广东省深圳市名校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

高二数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.1．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称，则的坐标为（）A．B．C．D．2．已知向量，则（）A．B．C．D．3．经过两点的直线的倾斜角为（）A．B．C．D．4．在长方体中，（）A．B．C．D．5．若直线的斜率大于1，则的倾斜角的取值范围为（）A．B．C．D．6．在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．7．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则的斜率为（）A．3或B．3C．或D．8．在三棱锥中，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（）A．2B．1C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线的倾斜角为，则的方向向量可能为（）A．B．C．D．10．已知是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是（）A．B．C．D．11．如图，在圆台中，分别为圆的直径，，圆台的体积为为内侧上更靠近的三等分点，以为坐标原点，下底面垂直于的直线为轴，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则（）A．的坐标为B．C．平面的一个法向量为D．到平面的距离为12．在正四面体中，分别是的中点，，则（）A．B．C．D．异面直线与所成的角为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知分别是平面的法向量，且，则________．14．已知点，点在轴上，为直角三角形，请写出的一个坐标：________．15．在空间直角坐标系中，向量，则的最大值为________．16．在三棱锥中，底面为正三角形，平面为的外心，为直线上的一动点，设异面直线与所成的角为，则的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线经过两点，经过两点．（1）若，求的值；（2）若的倾斜角互余，求的值．18．（12分）在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为．（1）求的坐标；（2）求四边形的面积．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且．（1）证明：．（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面平面为的中点，．（1）设，用表示；（2）若，求．21．（12分）如图，在正方体中，分别是的中点．（1）证明：平面．（2）在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由．22．（12分）如图，为圆柱底面圆周上三个不同的点，分别为半圆柱的三条母线，且是的中点，分别为的中点．（1）证明：平面．（2）若是上的动点（含弧的端点），求与平面所成角的正弦值的最大值．高二数学参考答案1．CB的坐标为．2．D．3．A由题意得，所以直线的倾斜角为．4．A因为，所以．5．B设的倾斜角为，易得，由，得．6．D如图，过作，垂足为，过作，垂足为，连接．易得平面，所以．又平面，所以平面，则．由，得，即向量在向量上的投影向量为．7．B设的倾斜角为，由，得或，易得的倾斜角为锐角，所以的斜率为3．8．C以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，得，取，则，所以点到直线的距离为．9．AC由题意得的斜率为，则的方向向量可能为．10．BC因为，所以共面，共面，A，D错误．不存在，使得，所以不共面，B正确．不存在，使得，所以不共面，C正确．11．ABD由，得，则，A正确．如图，连接，设在下底面的射影为点，易得，则，因为，所以，B正确．设平面的法向量为，则取，则，所以，C错误．因为，所以到平面的距离为，D正确．12．BC，A错误，B正确．在正四面体中，可证，则，则，所以，C正确．取的中点为，连接，则，且．因为，所以，所以是以为直角的等腰直角三角形，所以异面直线与所成的角为，且，D错误．13．由，得，所以，得．14．（答案不唯一，任意一个都可以）设，由题意得，，当为直角时，，得的坐标为．当为直角时，，得的坐标为．当为直角时，，化简得，该方程无解．15．由题意得，则，所以的最大值为．16．不妨设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，由题意得为的中点，所以．设，得，则，因为，所以．当时，．当时，，得．综上，，得．17．解：由题意得，．（1）若，则，得．（2）若的倾斜角互余，则，得．18．解：（1）设的坐标为，由题意得，因为四边形是平行四边形，所以得即的坐标为．（2）由题意得，则，所以，得．故四边形的面积为．19．（1）证明：四边形为正方形，．底面平面．又平面平面．平面．（2）解：如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，由（1）知平面，则平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则令，得，，由图可知二面角是锐角，故二面角的余弦值为．20．解：（1）连接（图略）．．因为为的中点，，所以，所以．（2）因为，所以．因为平面平面，所以．又，所以，即．21．（1）证明：以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．设平面的法向量为，则取，则，得，平面．（2）解：存在点，使得平面在的延长线上，且．由题意得，设，则，平面，得．22．（1）证明：因为分别为半圆柱的三条母线，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．又因为平面平面，所以平面．（2）解：记的