在△ABC中，3=60。，AB=2,"是3c的中点，AM=2y/39则力。=

cosZMAC—.

【答案】2g；*9.

■LJ

【解析】在中由余弦定理得

AM2=BA2+BA42-2BA-BM-cosZABM,

代入数据解得⑻1/=4,:.BC=8,4。=2g,cosNAMC=2^等.

JLo

15、袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为若取出的两个球

都是红球的概率为:，一红一黄的概率为则加一n=,E&)=.

0o

【答案】1；*

【解析】取出两个红球的概率为£=1,

9n

^4+m+n0(4+m+n)(3+m+n)6°

取出一红一黄的概率为号舁■=(,m=3.所以n=2,m—n=l.

E的分布列为:

€012

_5c\ci_51

P

Cl~18~CT~96

所以E(E)=OX4+1X1+2X、=|.

ioyoy

16、已知椭圆/+%=l(a>b>0)的焦点为口(-c,0),F2(C,0)(C>0),若过用的直线和圆卜一］)"

+犷=,2相切，与椭圆的第一象限部分交于点P,且工轴，则该直线的斜率是,椭圆的

离心率是.

【答案】染5；卑.

00

【解析】设碓,0)切点为B,则|叫=c,|4凡|=会,

所以归闾=丽尸证了=兴C,

所以直线的斜率为1%建即"=阖=竽.

由PE'c轴可知P(c，')，

所以tanNPFE=¥

l-p^l=

o\FtF2\

17、平面向量a,b,c,d满足|Q|=1,|b|=2,a±5,(a—5)-c=0,d在a、b上的投影分别是

工,y，d—Q在c上的投影是z,则/+力+/的最小值是,

2

【答案】

【解法一】建系+主元法，硬算.

设a=(l,0),6=(0,2),则d=(/,g),因为(Q—b)・c=0,所以设c=(2九t).

|c|巡

而I、I2,2,。6[7,,25210,5]>5,2一如+2>2

所以/+力+z-=5[”方一)+函,一丁"。性—3—»宁

91

取等条件：rr=-,n=

o0

【解法二】几何构图+均值不等式，巧算.

如图，x2+y2=OD-,d—a=乐在c上的投影为8G,

所以/+/+z?=002+HG2=0Di+DK&2(I。"㈤Kl)：

当点0在线段OH上时\OD\+\DK\最小，最小值为|OK|=,所以/+必+/21

V52°

取等条件：|O0|=|OK|,即。为OH的中点.

OEAOEA

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；%,财才加"斯明一'

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刘/K，夕=n，,一~点----=2

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抗认：加bQ：—“十亨（”"Etn>y（^r）心才（小矿-会田

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淞：杨杓默:方便“（加"91愣十平+驾q>瞽产或崂.

心：跖米.gtmy,渣冰归JASE.

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和号D（T+DA、_E=DO）Ae、

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命疑篱鱼秘余疑、,

族跃二帝方受六粤/

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夜攵生化,游旃物9日历急6件脐捌a浙江镇海虞哲骏

々、物收轨冷草献稣.

当为好△虬为士为小存发包侬一

三、解答题

18、已知函数/（/）=sin%+coszQ£R）.

（I）求沙=［/9+］）］的最小正周期;

（n）求）=/3）/。+孑）在［0,汨上的最大值.

【答案】（I）7T;（II）1+^^,,.

【解析】(I)/(/)=，^sin(?+；),

2sin2[x+苧)=1—cos\2x+狰)=1—sin2c.

最小正周期为7T.

(II)/(])/(，+彳)=(sine+cosc)•y/2sin+])=\/^(sinN+cosa:)cosi=y/2(sinrreosa:+cos2!：)

=Pgsin2z+1+r2、)=sin(2力+孑)+

当力£[0,汨时，£&2°+；&与，

当2z+J=蒋时，即z=1时，沙=/3)/(。+丁)取得最大值1+库.

19.如图，在四棱锥P—4BC。中，底面平行四边形ABC。满足48=1,BC=4,N48C=120°,

M,N是BC,CP的中点，且POLO。，PM1MD.P

(1)证明：ABA.PM；//\>\

(II)若P4=6豆，求直线AN与平面POM所成角的正弦值./C

【答案】(I)略；(II)圭祟.

224D

【解析】(I)证明：在△COM中，CD=1,CM=2,NDCM=60°,

由余弦定理得OM=V^，.-.CD2+DM2=CM2,DC1.DM.

又PDLDC,所以。CL平面POM,所以0CJ_PM.

又PM工DM,所以PM,平面COM,又ABU平面CDM,所以

(II)PA^y/15,AM^y/7,：.PM=2^2.

建系如图，则M(0,0,0),P(0,0,2^/2),。(0,，5,0),4(-2,-A/3,0).

C(1,y/3,0)>所以N住,AN=仔■，制3,，^).

易知平面POM的一个法向量为n=(1,0,0),

记直线AN与平面POM所成角为0,则

sin^|cos(n,修三迎=^=苧.

1\71㈤.|阿\/156

o

20.数列｛%｝满足©=-7,且对于任意正整数〃有4S,,+i=3S“一9,其中S“为数列｛a“｝的前九项和.

(I)求数列位“｝的通项公式；

(II)若数列他,｝满足3b“+(n—4)%,=0,记以为数列他｝的前n项和.若实数人满足对于任意正整数

n,都有求》的取值范围.

【答案】(I)%=-,用'%eN*)；(II)-3WAWL

927

【解析】(I)・・”=一j.•.4$2=3$-9—&=一瑞.

当几22时，\45=3*/^-9,两式相减得%+1=微册，所以％=。2•("!")=一'(1

当n=1时也成立,所以数列｛册｝的通项公式为源=-

(II)36„+(n—4)a„=0,/.bn=(n-4)

Q

—・％=-3・-—2-••,+(n-4)的

两式相减得:

M7+停)+图+-+(|)"-(n-4)(1)"

；i+i

所以，=-4〃

故-472停)—4)停)<=>-3n^A(n—4),

当"<4时，.目，所以Z1；

当门=4时，AGR；

3n„12

当n>4时，入、-----=-3----------r所以Q-3,

4—n71—4

综上：求交集得-3WAW1.

21、如图，抛物线?/2=2也•的焦点为歹，准线与下轴的交点为M,且|W|=2.

（I）求抛物线方程；

（】1）过F点作抛物线的弦43,若斜率为2的直线/与直线AM,MB,43,立轴依次交于点尸，Q,R,

N,且|NR『=|NP||NQ|,求直线/横截距的范围.

【答案】（I）y2=4x；

（II）（-8,-7-4通]付7+4通,1）0（1,+oo）.

【解析】（I）因为=2,即p=2,

所以抛物线方程为力=4,.

（II）设4（为，加），B（X2,心.

设直线48的方程为工=切+R,

代人力=4?得02—4切—4=0,

所以%+?2=4£,%物=-4.

设直线/的方程为沙=2e+m（m^-2,否则点N、R、F重合）,

与直线43的方程/=3+1联立，解得7?传笔，"台，又N（-%0）,

\1一Zt1-Zt/\Z/

所以|般|2=(勺2m\2(m+2\2{m+2I2/m+2\25(m+2)2

+--+ZZ-=

\1-2t2J+|.2(1-2OJ\l2i/4(l-2i)2

由点“（一1,0）、A（xt,协）得直线PM的方程为"=七7（z+1）,与沙=2c+m联立,

化1IJL

(2-m)协_(2-m)协

解得加=

2/1+2—1/12切1+4—%同理把V换成火得私=2黑1;绦

.YNPWNQU阳、/也=|-墨烂5+4]

5____________4(2_Tn.___________=___________5(2__)2____________5(2_m)2

4(2f—I)，*沙2+(8£—4)(妨+〃2)+16(2t—1)2(—4)+(8f—4),4i+1616i2+12

.5(m+2)?=5(2—7n)2.(m+2)2_(1一2t产

•.•|NH|2=|NP|“NQI，'4'(1—21)2=16户+12-,(m-2)2=4/2+3)

（1一2斤一21切+2丫(4

令l-2£=s,则0<

4产+3s2-2s+4m-2/3

7-7+14

解得m214+8，3，或mW14—8，？，又因为加米-2,

所以直线/在c轴上截距-y的取值范围是（-oo,-7-4-/3]U[-7+4A/3,1）U（1,+00）.

22、已知函数/(立)=a*—匕/+e?(a>1,a;GR).

(1)讨论/(力的单调性；

(2)若对任意的实数b>2e2,/(⑼均有两个零点，求实数a的取值范围；

bInbp2

(3)若。=2,证明：对任意实数b>e",/(/)有两个零点为，x2(Xi<x^),且效>2e'2,.

解：(1)fl(x)=axlna—b.

当〃WO时,r(力>0,/3)在R上单调递增;

当6>0时，令/3)=0得i=log。白，又广⑴在R上单调递增，所以

当力《(-8,时，r(①)<0，/(力)单调递减，

当££(ioga\^,+oo)时，f(X)>O,/(4)单调递增.

(2)b>2e"由(1)知，/(力在(-00,log。内单调递减，在(bga卜：［，+oc)内单调递增，

又当£T-OO时，fQ)—>+OO；当6―>+OO时，f(N)T+OO,

所以要使对任意6>2e2,/(力有两个零点，只需/(log./)V0,即告一2e2・log“告+e2Vo.

222f

上式看成关于b的函数g(b)=白"—2e-loga+e(&>2e),则/(6)=log。,g(lna)=0.

r

①当InaWZe?时，b>lnafg(6)<0,g(6)在(2c?,+oo)上单调递减，

2

Op八Op2

22

只需g(2c')<0,即］n〃—2e,logex+e<0,整理得一2—21n2+2Inina+Ina<0.

2

r

令lna=£Q>0),g(£)=21n£+£-2-21n2VO,g(t)=-+1>09

所以g⑴在(0,+8)上单调递增，且g(2)=0,所以力<2,即lnaV2,0<a<e2.

②当hia>2e2时，g(b)在(24,In。)上单调递增，在(山匹+oo)上单调递减，

因为gQna)=l+e2>0,不符合题意，舍去.

综上可知，实数Q的取值范围是(0,e2).

(3)f(x)=ex—bx+e2(J)>e4),f(x)=ex—b,令尸3)=0得c=ln［>lne4=4,

因为在R上单调递增，所以/Q)在(-oo,Inb)内单调递减，在。iiK+oo)内单调递增，

又当ZT•-OO时，/(/)—>+oo；当+oo时，/(/)—>+oo,

2442

且/(4)=。4—4b+e<e—4e+e<0,所以f(力有两个零点的,x2(xi<In6<效),

x2

因为/(电)=©的一瓯2+。2=0,所以22=亍+}

要证/2>料为+竽，只需证：I〉绊J血，即证：记>粤灯,

/cuu/e/e

因为/(*)=e〃-b©+e2=0,所以bg=e"，+e2,所以只需证：e^>-^(e^'+e2),

又/(0)=l+e2>0,/(2)=2e2-26<2e2-2e4<0,所以0<电<2,e^'+e2<e2+e2=2e2,

故只需证6附>bln6,即证g>ln6+Inin6,因为ln6+lnhi6>In6,所以只需证/(In6+Inin6)<0.

f()nb+Inin6)=eln6+,nln6-1(1皿+Inin6)+e2=-6Inin6+e2

<-e4Inlne4+e2=-e4ln4+e2<0,

证毕.

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