《信息技术应用利用信息技术制作三角函数表》教学设计(新疆市级优课)-信息技术教案

《两角差的余弦公式》教学设计石河子第二中学：王荣一、教学任务分析：本课时的中心任务是建立两角差的余弦公式，通过简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并建立其和（差）角公式打好基础。从教科书编写来看，本节需要突出建立公式过程的探索性。教科书努力避免直接呈现逻辑推理过程，而是鼓励学生独立探索，这就要求教师在教学中要提出能引起学生思维的问题，而不能把结果过早的告诉学生，又要组织学生探索，并对学生的探索活动作出适当引导，把握其中的度是顺利完成教学任务的关键。

二、教学重点难点：

重点：通过探索得到两角差的余弦公式。

难点：探索过程的组织和适当引导。这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学的知识和方法的能力问题，等等。

三、教学基本流程：

特例引课→明确探索目标及途径→组织学生自主探索→学生类比特殊情况进行一般化的证明→教师引导反思再完善→通过例题和练习加强对公式的理解→小结反思再学习→布置课后探究任务。

四、教学设计：1、问题情境导课：师提出问题：我们已知了一些特殊角的三角函数值，比如等，那么他们和差的三角函数值与其有怎样的关系呢？特别地，能否转化成特殊角的三角函数值求解？预设学生作答为：师提出问题：在学生发现的基础上，让学生大胆猜想与那些值有关？设计意图：明确研究的问题，尽量具体化，激发学生研究的兴趣，通过问题引导学生的思考方向，为本节课的学习作铺垫。2、创设特殊问题情境，自主探究：师提出探究问题1：如何用、的正弦、余弦值求出的值？师点课题：更一般地，当是任意角时，能不能用的正弦、余弦值把的余弦值表示出来？这就是本节课我们要研究的《两角和差的余弦公式》。师设计问题串指明研究方法和方向：

问题1：如图1，已知角，如何求的值？α问题2：如图2，三个角有怎样的关系，能否构造为呢？如何将画在同一直角坐标系中？

图1图2α问题3：从这两个图出发，能用哪些几何量来表示，并和的正弦、余弦值建立联系呢？

设计意图：明确研究方法，一法构造直角三角形利用三角函数线表示角的正弦余弦值；二法在单位圆中角的正弦，余弦值与点的坐标可对应，这样就把代数计算与几何直观建立了联系。引导学生用几何直观寻找与的正弦，余弦值的关系。同时引导学生在同一图中做出，只要做出两个，就有“现成”的角。这样做主要有两个作用：1、是加强新旧知识的联系性；2、是学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识。

学生自主探究和成果展示：

预设作答1：三角函数线法：用三角函数线计算的值。QQ预设作答2：向量法：用向量夹角计算的值。

预设作答3：两点间距离公式：利用相等的角所对的弦相等计算的值。设计意图:对比向量法既简单又具有一般性，为一般性证明作铺垫。同时由特殊到一般进行推广，类比特殊情形下两个角的正弦、余弦值与其差角的余弦值的关系进行大胆猜想，并类比其推导过程对一般性的结论进行证明。3、类比猜想，推理论证：

师提出探究问题2：类比特殊情形，当是任意角时，如何用的正弦，余弦值来表示？并类比特殊情形证明你的猜想。

学生自主探究和成果展示：

预设作答：师提出问题串并完善作答：

问题1：图中有现成的角，是向量所成夹角()吗？

问题2：角的位置关系一定如此吗？还有其他情况吗？上述推导还成立吗？为什么？如右图，此时

设计意图：对探索过程进一步严格化，让学生通过经历用向量知识解决数学问题的过程体会向量方法的优越性。同时通过学生自主展示和教师及时引导，有意训练学生思维的有序性和表述的准确性。4、知识生成，深度剖析：

师点明知识点+多媒体展示+板书：对于任意角，有此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为两角差的余弦公式。简记为：

师提出探究问题3：利用两角差的余弦公式，尝试推导预设学生作答：一法：二法：师呈现知识点+多媒体展示：对于任意角，有两角和差的正余弦公式：师提出问题：两角和差的余弦公式有怎样的结构特征？可以从角和函数名两个方面思考。如何记忆？

学生作答+教师板书公式特征：①任意角；②同名积；③符号反。

记忆方法：ccss，符号反；或余余正正，符号反。练习：用两角和差的余弦公式求值：

并思考：设计意图：1、简单练习熟悉公式；2、初步感受利用诱导公式进行正余弦的转换。公式正用基础例题：

思考：去掉条件是第三象限角，计算过程还一样吗？

设计意图：通过本例使学生掌握两角和差余弦公式的正用，体会数学表述的规范和严谨。引导学生注意①使用公式前作出的必要准备，两个角的正弦、余弦共四个值；②利用平方关系计算角的正弦余弦值时，需注意先确定角所在象限，从而判断角的正弦余弦值的正负。

公式逆向使用基础例题：

设计意图：通过本例使学生初步认识三角变换的核心统一角，统一函数名及整体的思想。

知识迁移，用两角和差的余弦公式证明诱导公式：学生口头作答+多媒体展示：

设计意图：初步感受，由两角和差余弦公式中角的任意性，可对其任意赋值，为接下来的学习做铺垫。

师提出探究4：由两角和差余弦公式出发，对合理赋值，请你试一试还能得到些什么？

设计意图：进一步强调角的任意性和换元思想。同时培养学生发散思维，为接下来两角和差的正弦公式以及二倍角公式的推导作铺垫。

5、课堂小结：谈一谈这节课你有什么收获？

在学生小结的基础上，老师补充今天由特殊到一般的发现之旅是许多数学定理发现过程的缩影。正如数学家G·波利亚所说：“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想到这个定理，在你搞清楚证明的细节之前，你必须猜想证明的主导思想。”6、知识迁移，提出课后探究：从下面两个图出发，类比特殊情形尝试直接推导。特别地，任意性的证明，课本138课B组第四题给出了图形提示。五、课后反思：《两角和差的余弦公式》本节课的主要任务是，两角和差的余弦公式的推导和简单应用。这节课是本单元的开篇公式，它是后续公式推导的基础，地位十分重要。推导的过程综合运用了解析几何、平面几何、三角函数、代数的恒等变形的知识，体现了数学中数形结合、构造、转化与化归的数学思想和方法，我觉得是培养学生数学素养的良好题材。这节课是一节以公式推导为主，无论是从公式的来历，还是从公式的推导都有些难以把握。教材中一开始以实际问题情景导课，公式推导先用三角函数线证明两角为锐角的情形，课本证明过程采用夹叙夹议的形式呈现，针对学情，我主要作了特殊化处理，在特殊情况的基础上猜想再用向量知识进行一般性的证明。以此降低难度，使学生能够在教师适当的引导下完成自主探究。我就这节课教学中的基于教学理念的教学设计和教学预设与课程生成这两方面做以下几点反思：反思基于教学理念的教学设计：新课程理念的灵魂是三个教学目标的整合，关注学生的发展。知识可以通过传授获得，技能可以通过训练掌握。态度和情感价值观需要学生参与获得。因此课堂教学中要重视学生的参与、体验过程，但老师的指导作用也不可忽视，没有老师的引导，学生的行动、思维就很难达到一个较高的程度。教师通过创设激发学生学习欲望的数学情境，营造积极的活跃的学习氛围，才能使学生参与我们的教学中来。为了实现三维目标，本节课我设计本节课以四个探究为主线，以多个问题串为导引，由特殊到一般推理论证，再到剖析知识，应用提升，知识迁移，课堂小节，课后探究任务层层深入，可以说坚持以切实落实“以学生为主体，教师为主导”的教学理念。但实际教学中却存在一些不完美，具体说明如下：

（1）探究1设置太过具体，使学生思维受困，扼杀了更多可能性，比如学生计算过程中事实上也很自然地算了，只是在作答过程中被我制止了；

（2）知识回顾以两个问题为导引，问题意图让学生明确研究方法，将角的正弦，余弦值的代数计算与几何直观建立了联系，此目标达成很顺利。再用几何直观寻找与的正弦，余弦值的关系，这就需要引导学生合理构图。因此设置了问题2：如图2，三个角有怎样的关系，能否构造为呢？这样的设计无疑是“诱导”学生只要做出两个，就有“现成”的角。这样扼杀了学生其它的可能性，于是在探究1的生成过程中学生只是呈现了两种预设，第三种情况就没有出现，这其实是很遗憾的。在实际教学过程中，教学三维目标实施的有效度与教师的引导过程中度的把握和创设的问题情景与学情的契合度密不可分，甚至可以说起着决定性作用。问题设计太过灵活，怕偏离主线，但问题设计太过刻板，又怕“扼杀”的学生思维的更多可能性，错失教育的契机。在以后的教学中我再接再厉，更多的关注三维目标的实施与落实。反思教学预设与课程生成：创设问题情境：针对这节课的课题，从课题分析中提出问题，教师鼓励学生大胆猜想，并验证。学生学习的积极性得到了充分的调动，思维活跃。俗话说，擒贼先擒王，两角差的余弦公式就是他们中的“王”！我们从两角差的余弦公式研究起。这样，才能使本节知识纳入本单元的知识结构中。两角差的余弦公式的探究过程：分成两部分完成，一是公式的准备工作，有两项：三角函数的几何表示和向量相关知识；二是公式的推导步骤由两个特殊角的正余弦值与其差的余弦值，推广到任意两角的正余弦值与其差角的余弦值得关系。这里无论是特殊情形还是一般性证明都有一定的难度，需要老师适时的导引。探究1的实施过程中并不是那么顺畅，其实前面知识的铺垫是比较充分的，特别地三角函数定义和平面向量知识也都是才学过，学生的应用起来可以说是得心应手，但学生平面几何的知识相对比较生疏，因此在用三角函数线法计算的值时，学生1出现了错误，并且未能完成，于是我适时做了导引。事实上此处的难点也是我提前预想过的，于是提前做了准备，结合多媒体辅助很好的突破了，于是由学生2补充说明；探究2的处理我认为学生方法上是不存在障碍的，由特殊情形顺理成章就能得到一般性的证明。我预设学生的问题是思维的有序性和表述的准确性，具体预设问题是：问题1是学生误把向量所成夹角()当成角；问题2是对角的位置关系考虑不全