2019年春北师大版七年级下册4.3探索三角形全等的条件：全等三角形证明-辅助线题型学案

2019年春北师大版七年级下册4.3探索三角形全等的条件：全等三角形证明–辅助线题型学案一、引入在上一节中，我们学习了什么是全等三角形，以及全等三角形的四个条件。在本节中，我们将重点讨论通过辅助线题型进行三角形全等证明的方法。全等三角形是非常重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。通过证明两个三角形全等，我们可以得到它们相应边和角的相等关系，从而推导出很多有用的结论。二、辅助线题型辅助线题型的意义辅助线题型是指在证明全等三角形时，通过增加一些辅助线，使原来复杂的问题变得更加简单明了。通过增加一些线段或者点，我们可以将复杂的全等问题转化为容易解决的简单问题。辅助线题型的基本方法辅助线题型的基本方法包括：-增加中位线-增加高线-增加角平分线-增加垂线我们将逐一介绍这些方法，帮助你掌握辅助线题型的解题技巧。三、增加中位线中位线的定义中位线是连接一个三角形的任意两个顶点和对边中点的线段。在一个三角形中，共有三条中位线，它们交于同一点，称为中心。中位线的作用增加中位线可以将一个三角形分割为三个全等的小三角形。通过证明这三个小三角形全等，我们就可以得到原三角形的全等证明。通过辅助线题型证明三角形全等的例子例如，在下图中，已知AB=AC，BD=CD，请证明∠BCD=∠CBD。解：我们增加中位线BE。根据中位线定义，我们可以得知AE=EC。又因为BD=DC，所以BE是ΔBDC的中位线。根据中位线的性质，我们可以知道这样的等式成立：BE=1/2BC。又根据BD=DC，我们可以得知ΔBDC是一个等腰三角形，所以∠BCD=∠CBD。至此，我们已经证明了∠BCD=∠CBD。四、增加高线高线的定义高线是从一个三角形的顶点向对边的垂线。在一个三角形中，共有三条高线，它们交于同一点，称为垂心。高线的作用增加高线可以将一个三角形分割为三个全等的小三角形。通过证明这三个小三角形全等，我们就可以得到原三角形的全等证明。通过辅助线题型证明三角形全等的例子例如，在下图中，已知BD=DC，∠B=∠D，请证明∆ABC≡∆ACD。解：我们增加高线AE和CF。根据垂直线的性质，我们可以得知∠BAE=∠DCE，∠BAC=∠DAC。因为∠B=∠D，所以∠ABC=∠DCA。至此，我们已经证明了∆ABC≡∆ACD。五、增加角平分线角平分线的定义角平分线是指从一个三角形的顶点到对边的切线。在一个三角形中，共有三条角平分线。角平分线的作用增加角平分线可以将一个三角形分割为两个全等的小三角形。通过证明这两个小三角形全等，我们就可以得到原三角形的全等证明。通过辅助线题型证明三角形全等的例子例如，在下图中，已知∠A=∠C，AC=BC，请证明∆ABC≡∆CBA。解：我们增加角平分线BD。根据角平分线的性质，我们可以得知∠BAD=∠CBD，∠BAC=∠BCA。因为∠A=∠C，所以∠ABC=∠CBA。至此，我们已经证明了∆ABC≡∆CBA。六、增加垂线垂线的定义垂线是指从一个三角形的顶点到对边的垂直线。在一个三角形中，共有三条垂线。垂线的作用增加垂线可以将一个三角形分割为两个全等的小三角形。通过证明这两个小三角形全等，我们就可以得到原三角形的全等证明。通过辅助线题型证明三角形全等的例子例如，在下图中，已知AD=BD，AC=BC，请证明∆DAC≡∆DBC。解：我们增加垂线DE和CF。根据垂线的性质，我们可以得知∠CDEF=∠DFC，∠CED=∠DFC。因为AC=BC，所以∠CDE=∠CDF。至此，我们已经证明了∆DAC≡∆DBC。七、总结通过以上的例子，我们可以看到，通过增加辅助线可以让原本复杂的全等证明问题变得简单明了。增加中位线、高线、角平分线、垂线，是常见的辅助线题型。掌握这些辅助线题型的基本方法和性质，将帮助我们更好地理解和证明全等三角形。全等三角形的证明是几何学中的基础内容，也是我们理解和应用几何学知识的重要途径之一。通过进行辅助线题型的学习和练习，我们可