新教材适用2023-2024学年高中数学第5章三角函数5.1任意角和蝗制5.1.2蝗制素养作业新人教A版必修第一册

第五章5.15.1.2A组·基础自测一、选择题1．下列各对角中，终边相同的是(D)A．eq\f(20π,3)，eq\f(29π,3) B．－eq\f(π,3)，eq\f(22π,3)C．eq\f(3π,2)，－eq\f(3π,2) D．－eq\f(7π,9)，－eq\f(25π,9)[解析]A错误，eq\f(20π,3)＝6π＋eq\f(2π,3)，eq\f(29π,3)＝10π－eq\f(π,3)，终边不相同；B错误，eq\f(22,3)π＝6π＋eq\f(4π,3)，其终边与－eq\f(π,3)的终边不同；C错误，eq\f(3π,2)的终边在y轴的负半轴上，而－eq\f(3π,2)的终边在y轴的正半轴上，所以终边不相同；D正确，因为－eq\f(25π,9)＝－2π－eq\f(7π,9)，所以－eq\f(7π,9)和－eq\f(25π,9)的终边相同．2．若α＝5rad，则角α的终边所在的象限为(D)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]∵eq\f(3π,2)<5<2π，∴α＝5rad为第四象限角，其终边位于第四象限．3．将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(D)A．－eq\f(π,4)－8π B．eq\f(7,4)π－8πC．eq\f(π,4)－10π D．eq\f(7,4)π－10π[解析]∵－1485°＝－5×360°＋315°，又2πrad＝360°，315°＝eq\f(7,4)πrad.故－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是eq\f(7,4)π－10π.4．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(D)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)[解析]阴影部分的两条边界分别是eq\f(2π,3)和eq\f(7π,6)角的终边，所以α的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)．5．若弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是(C)A．tan1 B．eq\f(1,sin1)C．eq\f(1,sin21) D．eq\f(1,cos1)[解析]如右图所示，设∠AOB＝2，AB＝2.过点O作OC⊥AB于C，延长OC交eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))于D，则∠AOD＝eq\f(1,2)∠AOB＝1，AC＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△AOC中，OA＝eq\f(AC,sin∠AOC)＝eq\f(1,sin1).∴扇形的面积S＝eq\f(1,2)×2×eq\f(1,sin21)＝eq\f(1,sin21).二、填空题6．将－1360°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为－8π＋eq\f(4π,9)_.[解析]∵－1360°＝－4×360°＋80°，而80°＝eq\f(4π,9)，∴应填－8π＋eq\f(4π,9).7．若－π<α<π，2α与－eq\f(5π,4)的终边互相垂直，则α＝－eq\f(7π,8)，－eq\f(3π,8)，eq\f(π,8)，eq\f(5π,8)_.[解析]因为2α与－eq\f(5π,4)的终边互相垂直，所以2α＋eq\f(5π,4)＝eq\f(π,2)＋2kπ或2α＋eq\f(5π,4)＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．因为－π<α<π，所以令k＝0,1，可得α＝－eq\f(3π,8)或eq\f(5π,8)或－eq\f(7π,8)或eq\f(π,8).8．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝eq\f(π,6)，则劣弧eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的长为eq\f(4π,3)_.[解析]连接AO，OB，因为∠ACB＝eq\f(π,6)，所以∠AOB＝eq\f(π,3)，又OA＝OB，所以△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的长为eq\f(π,3)×4＝eq\f(4π,3).三、解答题9．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．[解析](1)将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到OB所形成．故满足条件的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|\f(3π,4)＋2kπ<α<\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z)).(2)将终边为OA的一个角eq\f(11π,6)改写为－eq\f(π,6)，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|－\f(π,6)＋2kπ<α≤\f(5π,12)＋2kπ，k∈Z)).(3)将题干图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转πrad而得到，所以满足条件的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|kπ≤α≤\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转πrad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|\f(2π,3)＋kπ<α<\f(5π,6)＋kπ，k∈Z)).10．(1)把310°化成弧度；(2)把eq\f(5π,12)rad化成角度；(3)已知α＝15°、β＝eq\f(π,10)、γ＝1、θ＝105°、φ＝eq\f(7π,12)，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．[解析](1)310°＝eq\f(π,180)rad×310＝eq\f(31π,18)rad.(2)eq\f(5π,12)rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)×\f(5π,12)))°＝75°.(3)解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×eq\f(π,180)＝eq\f(π,12).θ＝105°＝105×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,12).显然eq\f(π,12)<eq\f(π,10)<1<eq\f(7π,12).故α<β<γ<θ＝φ.解法二(化为角度)：β＝eq\f(π,10)＝eq\f(π,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝eq\f(7π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝105°.显然，15°<18°<57.30°<105°.故α<β<γ<θ＝φ.B组·能力提升一、选择题1．若eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，则eq\f(α,2)的终边在(D)A．第一象限 B．第四象限C．x轴上 D．y轴上[解析]∵eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴eq\f(α,2)＝3kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．当k为奇数时，eq\f(α,2)的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，eq\f(α,2)的终边在y轴的非负半轴上．综上，eq\f(α,2)终边在y轴上，故选D．2．(多选题)圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则(BC)A．扇形的面积不变B．扇形的圆心角不变C．扇形的面积增大到原来的4倍D．扇形的圆心角增大到原来的2倍[解析]α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2l,2r)＝α′，故圆心角不变，由面积公式S＝eq\f(1,2)lr知，扇形的面积增大到原来的4倍，故选BC．3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为eq\f(2π,3)，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(eq\r(3)≈1.73)(B)A．6平方米 B．9平方米C．12平方米 D．15平方米[解析]如图，由题意可得：∠AOB＝eq\f(2π,3)，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝eq\f(π,3)，∠DAO＝eq\f(π,6)，OD＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×4＝2，可得，矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sineq\f(π,3)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，可得：弦＝2AD＝2×2eq\r(3)＝4eq\r(3)，所以，弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)＝eq\f(1,2)(4eq\r(3)×2＋22)＝4eq\r(3)＋2≈9(平方米)．故选B．二、填空题4．已知θ∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋－1k·\f(π,4)，k∈Z))，则θ的终边所在的象限是_第一或第二象限_.[解析]当k为偶数时，α＝2mπ＋eq\f(π,4)(m∈Z)，当k为奇数时，α＝(2m－1)π－eq\f(π,4)＝2mπ－eq\f(5π,4)(m∈Z)，∴θ的终边在第一或第二象限．5．如图，以正方形ABCD中的点A为圆心、边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为2－eq\f(π,2)_.[解析]设AB＝1，∠EAD＝α，因为S扇形ADE＝S阴影BCD，则由题意可得eq\f(1,2)×12×α＝12－eq\f(π×12,4)，所以解得α＝2－eq\f(π,2).三、解答题6．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.[解析](1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，所以α＝∠AOB＝60°＝eq\f(π,3).(2)由(1)可知α＝eq\f(π,3)，r＝10，所以弧长l＝α·r＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)，所以S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3)，而S△AOB＝eq\f(1,2)·AB·eq\f(\r(3),2)r＝eq\f(1,2)×10×5eq\r(3)＝25eq\r(3)，所以S＝S扇形－S△AOB＝25eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\r(3))).7．已知一个扇形的周长为12cm，当扇形的半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角．[解析]设扇形的半径为r，圆心角为θ，则扇形的弧长为l＝rθ，根据题意，扇形的周长2r＋l＝12，解得l＝12－2r，所以扇形的面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(12－2r)×r＝－r2＋6r＝－(r－3)2＋9，故当r＝3时，S取得最大值，此时l＝12－2×3＝6，扇形的圆心角θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(6,3)＝2.8．在一块顶角为eq\f(2π,3)、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；(2)比较两种方案中的扇形面积的大小．[解析](1)由题图①所示的方案，可得∠OAD＝eq\f(π,6)，R1＝2，所以扇形的周长为C1＝2R1＋eq\f(π,6)×R1＝2×2＋eq\f(π,3)＝4＋eq\f(π,3).由题图②所示的方案，可得∠MON＝eq\f(2π,3)，R2＝1，所以扇形的周长为C2＝2R2＋eq\f(2π,3)×R2＝2×1＋eq\f(2π,3)＝2＋eq\f(2π,3).所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值为|C1－C2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(π,3)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(2π,3)))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,3)))＝2－eq\f(π,3).(2)题图①所示方案的扇形面积为S1＝eq\f(1,2)α1Req\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)×eq