2021年中考数学复习 25 正方形教师版含解析2021年中考数学复习 25 正方形（教师版含解析）

专题25正方形问题

专题知识点概述

1.正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2.正方形的性质：

(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；

(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等；

(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；

(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴；

(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小

等腰直角三角形；

(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3.正方形的判定

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

一是先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形。

二是先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。

h2

4.正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为b,S=«2=—

2

例题解析与对点练习

【例题1】(2020•台州)用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形

地砖面积为a,小正方形地砖面积为6,依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形/比。.则正方形必

的面积为.(用含a,6的代数式表示)

，香篥J^b.

【解析】如图，连接掰DN,证明S叫边—区邮、=%即可解决问题.

4

如图，连接〃/，DN,

•：4KDN=4MDT=90°,

・♦・/KDM=/NDT,

•:DK=DN,NDKM=/DNT=A50,

・・・△加侬△加7（力弘），

•*•5AZO=SzXiT,

•*•S四边的/W=SWM，=-3,

4

，正方形力仅N的面积=4x-a^b=a^b.

4

【对点练习】（2019•广西贺州）如图，正方形/比》的边长为4,点《是切的中点，AF平分NBAE交BC于

点R将△?（龙绕点4顺时针旋转90°得△加C,则"1的长为

【答案】6-275.

【解析】作£匕4?于弘KVL4G于/V,如图，易得四边形成跖为矩形，则£(/=4,

：正方形/腼的边长为4,点E是"的中点，

：.DE=2,

•*,AE=q42+22=2<\/^,

•.•△4a’绕点力顺时针旋转90°得△力泓，

:"C=AE=2娓,BG=DE=2,/3=/4,/曲《=90°,NABG=/g9Q。,

而/力比'=90°,

.•.点。在费的延长线上，

二3/平分/胡£交BC于点、F,

.-.Z1=Z2,

.*.Z2+Z4=Z1+Z3,即用平分/应〃，

:.FN=FM=4,

'：LAB'GF^kFN'AG,

22

:.GF~4X2泥=2匹,

4

：.CF=CG-GF=4+2-2遥=6-2遍.

故答案为6-2遍.

AD

【例题2】（2020•青岛）如图，在正方形40中，对角线4c与劭交于点。，点£在切的延长线上，连接

四，点尸是如1的中点，连接用交加于点G.若征=2,⑪=3,则点/到小的距离为.

【答案】等.

【解析】根据正方形的性质得到48加，ZADC=90°,求得NW=90°,根据直角三角形的性质得到〃尸

="=加=根据三角形中位线定理得到尸C=1,求得49=fl?=4,过力作/〃_LZF于〃，根据相似

三角形的性质和勾股定理即可得到结论.

•.•在正方形4腼中，对角线〃'与做交于点0,

J.AO^DO,/4T=90°,

：.ZADE=9Q°,

:点尸是4£的中点,

：.DF=AF=EF=^AE,

二好垂直平分AD,

：.AG=DG,：.FG=-DE=\,

2

♦：0F=2,：.0G=2,

■:AO=CO,:・CD=2OG=4,:.AD=CD=4,

过A作AFLLDF于H,:./H=/ADE=9G°,

■:AF=DF,：.ZADF=ADAE,:.△AD1SXAED,

...-A-H=-A-D,

DEAE

：.AE=ylAD2+DE2=V42+22=275,

：.空=\,："T,

22衣5

即点火到〃的距离为第

【对点练习】（2019内蒙古包头）如图，在正方形位幻9中，AB=1,点、E,尸分别在边笈和切上，AE=AF,

NE4/=60°,则6的长是（）

B.亨

C.V3-1D.2

3

【答案】C

【解析】..•四边形的是正方形,

:.NB=ND=NBAD=9Q°,AB=BC=CD=AD=\,

在RtZU跖和RtZWF中，J.AF,

IAB=AD

:.RtAAB曜RSADF(HD,

：.ZBAE=ZDAF,

VZEAF^&Q°,

.♦.N的//物尸=30°,

，/加尸=15°,

在力〃上取一点C,使/防4=/%尸=15°,如图所示:

：.AG=FG,/龙力=30°,

：.DF=^FG=^AG,DG=4^DF,

设.DF=x,则%=«x,AG^FG=2x，

'：A(^DG=AD,

2x+j^x=1,

解得：x—2-5/3,

:.DF=2一般,

:.CF=CD-DF^\-(2-V3)=V3-1：

故选：c.

【例题3】(2020•湘西州)如图，在正方形4%力的外侧，作等边三角形/瓦；连接%CE.

(1)求证：△为侬△碗'；

⑵求//曲的度数.

【答案】见解析。

【解析】利用等边三角形的性质得到应，/EAD=/EDA=60°,利用正方形的性质得到止/1。

=CD,NBAD=NCDA=9Q：所以NE4Q/及心=150°,然后根据“弘S”判定△为四△碗1；

先证明AB=AE,然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算N4应,的度数.

(1)证明：庞•为等边三角形，

:./AgAE=DE,/必AN物=60°,

•.•四边形力版为正方形，

：.AB=AD=CD,NW=NCZM=90°,

:.NEAB=NEDg\5Q°,

在△的V和应中

AB=DC

ZEAB=/EDC，

AE=DE

:.l\BA恪△CDElSAS：

(2)'：AB=AD,AD=AE,

：.AB=AE,

・・・AABE=/AEB,

,：ZEAS=150°,

•••4强扣80。-150。）=15。・

【对点练习】(2019湖南株洲)如图所示，已知正方形幽切的顶点。为正方形4版对角线IC、破的交点,

连接龙、DG.

(1)求证：△DOG^XCOE；

⑵若DGLBD,正方形48徵的边长为2,线段4〃与线段况相交于点也AM=-,求正方形施的边长.

2

【答案】(1)见解析；(2)2注.

【解析】解:

⑴•.•正方形/及N与正方形阳G对角线BD

：.DO=OC

"：DBLAC,：.^DOA=£DOC=^°

TNG宦=90°,/.ZGOD^ZDOE=ZDOE+ZCOE=90°

:.NGOD=/COE

'：GO=OE

...在和△，施'中

rDO=OC

-ZGOD=ZCOE

GD=OE

:.△D（X^4C0E〈SAS

⑵如图，过点M作MHLDO交〃。于点〃

13

22

,/Z,W=45°

:.MH=DH=sin45。,D4,〃gcos45°,DA--J2

C.HO^DO-DH=®-2^=返

44

在RtA,W中，由勾股定理得

■^VMH2+HO2=J（邛2）之+（李/:2茅

,：DGA-BD,MHA.DO,DG

.,.易证△勿的s△勿G

V2在

OH=MO=4=2，得60=2\[^,

ODGO~^2而

则正方形在R7的边长为2娓.

B

G

一、选择题

1.(2020•河南)如图，在△?!比1中，N4CA90。，边比1在x轴上，顶点46的坐标分别为(-2,6)和(7,

0).将正方形效应沿x轴向右平移，当点£落在4?边上时，点〃的坐标为()

A.(|,2)B.(2,2)C.耳，2)D.(4,2)

【答案】B

【解析】根据已知条件得到/=6,OC=2,OB=1,求得仇?=9,根据正方形的性质得到应'=%=施=2,

求得O'E'=。'C=2,根据相似三角形的性质得到的'=3,于是得到结论.

如图，设正方形。‘CO'E'是正方形颇沿x轴向右平移后的正方形，

•.•顶点46的坐标分别为(-2,6)和(7,0),

：.AC=&,OC=2,OB=1,

：.BC=9,

♦.•四边形OCDE是正方形,

:.DE=OC=OE=2,

o'e=o'c=2,

':E'O':LBC,

：.ABO'E'=N8C4=90°,

：.E'O'//AC,

:.△BO'e^/XBCA,

.E'O'BO'

♦♦.....——_-__，

ACBC

・£_BO

••—6—9,

:.BO'=3,

：.0C=7-2-3=2,

.,•当点V落在4?边上时，点〃的坐标为（2,2）.

2.（2020•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地.由边长为2的正方形可以制作一副

中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示.分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则

这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）

3/2

A.1和1B.1和2C.2和1D.2和2

【答案】D

【解析】根据要求拼平行四边形矩形即可.

中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2,如图所示:

用中国的七巧板拼日本七巧板的拼法

故选：D.

3.（2020•温州）如图，在Rt△柩C中，//龙=90°,以其三边为边向外作正方形，过点C作CR1FG千点、R,

再过点C作做1。?分别交边战掰于点只Q.若QH=2PE,掰=15,则或的长为（）

C.8V3D.6V5

【答案】A

【分析】如图，连接阳C1I.设48交67?于/证明△的-△/也2,推出3=等=寥=：,由&=15,可

CQCnHQ2

得/r=5,々=10,由夕GCH=\：2,推出HGBC=k2,设BC=2a,证明四边形4的C是平行四

边形，推出月8=函=10,根据—+%=力比构建方程求出a即可解决问题.

【解析】如图，连接月&CH.设AB交.CR于-J.

FRG

・・•四边形用四边形式7,都是正方形,

:・/ACE=/BCH=45°,

♦：/ACB=9G,4BCI=90°,

:・/ACE+/ACB+/BCH=18V,//砂Na7=90°

：.B,C,〃共线，AfC,/共线，E、a，共线，

DE//AI//BH,

：.ACEP=ZCHQ,

^ECP=AQCH,

:.△ECP^XHCQ,

.PC_CE_EP_1

•9CQ~~CH~~HQ~2J

5,

:.PC=5,浙10,

,:EC：CH=\z2,

：.AC：BC=k2,设/BC=2a,

*：PQ1CR,CRIAB,

:.CQ〃AB,

■:ACHBQ,CQ//AB,

.••四边形是平行四边形，

：.AB=CQ=10,

•・Fd+初=力庆

・,・5才=100,

，a=26(负根已经舍弃),

：.AC^2yf5,BC=4后

吟柠心；•仍。

'：JR=AF=AB=\Q,

：.CR^CJ+JR^\A

4.(2020•南京)如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，。夕与x轴、y轴都相切，且经过矩形/如C

的顶点G与优1相交于点〃若。。的半径为5,点力的坐标是(0,8).则点〃的坐标是()

A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)

【答案】A

【分析】设。。与x、y轴相切的切点分别是尺E点、,连接版PF、PD,延长房与必交于点G,证明四边

形必W为正方形，求得再根据垂径定理求得勿，进而得PC、DB,便可得，点坐标.

【解析】设。。与“、y轴相切的切点分别是尸、E点,连接脓PF、PD,延长)与⑦交于点G,

则阳Ly轴，轴，

...四边形分。'是矩形，

'：PE=PF,PE//OF,，四边形/W为正方形，

：.OE=PF=PE=OF=5,

,.'A(0,8),：.0A=8,.'.AF=8-5=3,

•四边形的⑦为矩形，:.BC=0A=8,BC//OA,AC//OB,

:.EGIIAC,

.••四边形为平行四边形，四边形物为平行四边形，

.•.CG=/«=3,EG=OB,

'：PEYAO,AO//CB,：.PGVCD,：.CD=2CG=&,:.DB=BC-CD=8-6=2,

♦.•如=5,DG=CG=3,

:.PG=4,...仍=届=5+4=9,⑼2).

5.(2020•天津)如图，四边形仍切是正方形，0,〃两点的坐标分别是(0,0),(0,6),点C在第一象限,

则点。的坐标是()

y八

D------------------iC

~OBX

A.(6,3)B.(3,6)C.(0,6)D.(6,6)

【答案】D

【解析】利用正方形的性质求出OB,BC,m即可.

•.•四边形OBCf)是正方形,

：.OB=BC=CD=OD,NCDO=NCBO=g0°,

'：0,〃两点的坐标分别是(0,0),(0,6),

,如=6,

：.OB=BC=CD=6,

"(6,6).

二、填空题

6.(2020•连云港)如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点必、N的坐标分别为(3,

9)、(12,9),则顶点4的坐标为.

A

~6x

【答案】(15,3).

【解析】由图形可得始〃了轴，.肠上9,物〃y轴，可求正方形的边长，即可求解.如图,

%

Ox

♦.•顶点M、川的坐标分别为(3,9)、(12,9),

二肱轴，肱V-9,8¥〃y轴,

,正方形的边长为3,

:.BN=6,

.•.点6(12,3),

'：AB//MN,

轴，

...点1(15,3)

7.(2020•绍兴)如图1,直角三角形纸片的一条直角边长为2,剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图

2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为.

图1图2

【答案】4V5.

【解析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形

的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个宜角三角形的面积，然后代入数据计算即可.由

题意可得，

直角三角形的斜边长为3,一条直角边长为2,

故直角三角形的另一条直角边长为：V32-22=V5,

故阴影部分的面积是：芋X4=4遍

8.(2020•天水)如图，将正方形第若放在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点后的坐标为(2,3),则点

厂的坐标为

【答案】(-1,5).

【解析】结合全等三角形的性质可以求得点。的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点尸的坐标.

如图，过点/作x轴的垂线外垂足为〃过点G作x轴的垂线GZ垂足为私连接破尸。交于点0.

•四边形位K7是正方形，

：.OG=EO,NG0M=/0EH,ZOGM=NEOH,

在△曲必与/中，

(/OGM=ZEOH

{0G=E0

(XGOM=NOEH

:AOG侬△EOH(ASA)

.,.加阳=2,。仁用/=3,

，G(-3,2).

(一支|).

•点户与点。关于点。'对称，

二点/的坐标为(-1,5).

9.（2020•德州）如图，在矩形加切中，AB=W+2,AD=W.把/!〃沿四折叠，使点〃恰好落在四边上

的少处，再将△/&>'绕点/顺时针旋转a,得到△?!'£?",使得£4'恰好经过班'的中点式.A'D"交

AB于点、G,连接加'.有如下结论：①//的长度是灰一2；②弧〃”的长度是等“；③△/4修△/'

EG；④△A4'Fs/\EGF.上述结论中，所有正确的序号是.

A'

【答案】①②④.

【解析】•••把沿4?折叠，使点〃恰好落在4?边上的D'处,

：.4g4ADE=90°=NZMZ/,AD=Al),

.••四边形/龙方是矩形，

又,：AAA0=胆,

.••四边形4丽是正方形，

：.AD=AU=DE=DE=A/3,AE=y[2AD=V6,AEA0=4AED=45°,

：.l)B=AB-AI)=2,

•.•点尸是初中点,

:.DF=\,

：.EF=不D，E2+。'尸2=VTH；=2,

•.•将戌'绕点£顺时针旋转a,

：.AE=AE=\[（>,/d加'=a,NE4'D'=NEAD=45°,

:.AF=\[i>—2,故①正确；

■:tan/FED=—=：=3，

D7EV33

：./FED=30°

.・・a=30°+45°=75°,

...弧DD"的长度="等=萼n,故②正确；

18012

•：AE=AE,=75°,

：.£EAA=Z£4'J=52.5°,

：.ZA'AF^7.5°,

♦；ZAAF丰Z£4'G,N"屏ZEAG,ZAFA'=120°NZEA'G,

...△A4'尸与〃不全等，故③错误；

,:DE=D'E,EG=EG,

；.Rt△勿侬Rt△㈤’G（血），

ZZ/GE=乙D'GE,

,：AAGO'=Z/AG^-ZA/ff；=105o,

AZU6^=52.5°=AAAF,

又,：/AFR=NEFG,

:.XAFASXEFG,故④正确,

故答案为：①②④.

10.（2020•攀枝花）如图，在边长为4的正方形4?（力中，点爪尸分别是比；以的中点，DE、"'交于点C,

4厂的中点为〃，连接加、DH.给出下列结论：

①4五_L〃E；®DG=I；③HD〃BG；④△4%s△%.

其中正确的结论有.（请填上所有正确结论的序号）

【解析】故答案为：①④.

【分析】证明△/勿必△。圆再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到/呼'=90°,可判断①，再利

用三角形等积法//可算出微可判断②；再证明//%=//"?=/物G,求出4G,DH,HF,可判

定4ABsADHF,可判断④；通过4吃/G,得到和//5不相等，则N4G#//%心可判断③.

【解析】•••四边形46位为正方形，

/.AADC=ZBCD=90°,AD=CD,

•.•〃和厂分别为比和切中点，

：.DF=EC=2,

：ZD-/\DCE〈SAS），

：./AFg/DEC,/FAA/EDC,

'：NEDC+NDEC=90°,

欲%N/Z=90°,

：.NDGF=9Q°,即应上4R故①正确;

1^2,

•：A/)=4,DF=-2C)

：.AF=742+22=2V5,

:.DG=ADXDF+AF=W，故②错误；

•.•"为"■中点，

：.HD=HF=-AF=V5,

2

：./HDF=4HFD,

、：ABHDC、

：.Z//DF=Z//FD=ZBAGf

'：AG=>JAD2-DG2=46=4,

AB4V5AG

DF‘

...△46（7〜△〃即故④正确；

乙ABG=4DHF,WAB^AG,

则NN阳和//⑦不相等，

故4AG吩NDHF,

故初与力不平行，故③错误。

11.（2020•咸宁）如图，四边形4?勿是边长为2的正方形，点K是边比•上一动点（不与点反C重合），Z

4牙'=90°,且必交正方形外角的平分线⑦于点代交必于点G,连接衣；有下列结论:

①△力跖s△比伉

②AE=EF；

③ZDAF=NCFE；

④a。%的面积的最大值为1.

其中正确结论的序号是.（把正确结论的序号都填上）

【解析】①②③.

【分析】①由NAEa/CEG=NAE》NBAE得NBAE=NCEC,再结合两直角相等得△/（应㈠/^比小

②在物上截取54跖易得△跖犷为等腰直角三角形，则/女%=45°,所以鹿=135°,再利用等角

的余角相等得到/掰6=/此心于是根据“力外”可判断△/监NZ\£。；则根据全等三角形的性质可对②进

行判断；

③由乙如鼠N的尸=45°,4CEF+4CFE=45°,可得出NZZ4/与NO方的大小关系，便可对③判断；

④设缈=2"，则AQAB-现=4-x,利用三角形面积公式得到％做=3x・（2-x）,则根据二次函数

的性质可得以做•的最大值，便可对④进行判断.

【解析】①•••四边形/笈》是正方形，

：.ZB=ZECG=90,,,

仔=90°,

二4AE及4CEG=/AE/4BAE,

：.4BAE=4CEG,

:ABEs丛ECG,

故①正确；

②在物上截取阂仁能如图L

・・•四边形ABQ）为正方形,

.♦・NQ90°,BA=BC,

・♦・△跖V为等腰直角三角形,

:・/BME=45°,

・・・N4监=135°,

■:BA-BM=BC-BE,

:・A吐CE,

•・・）为正方形外角平分线，

.・・N〃g45°,

：.ZECF=l3i5o,

♦：NAEF=9G°,

:./AE//FEC=9G°,

而NAE¥/BAE=9C,

：・/BAE=ZFEC,

在△4一和尸中

'/MAE=4EF

-AM=EC,

、NAME=ZECF

△AME^XECF,

：.AE=EF,

故②正确；

③♦:AE=EF,N4碘=90°,

AZ^/?=45°,

；./以阶/加尸=45°,

■：NBAE+NCFE=NCERNCFE=45°,

:./DAF=/CFE,

故③正确；

④设BE=x,则BM=x,AQAB-BM=4-x,

S^t-a--&>«=:•x,(2-x)=-：(x-1)2+1，

当x=l时，8呼有最大值;，

故④错误.

12.(2020•河南)如图，在边长为2e的正方形极力中，点瓦F分别是边43,正的中点，连接明FD,

点6,〃分别是比；9的中点，连接做则"的长度为.

【解析】L

【分析】设明位交于。，根据正方形的性质得到NQN〃g90°,BC=CD=AB,根据线段中点的定义

得到庭=C汽，根据全等三角形的性质得到见ZBCE=4CDF,求得所工CE,根据勾股定理得到位=

DF=J(2V2)2+(V2)2=VTO,点G,〃分别是瓦；必的中点，根据射影定理即可得到结论.

【解析】设质CE交壬0,

•.•四边形4版是正方形，

:"4NDCF=90°,BC=CAAB,

•.•点反尸分别是边47,6c的中点，

:.BE=CF,

:./\CBE^/\DCF〈SA》,

：.CE=DF,ZBCE=ZCDF,

•：^CDF+^CFD=^°,

：.ZBCE+ZCFD=90°,

AZ<76^=90°,

：.DFLCE,

：.CE=DF=J(2烟2+(夜)2=Vio,

,:点G,〃分别是£G外的中点，

：.CG=FII=—,

2

*：/DCF=90°,COLDF,

:.C户=OF、DF,

・nc"2(V2)2710

・・(Jr——=.—=—,

DFV105

...昨甯，og噜

'：OC=OF'OD,

三、解答题

13.（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形4?切中，点£为对角线上一动点（点V与点。不重合），

连接战作见〃£交射线为于点凡过点£作屈V〃a'分别交切、AB于点M、N,作射线加■交射线。于

点G.

（1）求证：EF=DE；

（2）当〃1=2时，求"的长.

【答案】见解析。

【分析】（1）要证明EF=DE,只要证明△〃蝎•即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以

得到△〃侬△近的条件，从而可以证明结论成立；

⑵根据勾股定理和三角形相似，可以得到川和CG、四的长，然后即可得到四的长.

【解答】（1）证明：・・•四边形力〃力是正方形，力。是对角线，

：.ZECM=45°,

YMN//BC,NBCM=M0,

闻aN6CQ180°,/MNB+/B=180°,

・•・/加依=90°,乙删B=90°,

:./MEC=/MCE=43°,/DME=/ENF=90°,

:.MC=ME,

,/CD=MN,

：.DM=EN,

YDELEF,N及册/庞Q90°,

:./DEF=9G,

:"DE将/FEN=9G°,

：・/EDM=2FEN,

在△〃蚯和△仞吠中

2EDM=/FEN

DM=EN,

=/ENF

：./\DME^/\ENF{ASA）,

:・EF=DE・,

⑵如图1所示，由（1）知，△回圾

:・ME=NF,

・・,四边形网函是矩形，

：.MC=BN,

又•：ME=MC,AB=4,AF=2,

:・BN=MC=NF=3

TN石右90°,

・・・CE=V2,

,:AF〃CD,

:ZGCSXFGA,

,CDCG

，

.•AF—AG

.4_CG

**2-AG，

•：AB=BC=4,NB=90°,

：.AC=\yf2.

^AC=A(^GC,

•“4>/28V2

••LA-,CCz--t

33

:.GE=GC-CE=当一⑰=警：

如图2所示，

同理可得，FN=BN,

'：AF=2fAB=4,

：.AN=1,

■:AB=BC=4,N8=90°，

：.AC=4yf2,

YAFHCD、

:、XGAFSXGCD,

.AF_GA

''CD-GC，

日n2AG

4=4G+4万

解得，AG=4a,

♦：AN=NE=\,ZENA=90°,

AJS=V2,

:.GE=GA+AES

14.(2019湖南湘西州)如图，在正方形4完»中，点七尸分别在边微力〃上，且"

—CE.

(1)求证：△A57运△鹿；

(2)若48=4,/尸=1,求四边形应如的面积.

【答案】(1)见解析；(2)12.

【解答】(1)在和△△附中

'AB=BC

-NA=NC=90°，

AF=CE

，△/班力△鹿(S4S；

(2)由已知可得正方形4?(力面积为16,

△“郎面积=△6%面积='X4X1=2.

2

所以四边形废加的面积为16-2X2=12.

15.(2020湖北仙桃模拟)如图，E,尸分别是正方形4比。的边力，加延长线上的点，aBE=CF,过点£作

EG//BF,交正方形外角的平分线偌于点G,连接曲求证：

⑴仞_郎；

⑵四边形瓯是平行四边形.

【答案】见解析。

【解析】由夕1S证明△/麻丝△6CF得出1£=即ZBAE=ACBF,由平行线的性质得出/加=/乙笫，证出

AEVEG,即可得出结论；延长AB至点、P,梗,EP=BE,连接用，则/=您Z£BP=90°证明△/1/%左△

£4；得出/6=£G,证出£G="即可得出结论.

证明：（1）：四边形口是正方形，

：.AB=BC,NABC=NBCD=9Q°,

:"ABE=NBCF=9Q°,

'AB=BC

在△力龙和△比F中，，ZABE=ZBCF-

BE=CF

:48恒XBCFlSAS）,

：.AE=BF,NBAE=ZCBF,

•：EG//BF,：.ZCBF=ZCEG,

・：NBAE+NBEA=9Q°,龙创/曲=90°,

：.AE±EG,