2021年中考数学 一轮复习：矩形、菱形

2021中考数学一轮复习：矩形、菱形

一、选择题

1.（2019•上海）下列命题中，假命题是（）

A.矩形的对角线相等B.矩形对角线交点到四个顶点的距离相等

C.矩形的对角线互相平D.矩形对角线交点到四条边的距离相等

2.（202。贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的周长是（）

A.5B.20C.24D.32

3.（2020.绥化）如图，四边形A8CO是菱形，E、尸分别是8C、CO两边上的点，

不熊保证ZXABE和△A。尸一定全等的条件是（）

A.ZBAF=ZDAEB.EC=FCC.AE=AFD.BE=DF

4.如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B，，AB'

与DC相交于点E,则下列结论一定正确的是（）

B'

A.NDAB'=ZCABf

B.ZACD=ZBrCD

C.AD=AE

D.AE=CE

5.（2020.滨州）下列命题是假命题的是（）

A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直的矩

形是正方形

C.对角线相等的菱形是正方形D.对

角线互相垂直且平分的四边形是正方形

6.如图I,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A，处,

点B落在点B，处.若/2=40。，则图中N1的度数为（）

A.115°B.120°C.130°D,140°

7.（2020湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形.当内角度

数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方

形ABCD变为菱形ABCD'.若N=30。,则菱形ABCD'的面积与正方形ABC。

的面积之比是（）

DC

D'C

B

A.1B.jC.乌D.冬

4//

8.如图，在矩形ABCD中，点E,F在对角线BD.请添加一个条件，使得结论

“AE=CF”成立，并加以证明.

二、填空题

9.已知一个菱形的边长为2,较长对角线长为24，则这个菱形的面积

是.

10.如图，将两张长为4,宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个

菱形.旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4,那么菱形周长的

最大值是.

11.如图，正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴,y轴上，BC是菱形BDCE

的对角线，若ND=60。，BC=2,则点D的坐标是一

12.（2020•四川甘孜州）如图，有一张长方形纸片ABC。，AB=Scm,BC=Wcm,

点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边8c恰好经过点D,则线

段DE的长为cm.

3，

13.（2020,荷泽）如图，矩形A3CO中，4?=5,12,点尸在对角线BO上,

且BP=BA,连接AP并延长，交OC的延长线于点Q,连接3Q,则3。的长为

14.如图，在△ABC中，AC=BC=2,AB=l,将它沿A8翻折得到△A3。，则四边

形ADBC的形状是形，点P,E,尸分别为线段A3,AD,上的任意

一点，则PE+PF的最小值是.

C.!\

15.如图，已知在矩形ABCZ）中，点E在边8C上，BE=2CE,将矩形沿着过点

E的直线翻折后，点C、。分别落在边下方的点C、。处，且点C、。、B

在同一条直线上，折痕与边AO交于点RDF与BE交于点G.设AB=t,那么

XEFG的周长为（用含t的代数式表示）.

16.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10.点E在CD上，将△BCE沿

BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将^ABG沿BG折叠,

点A恰落在线段BF上的点H处.有下列结论：

3

①NEBG=45。；②△DEFS^ABG；®SAABG=^SAFGH;④AG+DF=FG.

其中正确的是.（把所有正确结论的序号都选上）

三、解答题

17.如图，在菱形A3CO中，AC为对角线，点E,尸分别在AB,上，BE=DF,

连接EE

（1）求证:

（2）延长交CO的延长线于点G,连接8。交AC于点0,若8。=4,tanG=；,

求A。的长.

18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,ZABC：ZBAD=1：2,

BE〃AC,CE〃BD.

(1)求相”NDBC的值；

(2)求证：四边形0BEC是矩形.

19.如图，已知△ABC中，AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到

△ADE,连接BD、CE交于点F.

⑴求证：△AEC^AADB；

(2)若AB=2,NBAC=45。，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长.

20.如图，将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折

痕分别与边BC,AD相交.设折叠后点C,D的对应点分别为点G,H,折痕分

别与边BC,AD相交于点E,F.

⑴判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；

(2)若AB=3,BC=9,求线段CE的取值范围.

21.如图，。。的直径AB=4,C为。。上一点，AC=2.过点C作。。的切线。C,

P点为优弧围A上一动点(不与A、C重合).

(1)求NAPC与NACD的度数；

(2)当点P移动到劣弧的的中点时，求证：四边形08PC是菱形;

(3)当PC为。。的直径时，求证：△APC与AABC全等.

2021中考数学一轮复习：矩形、菱形•答案

一、选择题

1.【答案】D

【解析】矩形的对角线的交点到每一组对边的距离相等，故选项D错误，是假

命题.

2.【答案】B.

3.【答案】C

【解析】由菱形的性质可知AB=AD,ZB=ZD,因此4ABE与4ADF已具备

了一边一角相等.当选项A做条件时可用“ASA”判定全等；当选项B或选项D

做条件时，可用“SAS”判定全等.选项C做条件时是“边、边、角”，不能判定两

个三角形全等.故选C.

4.【答案】D【解析】•.•四边形A8CO为矩形，.•.A3〃CD,...NAC0=N84C,

由折叠的性质可得/84C=ZEAC,：.ZACD=ZEAC,：.AE=CE.

5.【答案】D

【解析】本题考查了正方形的判定，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方

形、对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形是真命题，对

角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方

形是假命题，因此本题选D.

6.【答案】A【解析】由折叠的性质知N£A0=NA=90。，♦；N2=40。，.•./夕4c

=50°,：.ZEA'。=40°,/DEA'=50°,AZAEA'=130°,AZAEF=AFEA'

=^ZAEA'=65°,'：AD//BC,AZ1=180°-65°=115°.

7.【答案】解：根据题意可知菱形ABCD，的高等于AB的一半，.•.菱形ABCD，

的面积为;AB2,正方形ABCD的面积为AB2....菱形ABCTT的面积与正方形

ABCD的面积之比是;.故选：B.

【分析】根据30。角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形ABCD，的高等于AB

的一半，再根据正方形的面积公式和平行四边形的面积公式即可得解.

8.【答案】添加的条件是BE=DF（答案不唯一）.

证明：•..四边形ABCD是矩形，

/.AB/7CD,AB=CD,

.,.ZABD=ZBDC,

又•.•BE=DF（添加），

.,.△ABE^ACDF（SAS）,

.\AE=CF.

二、填空题

9.【答案】［解析了.•菱形两对角线互相垂直且平分，较长对角线的一半为6,

二菱形较短对角线的一半为后荷=1.根据菱形面积等于两对角线长乘积的

一半得:;x2gx2=2小.

10.【答案［解析了如图，当两矩形纸条有一条对角线互相重合时，菱形的周

长最大，

设菱形的边长AC=x,则AB=4-x,

在RSABC中，AC2=AB2+BC2,

17

即X2=(4-X)2+12,解得x=w，

菱形的最大周长=^x4=y.

n.【答案】（由+2,7）【解析】如解图，过点D作DG_LBC于G,DF，x轴

于F,•.•在菱形BDCE中，BD=CD,ZBDC=60°,，4BCD是等边三角形,

.*.DF=CG=1BC=1,CF=DG=小，/.OF=V3+2,，D（S+2,1）.

12.［答案］5

【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理.

•长方形纸片ABC。,A5=8,3c=10,：.AB'=S,AD=IO,8c=10.

在RrAWS中，由勾股定理，得08=6.：,DC=4.

设贝ijCE=CE=8—x.

在中，由勾股定理，得OE2=EC2+£>C2

即x2=(8—x)2+42.

，x=5.即线段OE的长为5c〃z.

13.【答案】3折

【解析】由于已知的长，故可设想在Rr^BC。中利用勾股定理求解，则需

求CQ的长，这可通过求OQ的长得到，结合已知条件BP=BA=5,易知OQ=

DP,显然。P可求，思路沟通.

在矩形A3CD中，ZBAD=90°,AB=5,AD=12,：.BD=yjAB2+AD2=13,

又•：BP=BA=5,二。P=13—5=8,ZBAP=ZBPA.'：AB//DQ,：.ZBAP=

ZPQD,：.ZPQD=ZBR\=ZDPQ,：.DQ=DP=S,：.Cg=8-5=3.在Rf

△3CQ中，BC=12,CQ=3,ABQ=V122+32=3A/17.

14.【答案】菱申［解析「〃。可。，.•.△ABC是等腰三角形.

将^ABC沿AB翻折得到^ABD,：.AC=BC=AD=BD,：.四边形ADBC是菱形.

,.，△ABC沿AB翻折得到^ABD,：.△ABC与4A3。关于AB成轴对称.

如图所示，作点E关于AB的对称点/，连接P£,根据轴对称的性质知AB垂

直平分印，：.PE=PE',

：.PE+PF=PE'+PF,

当E',P,E三点共线，且EFLAC时，PE+尸产有最小值，该最小值即为平行线

AC与80间的距离.

作CM_LA3于M,3GLA。于G,由题知AC=BC=2,AB=l,NCAB=NBAD,

LAG1

cosZCAB=cosZBAD,即令了，二•AG,，

2

在RQABG中，BG=^AB2-AG2=Jl-

由对称性可知BG长即为平行线AC,BD间的距离，

：.PE+PF的最小值=卓

15.【答案】2后.思路如下：如图，等边三角形EFG的高=AB=f,计算得边长

为生

16.【答案】*④【解析】由折叠的性质得，ZCBE=ZFBE,NABG=/FBG,

AZEBG=ZFBE+ZFBG=1x90°=45°,故①正确；由折叠的性质得，BF=BC

=10,BA=BH=6,/.HF=BF-BH=4,AF=^BF2-BA2=^/102-62=8,设

GH=x,则GF=8—x,在HfaGHF中，x2+42=(8-x)2,/.x=3,/.GF=5,

oinFf)

；.AG=3,同理在放4FDE中，由FD2=EF2—ED?,得ED=a，EF=《~,.•.砺

jjrL)

黑=2,.,.△DEF与△ABG不相似，故②不正确；SAABG=1X3X6=9,SAFGH

1SAABG93../~.

=5X3X4=6,------=N=5，故③正确；VAG=3,DF=AD—AF=2,AFG

LSAFGH0L

=5,，AG+DF=FG=5,故④正确.综上，答案是①③④.

三、解答题

17.【答案】

解:(1)证明:四边形ABCD为菱形，

：.AB=AD,AC平分NBAD

BE=DF,：.AB-BE=AD-DF,

：.AE=AF,

...△AEF是等腰三角形，

YAC平分NBA。，：.AC±EF.

(2)..•四边形ABC。为菱形，

C.CG//AB,B0=；BD=2,

易知EF//BD,

四边形EBDG为平行四边形，

/.ZG=ZABD,tanZABZ)=tanZG=^,

.,AOAO1

..tanZ.ABD=^=—=^,..AO=1.

18.【答案】

(1)【思路分析】根据四边形ABCD是菱形，NABC：ZBAD=1:2,可求出NDBC

的度数，其正切值可求出.

解：•••四边形ABCD是菱形，

，AD〃BC,ZDBC=|ZABC,

ZABC+ZBAD=180°,

XVZABC：ZBAD=1：2,

AZABC=60°,(2分)

.,.ZDBC=|ZABC=3O°,

：.tanZDBC=tan30°=手.(3分)

(2)【思路分析】由BE〃AC,CE〃BD可知四边形BOCE是平行四边形，再结

合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE是矩形.

证明：•.•四边形ABCD是菱形，

AAClBD,即ABOC=90。,（4分）

VBE/7AC,CE〃BD,

，BE〃OC,CE〃OB,

，四边形OBEC是平行四边形，且NBOC=90。，

二四边形OBEC是矩形.（5分）

方法指导|（1）要求一个角的正切值,可通过相关计算先求得角的度数，再求其正

切值，这种情况往往所求角度为特殊值；或者将该角置于直角三角形中，通过求

直角三角形边长来，求其正切值.（2）矩形的判定：①平行四边形+有一个角是

直角；②平行四边形十对角线相等；③四边形的三个角是直角.

19.【答案】

（1）证明：；4人口£是由△ABC绕点A沿顺时针方向旋转而得，

，AD=AB,AE=AC,ZBAC=ZDAE,（1分）

VAB=AC,

，AD=AB=AE=AC,NEAC=NDAB,

在^AEC和^ADB中

（AD=AE

ZEAC=ZDAB,

IAB=AC

.,.△AEC^AADB（5A5）.（3分）

（2）解：当四边形ADFC是菱形时，AC=DF,AC〃DF,

.,.ZBAC=ZABD,

又•.•NBAC=45°,

AZABD=45°,（5分）

又•1△ADE是由△ABC绕点A沿顺时针方向旋转而得，

；.AD=AB,

AZDAB=90°,（6分）

又TAB=2,

由勾股定理可得：BD=^AD2+AB2=V2AB=2V2,

在菱形ADFC中，DF=AD=AB=2,

，BF=BD—DF=2啦一2.（8分）

20.【答案】

解：（1）四边形CEGF是菱形