2021年中考数学复习 题型二　类比、拓展探究题

2021年中考数学复习题型二类比、拓展探究题

@类型1“手拉手”模型

1.[2019河南,22]在△力和中,。=绍/4%=。.点P是平面内不与点4。重合的任意一点，连接仍将线段在绕点P逆

时针旋转a得到线段彼，连接AD,BD,CP.

(1)观察猜想

如图(1),当a=60°时，粽的值是1，直线班与直线)相交所成的较小角的度数是60。.

(2)类比探究

当。=90°时,请写出器的值及直线劭与直线⑦相交所成的较小角的度数，并就图(2)的情形说明理由.

(3)解决问题

当。沏)。时，若点分别是的中点，点户在直线以上,请直接写出点在同一直线上时若的值.

图⑴图(2)备用图

解:⑴160°

解法提示：：°,

.：△力及:'是等边三角形，

0°,AC=AB.

由旋转可得N4*,"二户4

.：△/1即是等边三角形，

if

图⑴

.：/必介60°=/CAB,AP=AD,

.；/CAP=/BAD,

二△心以△力做

；.CP=BD,/ACP=/ABD,

如图(1),延长团如交于点与初交于点A；

在△4位'和△回的中，

ZACN=ZM8N,ZCNA=N必圈

.：Z；»/=ZG4-V=60".

(2将/，直线/勿与直线相交所成的较小角的度数为45°.

理由如下:

"."ZACB^O°,CA=CB,

V2.

同理可得N必ZM5。，爷、2

•嘿*/'渺/必〃

.：ZCAB+NDAC=NPAD+NDAC廊/DAB=ZPAC、

.：△〃仿S△阳，

.喘豢a/DBA-ZPCA.

设劭交W于点G,交CA于点H.

；/BHAMCHG、

.：ZCGH=NBAHa5°.

(3除的值为2、口或2

解法提示:分两种情况.

①如图⑵，当点户在线段69上时可设(氏a,则BDZla.

设切与/力交于点Q

贝I]PQ=CP=a.

可证N%B=NDBQ知.5",则DQ=BD加a,

易得AD71PD3-啦a,

.：却转

(g卿图⑶，当点〃在切延长线上时，可设则AD->j2b.

易得EF"AB、；.NPEA=Z.CAB=45°,

可证N£。片N£4〃=22.5°,

.：C[)=Al)=yl2b,.CP^2b+b,

备《

2.[2017河南,22]如图⑴，在RtZX/8C中,N4初)°48=〃;点〃£分别在边留4C上连接〃，点分别为

DE,DC,BC的中氤.

(1)观察猜想

图⑴中，线段PM与AV的数量关系是，位置关系是PJLL外；；

⑵探究证明

把△496绕点A逆时针旋转到图(2)的位置，连接，则班，练判断△/»'的形状,并说明理由；

(3)拓展延伸

把绕点A在平面内自由旋转，若4M,46=10,请直接写出△/渺面积的最大直

解:⑴/W=/WP.MLPN

(2)等腰直角三角形.

理由如下：

由旋转可得,

又AB=AC,AD=AE,

.：△加四△以£

.：BD=CE,/ABD=/ACE.

「点/”/分别是〃，龙的中点，

.：川/是△ZTE的中位线，

.：E吟万且P\U/CE.

同理可证口号/必且PX//HD,

PM=PN/MPD=/ECD,/PNC=ZDBC,

:.ZMn=/ECD=/ACD+/ACE=/ACD+/ABD'

/DPN=NPNC+ZPCN=/DBC+ZPCN、

.：Z.MPN=NMPD+NDPN=NACD+NABD+NDBC+Z.PCN=4ABC+NAC/i^Q".

即丫为等腰直角三角形.

(:愕

3.[2020郑州适应性测试]已知:比'和应■是两个不全等的等腰直角三角形，其中

AB=AC,AD=AE,ZBAC=90",/的£=90°.

(1)观察猜想

如图⑴，连接班;勿交于点〃连接3,那么BE与切的数量关系和位置关系分别是Bl・a),M：\CD;

(2)探究证明

将图⑴中的△4比■绕点,4逆时针旋转,分别取/%；俏加?的中点户用Q,连接.明为“图清判断，力和，阳的数量关系和位

置关系，并仅就图(2)说明理由；

(3)拓展延伸

已知48=\反,4仄4,在(2)的条件下，若。，请直接写出此时线段闻的长.

图⑴图(2)备用图

解:⑴跖=09BE1CD

解法提示：：舁90°,.：/阳庐

又AB=AC,AD=AE,，&AB恒4ACD,

；.BE=CD/BEA=/CDA.

设必4£交于点G网/HGE=/AGD,

/EHG=Z.GAD*O°BEA.CD.

⑵MP=MQ,MPLMQ.

理由：：2的C=NZWZ'4)0"NBAE=/CAD.

又AB=AC,AD=AE,二△福曜AACD,

.-.BE=CD,^BEA=ZCDA.

设阳4〃交于点K酗NHKD=NAKE,

.：NKHD=NKAE由0：

.,.BELCD.

:・点?，:分别为比;磔•的中点,

.：月吟/；/¥〃傲

丁点加0分别为◎；物的中点，

；.MQ字'D,MQ〃CD、

.：PM=MQ、PM1MQ.

(3)匐的长为g或VI

解法提示:由(2)中结论可知/VV2/)I/V2即争法苧〃

方法一:分两种情况讨论.

①S点C在4T左侧时，如图(1),延长I3A交应于点A；此时/胡,¥=180°00°Y5°X5°,.：乙物〃刃5°=/EAN.

又AE=ADANDAE0O:，AN：LDE、EN=阳、

.：avW+AV=3>/2,

由勾股定理，得Bb：7BN2+EN?V26,

.：国号应7n.

②3点r在小右侧时,如图⑵，则/的15°=N4成;设BC与4/T交于点/匕

.：NM=90°,

.'.BCLAE.

又AC=AB诋

.：BR=AR=\,

.：ER=AE-AR3,

.：/?/VS/?2+ER2-V10,

综上可知,/般的长为旧或隗.

方法二:分两种情况讨论.

偌点C在四左侧时,如图⑶，延长DA交BC于点、S,

易得DSLBC、CS=\,DS壬,；.0)7f+N;限、

②当点(、在.区■右侧时，如图(4),过点('作C7T4〃于点T,

易得67=1I"?+12V10,

•田将用二瓜

综上可知/，的长为旧或展.

4.[2020郑州外国语三模]已知△4比是等腰直角三角形,N就为0。4。6,点£在以。为圆心,2为半径的圆上运动,

连接他将线段跖绕8点逆时针旋转90°得到线段必连接四偌已知6G分别是如；〃•的中点，连接FG.

【观察与发现】如图⑴，当点5在线段〃•上时，则需=&，线段您/否所在直线所成的锐角是45°.

【猜想与证明】当点£.在圆周上运动到任一位置时，上述结论是否成立？并就图(2)的情形说明理由.

【迁移与应用】点£,在圆周上运动的过程中，当"G〃协时，直接写出线段龙的长.

A

解：【观察与发现】V215

解法提示:如图⑴，连接BF.BG.

由△4昭和△〃班'均为等腰直角三角形，点6G分别是〃£〃'的中点，

易知△的‘和均为等腰直角三角形，.:经第V2,/67/rZ/7；/：--15°、・•・/EBC+/EBG=/FB(>/EBG、.・・/EBC：/FBG、

GBFB

•:△楸s△/力康警技「，/77715

又丁/%7-90;二/砌;15。，即线段学&；所在直线所成的锐角是15..

【猜想与证明】成立.

理由:如图⑵，连接他阳延长做交这的延长线于点〃交跖于点JZ

由△///('和△飒’均为等腰直角三角形，点户石分别是比;〃.的中点，

易知△瓯和△砸,均为等腰直角三角形，

•黑黑a,/FBE=/GBC43

GBFB

，4CBE=NGBF,

「△/7如△/附.噌警企,/他-/幽；

FGFB

又/加代/〃阳.：/丹庐/砸引5'，即线段位外所在直线所成的锐角是451

【迁移与应用】国的长为八土也.

解法提示:连接的;而；应分两种情况讨论.

①^点〃在直线比、下方时，如图(3),・,'FG〃BDJNDBF+乙GFBA80：又/如/E5°,,：/6/%=135°.

易选4AD侬△EBC、，AD=CE2NBDA=/BEC=4BFGA33°.又/BDF55："BDF+/ADB18Q

•:点4〃/三点共线.

：21毛.：/切=3e.

在Ri/\.W中,根据勾股定理，得〃户切户二也即屐«尸十叫；肛可得屐"/32)飞近)乜&-1(负值已舍),・：放工2企

1)X721-V2.

谓点£在直线落上方时，如图(I),・・・FG〃BD、，4BFG=NDBF=^°.

易江4AN泾△CEBZMs△EBC、"BDA=/BEC二4BFG45：

又,,：点儿〃尸三点共线.

在中,根据勾股定理，得必即用」•(/〃」/〃-%，即,67--(/；/-：!)-(372),

ZA7-2V2”(负值已舍),.：/力耳2或l)X>/213.

综上可知，观的长为\7L

5.[2020许昌二模]在RtZ\4?C与Rt2DCE中，/ACB=NDCE才0°、NBAC=4DEC3°tAC=DC=>/3.将Rt△腔绕点。顺

时针旋转，连接做力£；点£6分别是出丝的中点，连接CF£G.

⑴观察猜想

如图(1),当点〃与点.1重合时与3的数量关系是痘CF，位置关系是

⑵类比探究

当点〃与点A不重合时,⑴中的结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图(2)的情形给出证明;如果不成立,请说明理由.

(3)问题解决

在RtZXMF旋转的过程中，请直接写出△。石的面积的最大值与最小值.

图(1)图(2)备用图

解:⑴。CGA.CI-

解法提示:由//吠NAT二90°/胡。=/〃应W0",

易得/见抗40'笈

丁点/话分别是眼麻的中点,

・：0,/仍8-：〃/；

・・・CGSCF.

•・・AF=CF、AG=CG、

・：/仙=/口030°,/6。=/&。600,

・：/凡g30°用0°^90°,.\CG1CF.

(2)成立.

证明:在RiAU比与RtZXaZr.中，

../_,”/3八。.BCCD代

•/BnAArL/Dl.C^30...77~T-

ACCE3

rzBCD=NACB+NACD、ZACE=Z.DCE+/ACDt

・：4BCD=/ACE、

工△BCMXACE、

.空?/CEA=/CDB.

AE3

又丁点♦；G分别是做V的中点，

.第¥笔,・：△四Cs△的

(J匕SLC

，CG监。；、乙FCD=4GCE,

FCG=/FCD+/DCG=/GCE+/DCG二/DCE帮。,

.\CGLCF.

面积的最大值为警之最小值为窣.

解法提示:易得CE遥(〃3

如图(I),取，仪的中点〃，连接依易每况卷(八

A

.:点6在以点。为圆心、5为半径的圆上运动，

.：当点，在的延长线上时(如图(2)),。；最长，即△雨;的面积最大.

此时CG^AC~,

.....痔V3+1

故△('/七的面积的最大值为Jx当lx竽.久步

2224

当点G在水的延长线上时(如图(3)),67最短，即△的；的面积最小,

•:小3芸1仁3学-V5

.■.cF—a-,

故△西，'的面积的最小值为打竽N亨噜.

2224

综上所述,△<7心的面积的最大值为空之最小值为季.

44

6.[2016河南,22]⑴发现

4

B-------a----------C

图⑴

如图(I),点A为线段及；外一动点，且BC=a,AB=b.

填空:当点/I位于的延长线上时，线段〃,的长取得最大值，且最大值为‘用含的式子表示).

(2)应用

点/I为线段比,外一动点，且BC3,AB=\.如图⑵所示，分别以必然为边，作等边三角形ABD和

等边三角形连接CD.BE.

①请找出图中与跖相等的线段，并说明理由；

②fi接写出线段跖长的最大值.

(3)拓展

如图⑶，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0),点4的坐标为(5,0),点〃为线段仍外一动点，且

PA2PM:PB2BP腓柒°.请直接写出线段4V长的最大值及此时点，的坐标.

解的延长线上a+b

屿①DC=BE.

理由如下：

:和△〃上'为等边三角形，

・"D=AB,心AEZBAbNCAE4Q：

・：/BAD+ZBAC=/CAE+NBAC，即NCAD=/EAR,

••.△CAg^EAB、

・・・DC=BE.

飙长的最大值是I.

(3)线段.1"的最大值为3+2近,此时点〃的坐标为(2方,企).

解法提示：

如图(I)，构造△研整△物只则侬/也

由⑴知，当点V在BA的延长线上时,W有最大值，如图⑵.

易得IV2y[2.

斤叨=3也近.

过点支作/'/■：I1•轴于点/：；则PE=AEV2.

Z^2-V2,V2).

7.[2020郑州外国语四模]如图⑴，在Rt△力比、中,NG90。，乙4a40。，点。总分别是也〃、的中点，过点3作直线DE

的垂线，垂足为点M点少是直线敬上一动点，作RSBFG,使N8FGW0°"GB30"连接GD.

⑴观察猜想:如图(2),当点尸与点"重合时，修的值为2，直线6〃期相交所成锐角的度数为60.

⑵问题探究:如图(1),当点尸与点。不重合时，⑴中结论是否仍然成立？若成立，请加以证明;若不成立,请说明理由.

⑶问题解决:当点£如1在同一直线上时,请直接写出普的值.

图(1)图(2)备用图

解:⑴260。

解法提示:设/*/=.易知N/•及，二的NAgu/g厉/ig/Ga.又N"依60"点D"重金，.：以；用即&Ra、・•喘谷^2

丁点〃/分别为/应〃、的中点,.：如是△/改”的中位线，

.:庞〃图,：//应'=30°,又/曲利0°,•：/微片60°,.：直线做£〃相交所成的锐角为60°.

(2)成立.

证明:如图(1),7/OF=/的阴60°,,：/硕，/%历又

Df'onpry

而,%.：△%—：丽丽引/曲//被如，•:直线C〃,徵相交所成的锐角为60°.

A

:

图⑴

(3)保的值为一百或"W5.

解法提示:如图⑵，当点6在线段，便上时,类似⑵，易得DGLAH.又AD=BD,:直线G〃垂直平分线段科,：©!=阳

r

E

C----------0R

图(2)

设”则仆—75"箫2；嬴+2倔

如图⑶，当点61在线段的延长线上时，类似⑵，易得DGA.AB.又AD=BD、.:直线勿垂直平分线段W.G/R；B.

A

r

_FlE^DAf

;-

G

图⑶

设M.!,则."，"'：i,i-＜：V5.：,・：兽,，、：\!3

综上可知，蜉的值为卜::8或i：!V3.

8.[2020山东威海]发现规律

⑴如图⑴,与△力如都是等边三角形，直线以四交于点F,直线能力。交于点〃求NSC的度数.

⑵△4%'与△力庞的位置如图⑵所示，直线即,◎'交于点F.直线做力。交于点/Z若/ABC=/ADE=aACB=/AED=8,

求NBFC的度数.

应用结论

⑶如图⑶,在平面直角坐标系中，点。的坐标为(0,0),点V的坐标为(3,0),点,V为y轴上一动点，连接MN.将线段J邠绕

点也逆时针旋转60°得到线段留连接NK,OK.求线段水长度的最小值.

解:(1)丁△力比;都是等边三角形，

・：AB=AC,ASBA("DAE$U：

・：NBAD=NCAE,

・：△的侬△・：/ABD二/ACE.

又•:，

••,/BFC=NBAC侬。.

⑵:・/ABC=4ADE=a/ACB=/AED=B、

.•.△ABCS^ADE,

./2.，rABAC/ntn/r\rABAD

7n布和一•/的加/c%而定

.：WBDs.：NABD=NACE.

又•・•/BHA:/CHF、"BFC=/BAC=\8(T-。-乙

⑶易知△,〉大彳是等边三角形,.：减-”JW；N.VW仁乙的/二NAX忙60°.

如图，将△，)断绕点/顺时针旋转60°，得到△.他八；连接闻

则OK二NQ、MO二MQZOMQ与Q°,

，△龊乂是等边三角形，

・：/四

•:乙,好30°.

:•麻工陶.：当淡最小时,/.有最小值.

由•'垂线段最短”可知，当QVLLy轴时j监有最小值，

此时吟/份!.：线段碑长度的最小值为方

®类型2中点模型

9.如图(1),在△力比中,N力/K0°、AC=BC,彘〃/分别在边仍47上，且应上做连接BE,点、”为应的中点，连接DF,CF.

⑴观察猜想:线段如和。尸的数量关系为〃/“"尸和C尸的位置关系为

⑵探究证明:把△力〃£绕点力逆时针旋转到如图⑵所示的位置，试判断⑴中的关系是否仍然成立.如果成立，请加以证

明;如果不成立,请说明理由.

⑶拓展应用:若仍43,4E把△力应绕点力逆时针旋转的过程中，请直接写出当三点共线时〃的长度.

图⑴

解:⑴DF=CFDF1.CF

解法提示：：'/〃序90°

・・・/ABCa5：/BDE=/ACBW°.

又丁点，’是原的中点，

.：DF—EF-BF号、CF-EFFF号、

・：DF二CF、ZFDB=/FBI),ZFRO/BCF,

，/DFE=/FDB+/FBD气/FBD、/CFE=/FBC+/BCf/FBC\

二/DFC。FBD丹/FBC&/ABCN：

・：DF1CH

⑵成立.

证明:如图(1),在/町的延长线上截取咫=%；连接BG、CG,延长况交应•于点K.

图⑴

•・•EF=B"G=DF/DFE=4BFG,

△磔

，BG=ED,/BGF=/EDF、

.:跖〃叫

，NGBC=NBKD.

•・2ADE=NACB§Q°,

・：/厢夕N%C=180°.

又/〃AC+N而配180°,

"DKB=/DA&

，/DAC=/GBC.

连接Z%

易知AD=DE：BG、AOBC,

.：△—△伙法

・：CD=CG/Aq)=/BCG、

.••4DCG=NDCB+4BCG=4DCB+4ACD=^：

「△仇⑦是等腰直角三角形.

又丁点尸是％的中点，

，DFXF、DFLCF.

⑶%的长为匆*

解法提示:分两种情况讨论.

3点。在直线/I。上方，且〃北夕三点共线时，如图⑵.

易知/如二90",

/.BD^AB2-AD2J132-52:12,

・・・BE=BD-DEA2f总,

7

•:啊,

②^点〃在直线水、下方，且〃上道三点共线时，如图(3).

易知/8切1畛0°,

,\BD-AB2-AD2二12,

・：BE二BADEC2先A，

畤

.\Ci'=Di:=l'：r/比岑5^.

综上可知，当三点共线时,<7；的长为学或提

10.[2019安阳二模]⑴问题发现:如图(1),在四边形ABCD中,AB〃DC,点E是用的中点，若然是N物。的平分线，则

4氏49,ZT之间的数量关系为AB+DC-AD.

(温馨提示:延长4£交加的延长线于点F)

⑵问题探究:如图⑵，在四边形ABCD中、AB〃DC、氤A是及7的中点，点F是宽的延长线上一点，若然是/氏/的平分

线,试写出4%4£少之间的数量关系，并证明你的结论.

⑶问题解决:如图⑶,45〃⑦,点£在线段a;上，且BE：EC4：4.点下在线段/区上，且4请直接写出

/氏勿;⑦之间的数量关系.

D.D

D

⑴仍次二力〃

解法提示：:AB"DC,

・：/B=NFCE、/BAE=/CFE.

丁点Zf是仪的中点，

・：BE=CE、

•:四△牍

.\AB=FC.

TAF平分4BAD,

"BAEMDAR

•：/CFE=/DAF、

•••DCKF-AD、

・：DC+AB=AD.

屿AB=CF+AF.

证明:延长AE交ZT的延长线于点G.

VAR//CD,

・：/EAB=/EGC,/6=/BCG.

又点E是a'的中点，,：凉-成

二应＜△颇；.：48二出

:勿£.是N砌/'的平分线，

・・・/EAB=NFAE,

・•・/EGC=/FAE,

・：AF=FG,

・・・CG=CF+FG=CF+AF,

・；AB=CF+AF.

⑶/仍号（（力物•）.

解法提示:如图，延长/!/：'交C〃的延长线于点G.

易售/\ABEs色（心、

.竺££3

CF4'

3

・2*（；（：

4

VAB//DC,

・・・/EAB=/CGE.

又:・/EFD:/EAB、

，/EFD=/CGE、

•••DF=DG、

即AB4CD+g

11.已知正方形ABCD与正方形CEFG、.V是的中点，连接D乳EM.

⑴如图⑴，点后在切上，点6在比的延长线上，请判断网例的数量关系与位置关系，并直接写出结论.

(2)如图(2),点/在ZT的延长线上，点G在回上,(1)中结论是否仍然成立？请证明你的结论.

⑶将图⑴中的正方形协7绕点。旋转，使〃石/三点在一条直线上，若月小13,以巧，请画出图形，并直接写出协的长.

图⑴图⑵

⑴〃"_L"加片

解法提示:如图(1),延长EV交/切于点H.

;四边形，仍。是正方形,四边形4%是正方形,

图⑴

・：NADE=NDEFWq°,AD=CD,

.\AD//EFy

必：

：AM=FMNAMH=/FME,

・：△/例—阳

，MH5E,AH=FE=EC,

・：DH=DE.

；/EDH帮；

・；DM工EH,网-MR

⑵仍然成立.

证明:如图⑵，延长日/交DA的延长线于点〃

:•四边形,1用力是正方形，四边形防〃、是正方形,

0

AZADE^OtAD=CD,AD//SC,GC//FE,

图⑵

,\AD//EFy

"MAHNMFE.

「AM=FM/AMH=/%

/△4侬/\£晦

・・・MhME,AH：FE=EC,

，DH=DE.

：2削-90°,

•:〃M_L4Sg花

⑶旋转后的图形如图(3)、图(4)所示」〃•'的长为府或J而.

解法提示:过点”作J位L应■于点R.

在RSCDE中、［心J132-5212.

过点A作AH'〃DE交/说的延长线于点〃',连接DH\

易证ZUM/'空△内配

・：AH'=FE=CE.

易得N〃'/1〃=/仇屹

又AD=CDt

・：△〃'/四△砌

，H'D=DE、/ADH'=/CDE,

"H'DEWQ：

・：仁理〃ML%

・：V*DE&DR［RE^.

分两种情况讨论.

①如图(3),边)在ZT右侧时，

在RtAFVR中川;7MR2+FR2762+l#Vfgy

②iffl图(I),边防在ZT左侧时，

在RtZU〃"与J"VF/?2+MR2Vl2+62V37,

故J〃'的长为何或质7

@类型3半角模型

12.问题背景:如图⑴，在△［用中"切刃CN为。=120°,点D而为用边上的点，且N%£=60°,若BDA,EC啜，求应'的长.

⑴观察发现:注意到条件中有AB=AC^BAC=\2^°,不妨把△力6绕点月顺时针旋转1201得到△力的连接班易证

△业修从而将线段以龙洒「集中在△质中，因为/糜的度数是」2，小次^，即刁,所以"的长

为_遮

⑵类比探究:如图(2),在中,Na*60°点为及;边上的点,且/的£W0°,8=2,£。|,求应•的长.

⑶拓展应用:如图⑶，点£是正方形ABCD内一袅,/AEBWO。，点尸是a'边上一点，且NB9Q15。.若49=2,请直接写

出当应取最小值时(T的长.

解:⑴60y/3

(2)由题意，得△力比■是等边三角形，

.：/ABCNACBWO".

如图⑴，将△〃7:'绕点,1顺时针旋转60"，得到△〃?£过点尸作FG1.B&交⑦的延长线于点G；连接方;则

3

Af--A/：,BF_EC'Z/谀匚NC,ZFAB:/EA（：

/FAD二/FAB+/BAD=/EAC+/BAD』。°一/DAEW"—/DAE.又AD=AD,.・・&AD-2ADE、,\DF=DE,

•・•/FBD-/询十/制二SBDA20："FBGW、,：FG用书当、B哈》'嗅「・DG23H.：DE/力,+(苧/亨.

⑶当班取最小值时"的长为|.

解法提示：：2力小0"」点少在以仍为直径的圆上，设圆心为Q连接微，交。。于点£此时仍取最小值，如图(2).将△仇7•,绕点

〃顺时针旋转90。，得到△如&连接依则DG=DFtZGl)A=^FDC,GA=FC,ZGAD=AC=QO°,•：点三点共线.

:/GDO：/GDA+/ADO：/CDF+/ADO挈。Y5°=45°二/ODF0D-OD、・二4DGgRDFO、，OG=OF.

2

设则//之3〃”=仅三「1.根据勾股定理可得如叨心麻，即J(2.r)《「I),解得犬行

故当〃〃取最小值时々的长为宗

13.问题背景

如图⑴，在四边形加》中,N8+NZM80°历3。,以点［为顶点作一个角，角的两边分别交比四于点££

且立必电a，连接器则线段也遇之间有怎样的数量关系？

(1)观察猜想

如图⑵，当/胡户N庐N"90",N£4广N5。时,填空：

①四边形ABCD是正方形(填特殊四边形的名称);

②BE,DF,EF之间的数量关系为比」〃/•"/」.

(2)类上匕探究

如图⑴，⑴中线段阳/项之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明;若不成立,请说明理由.

(3)解决问题

如图⑶，在△力比‘中，/胡OW°,力庐&W,点〃，月均在边BC上，且。，若打请直接写出应'的长.

图(1)图(2)图(3)

⑴①正方形

②BE+DF=EF

解法提示:劭口图(1),将△/!跖绕点/I逆时针旋转901得到△4%:

•・2ADC=NB=/ADG帮°,

.：/月％刁80°，即点户;〃G共线.

由旋转可得AE=AG、BE=DG/BAE=NDAG.

•・•4BAE+/DAF=/BAD-/EAF』。。刃5°F5°,

二/加G+/DAFM50,J/EAF=/FAG,

・：AAFMRAFG、-EF=FG-

又TFG=DG+DF=BE+DF、ZBE+DF=EF.

⑵成立.

证明:如图⑵，将△力为♦绕点?!逆时针旋转。得到△/〃//

可得/ABE-/ADH、ZBAE=/DAH、AE】AH、BE，DH.

：28+/仍7=180:••/4DH+NADC，80°,

•:点在同一直线上.

：2BAl)=a,ZEA吟"，二NHAI:2FAD^”,

.：/DAH+/FA吟«,.：ZFAH~/EAR

又VAF^AF,

•:△俯/△//#；

」EF二FH=DF+DH=DF+BE.

(3)以竽

解法提示:如图⑶，将△/似、绕点/顺时针旋转90"，得到△力/封连接阳.

可得BE'二EC、AE'-仍ZC二/ABE',/EAC二/E'恨

在Rt△力T中，

VAB=AC=4,

Z/i/?r-Z/O-i5:BO\C,

"ABC+/AB-

即//物=90°,

，E'R+BD=E'D.

易证△/伊四△/做

•:晓研死

即〃/:7或)pVS

解得DF当.

⑥类型4“一线三等角”模型

14.[2015河南B卷,22]⑴探索发现

如图⑴，在△心K中，点〃在边回上,△/!加与■的面积分别记为S与$,试判断3与酸的数量关系,并说明理由;

>523

(2)阅读分析

小东遇到这样一个问题:如图(2),在RtZvia7中物090°,射线AV交加于点〃，点£F在4M上，且

NCEM=NBFM挈。，试判断以；磔；“,三条线段之间的数量关系.

小东利用一对全等三角形,经过推理使问题得以解决.

填空：8S(2)中的一对全等三角形为丝△丝i!_；

②步色颜三条线段之间的数量关系为<7一/：7””.

(3)类比探究

如图⑶，在四边形ABCD中,AB=AD,AC与劭交于点。点£,在射线AC上，旦NBCF=NDEF=NBAD.

&判断/班；四三条线段之间的数量关系，并说明理由；

葬位面的面积为2,直接写出四边形4比。的面积.

解X*爵

理由如下：

过点力作/应_!_%于点上

：$刎•他.悬W偌.康萼

(2)@U及也△的1

⑥CE=EF+BF

屿①DE=BC+CE.

理由如下：

•・・£BCF=NDEF=/BAD、

ZZ/1^18015-NBg800-/DEF=/AED,

4BAC+NDAE=NADE+/DAE,

"BAC=/ADE.

又.；AB=AD,

,：△胡修4ADE、.：BC=AE,AC=DE,

.：DE「AC=AE+CE：BC+CE.

②0边形力以7,的面积为8.

15.(1)观察猜想

如图⑴，点4/1,。在同一条直线上,〃8_L阳®7_L因且N为斤90°则比:做四之间的数量关系为

伙二；

⑵问题解决

如图⑵，在Rt△被7中,乙仿。90°庐2,以/。为直角边、点力为直角顶点，向外作等腰直角三角形的C连接⑸9,

求△力切的面积；

(3)拓展应用

如图⑶，在△力房中,力庐力以“为边向右侧作一个等腰直角三角形力以连接做请直接写出△⑶9的

面积.

A

图(1)图(2)图(3)

斛:(1)BC=BD+CE

解法提示:如图(1),•••DBLBGECLBC,

•：N8=N(R(T,・：N》N1冯0°,又：2"N2q0°,

・：NZ/=N2.

又・.・AD=AE,

,,.△ABD^△ECA、・*DB=M：BA；CE,

・：BC-BA+AC=CE+眼即BC-BD-^CE.

劭口图(I),当/。1年90时，过点。分别作.八旗的垂线,垂足分别为点G、F.

易证△〃；侬

・=GW,.：DF二GN=AG+AN4巧阳

•:S,，，，D吟X6X8必.

图⑸

③如图⑸，当N力比内0'时，过点〃作仇的垂线，交戊的延长线于点/■；过点,4作4V的垂线，交/•〃的延长线于点P.

易证△//勿四△/匕

・：AP=DF、DP=CF.

设《尸F则以气

.：DF=AP=NF=NOCFA+x、

••・PF=DP+DF=x+3-巧，,x=l,.：勿W也11,

・：S一剂・D吟X6X4-12.

16.[2020平顶山三模上是矩形ABCD边力6延长线上的一动点,在矩形4及力外作口△£<»；其中/£6290。，过点”作

FG1BC,交a'的延长线于点G,连接阴交CG于点H.

⑴发现

如图(1),若/比初@三。•测线段〃，与知'的数量关系是DH-HF.

(2)探究

如图⑵，若/如应区作玄磔；则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明;若不成立,请说明理由.

(3)拓展

在(2)的基础上,若射线用过力〃的三等分点,/切考,力庠4,请直接写出线段同、的长.

"BCE+/GCW冷°/GFC+/GCF帮。，

・ttBCE=£GFC.

又乙CBE=4CG£CE=CR

•,.△CBMRFGC、

:・GF=CB=DC.

又/Dg/FHG,ZDCH=/FGH、

•••△DCgXFGH、

，DH二HF.

(2)"匕伊仍然成立.

证明：丁四边形力反力是矩形„凿庐90",

・・./G=/CBEM=4FCE/FCG+/BCE帮。.

又4BCE+NBEC秘"

・・・/FCG=/BEC

△侬

，GF：BC=1；C：CE=n.

由/IZ勺“〃且四边形,4仇力是矩形可得CD：a'=〃,

.\GF：BC=CD：BC,

.\GF=CD.

又ZG=Z.DCH由0°,ZGHF=/CHD,

二△以侬△6?”

，DH二HF.

(3)/：尸的长为岁或胃.

解法提示:设点〃是/川的三等分点.

当「出弓仞且射线”过点〃时

+42正.

由"/=/〃:〃〃〃，〃易证得仆'=。*正、

.："¥，故/词(2府2+(苧)2琴.

当/游与侦且射线《,过点"时"G,

,：fWl2+42yJ17.

由DH-HF、DR〃CH、易诋得CI:-CH-y[r7,

a，半故/：7>j(g)z,,3VT7、？5V17

综上仪的长为竽或空

@类型5对角互补模型

17.【发现】

⑴如图(1),如_1_制。1=(加点/>是线段的中点，且OPW点、M在线段OA上运动(不与点0/1重合)，连接网过点户作

月归_力/交线段如于点A；连接拗;则线段/人与用'的数量关系是/火小，线段，肿的最小值是4.

【探究】

⑵如图(2),射线3与处的夹角是120°,点P在/加的平分线上，且0M.点〃在射线QI上运动，在射线加上取

一点八;使得乙仍WN/a?=i80。，试探究线段网与/W的数量关系，并求出线段加'的最小值.

【拓展】

⑶如图⑶，射线3与阳的夹角为。(0°<180°)，点/，在/4勿的平分线上，且。六a.点"在射线力上运动，在射

线神上取一点4；使得乙"V+N儿庐180°,请直接写出△/»周长的最小值(用含a和a的式子表示).

解:⑴用/=月¥4

解法提示:如图(1),过点P作尸C1阳于点，/UL》于点D.

易证四边形式7刀是正方形，

；.PC=PD、/Cl>Da°.

'.'PMLPN,

.：乙班290°,

.：/MPN-NDPN=/CPD-/DPN,即/DPM=/CP.N.

又PD=PC,NPDM=/PCN*0°,

.：△〃/?侬△〃犯

.".PM=PN,

,△0肝是等腰直角三角形，

.:於-正⑶.

易知当〃忆以时，川/取得最小值，为2V2,

故!八的最小值为企X2々=1.

(2)如图(2),过点〃作PELOA于点EFF10B千点、F,

：・力)平分/.4傲

.\PE=PF.

丁/J仅WN力施=180°,

・・・NP：W