新教材适用2023-2024学年高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与比较大小素养作业新人教A版必修第一册

第二章2.1第1课时A组·基础自测一、选择题1．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系(C)A．T<40 B．T>40C．T≤40 D．T≥402．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(A)A．M>N B．M＝NC．M<N D．与x有关[解析]M－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，故M>N.3．已知a＞0，b＞0，M＝eq\r(a)＋eq\r(b)，N＝eq\r(a＋b)，则(A)A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．不能确定[解析]易知M＞0，N＞0，因为M2－N2＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2－(eq\r(a＋b))2＝2eq\r(ab)＞0，所以M＞N.4．若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于50m，则用不等式表示为(B)A．v≤120km/h或d≥50mB.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v≤120km/h，,d≥50m))C．v≤120km/hD．d≥50m[解析]考虑实际意义，知v≤120km/h，且d≥50m.5．(多选题)下列结论正确的是(ACD)A．用不等式表示某厂最低月生活费a元不低于300元为a≥300B．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则满足的关系式是5x＋4y＜200C．设M＝x2＋3，N＝3x，则M与N的大小关系为M＞ND．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是M＞－5[解析]可得a≥300，故A正确；可得500x＋400y≤20000，化为5x＋4y≤200，故B错误；M－N＝x2＋3－3x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，可得M＞N，故C正确；因为x≠－2且y≠1，所以M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2＞0，即M＞－5，故D正确．二、填空题6．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为_m3>m2－m＋1_.[解析]∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)．又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.7．一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面有一点B，则A，B两点间的距离d满足的不等式为2≤d≤2eq\r(3)_.[解析]最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角线长2eq\r(3).故2≤d≤2eq\r(3).8．一辆汽车原来每天行驶xkm，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程就超过2200km，写成不等式为8(x＋19)>2200_；如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为eq\f(8x,x－12)>9_.[解析]原来每天行驶xkm，现在每天行驶(x＋19)km.则不等关系“在8天内它的行程就超过2200km”，写成不等式为8(x＋19)>2200.若每天行驶(x－12)km，则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为eq\f(8x,x－12)>9.三、解答题9．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下表：轮船运输量/t飞机运输量/t粮食300150石油250100现在要在一天内至少运输2000t粮食和1500t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．[解析]设需要安排x艘轮船和y架飞机．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x＋150y≥2000，,250x＋100y≥1500，,x∈N，y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋3y≥40，,5x＋2y≥30，,x∈N，y∈N.))10．设x∈R且x≠4，试比较x＋3与eq\f(13,4－x)的大小．[解析]因为x＋3－eq\f(13,4－x)＝x＋3＋eq\f(13,x－4)＝eq\f(x2－x＋1,x－4)，又x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0恒成立，所以当x>4时eq\f(x2－x＋1,x－4)>0，此时x＋3>eq\f(13,4－x).当x<4时eq\f(x2－x＋1,x－4)<0，此时x＋3<eq\f(13,4－x).B组·能力提升一、选择题1．已知三角形的任意两边之和大于第三边，设△ABC的三边长为a，b，c，将上述文字语言用不等式(组)可表示为(D)A．a＋b>c B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b>c,a＋c>b))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c≥b,b＋c≥a)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b>c,a＋c>b,b＋c>a))[解析]由三角形三边关系及题意易知选D.2．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(A)A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1[解析]观察图形可知体积减小一半后剩余酒的高度最高为h2，最低为h4.故选A．3．(多选题)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是(BD)A．c＜b B．b≥1C．b≤a D．a＜c[解析]因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝6－4a＋3a2，①,c－b＝4－4a＋a2，②))由①－②得2b＝2a2＋2，即b＝a2＋1，所以b≥1.又b－a＝a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，所以b＞a，而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，所以c≥b.从而c≥b＞a.二、填空题4．已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式，当b>a>0且m>0时，eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)_.[解析]变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了，所以当b>a>0且m>0时，eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b).5．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是_d>b>a>c_.[解析]∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴b<d.又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.三、解答题6．(1)已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小；(2)已知a≥1，试比较M＝eq\r(a＋1)－eq\r(a)和N＝eq\r(a)－eq\r(a－1)的大小．[解析](1)因为a＋b>0，(a－b)2≥0，所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)·(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.(2)因为a≥1，所以M＝eq\r(a＋1)－eq\r(a)>0，N＝eq\r(a)－eq\r(a－1)>0.所以eq\f(M,N)＝eq\f(\r(a＋1)－\r(a),\r(a)－\r(a－1))＝eq\f(\r(a)＋\r(a－1),\r(a＋1)＋\r(a)).因为eq\r(a＋1)＋eq\r(a)>eq\r(a)＋eq\r(a－1)>0，所以eq\f(M,N)<1，所以M<N.C组·创新拓展甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略．甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．(1)若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品和乙两次购买这种物品的平均价格分别为多少；(2)设两次购买这种物品的价格分别为a元，b元(a＞0，b＞0)，问甲、乙谁的购物比较经济合算．[解析](1)设甲每次购买这种物品的数量为m，乙每次购买这种物品所花的钱数为n.所以甲两次购买这种物品的平均价格为eq\f(6m＋4m,m＋m)＝5(元)，乙两次购买这种物品的平均价格为eq\f(2n,\f(n,6)＋\f(n,4))＝eq\f(24,5)(元)．(2)由(1)知，甲两次购买这