关于亚纯函数的辐射效应

关于亚纯函数的辐射效应

1亚纯函数的无限级在本文档中，使用c和单独表示复合平面和扩展平面。除特殊描述外，本文档中提到的亚纯函数是指在复平面c中添加亚纯函数的函数。本文还假设读者熟悉值分布理论的标准注释和基本内容。亚纯函数f的级ρ定义为设f和g为2个非常数亚纯函数,a∈C.我们称f和g在角域上IM(不计重数)分担值a,如果f-a和g-a在D内有相同的零点.如果f-a和g-a在D内不仅有相同的零点,而且零点的重数也相同,则称f和g在角域D上CM(计重数)分担值a.类似地,我们也可以定义f和g在角域D上IM(或者CM)分担值∞,如果f-a和g-a在D内有相同的极点(或者不仅有相同的极点,而且极点的重数也相同).在文中,Nevanlinna使用值分布理论证明了下面著名的五值定理。定理A设f和g为2个非常数亚纯函数,是5个判别的复数.如果f和g在C上IM分担值ai(i=1,2,3,4,5),则f≡g.如果f和g在C上CM分担4个不同值,则Nevanlinna在文中也证明了下面的四值定理。定理B设f和g为2个非常数亚纯函数,(i=1,2,3,4)是4个判别的复数,如果f和g在C上CM分担值ai(i=1,2,3,4),则f是g的分式线性变换.从此以后很多作者研究了亚纯函数的唯一性,并且获得了一系列的研究结果.众所周知,辐角分布是值分布论的一个主要研究对象.在亚纯函数的辐角分布论的研究中,Borel方向起了重要的作用.Valiron证明了亚纯函数辐角分布论的一个基本结果:一个级ρ>0的亚纯函数至少有一条ρ级的Borel方向。在本文中,我们将利用Borel方向去研究亚纯函数的唯一性.为了陈述我们的结果,需要一些准备.为此我们引入熊庆来的无限级的概念。定义1.1设f是无限级亚纯函数。实函数ρ(r)称为函数f的无限级,如果ρ(r)满足如下性质:(i)ρ(r)于r≥r0(r0>0)为连续非减,并且ρ(r)→∞(r→∞);(ii)命U(r)=rρ(r)(r≥r0),则(ⅲ)上述定义最先为熊庆来所介绍。假设ρ(r)是亚纯函数f的无限级,用M(ρ(r))表示满足的所有亚纯函数g的集合。设α<β,β-α<2π,r>0.定义Ω(α,β)={z:α≤argz≤β},Ω(α,β,r)={z:α≤argz≤β,0<|z|≤r}.定义1.2设ρ(r)是亚纯函数f的无限级。如果对任意给定的正数ε(<π)和任意的复数,至多除去2个例外,有其中n(Ω(θ-ε,θ+ε,r),f=a)表示f-a在角域Ω(θ-ε,θ+ε,r)内计重数的零点个数,则称从原点出发的射线argz=θ是f的ρ(r)级Borel方向。庄圻泰在文中已经证明任意一个无限级的亚纯函数至少有一条ρ(r)级Borel方向。在本文中,我们将证明下面的结果。定理1.1设ρ(r)是亚纯函数f的无限级,g∈M(ρ(r),argz=θ(0≤θ<2π)是f的ρ(r)级Borel方向,是5个判别的复数。对任意给定的正数ε(<π),如果f和g在Ω(θ-ε,θ+ε)上IM分担值ai(i=1,2,3,4,5),则f≡g。定理1.2设ρ(r)是亚纯函数f的无限级,g∈M(ρ(r)),argz=θ(0≤θ<2π)是f的ρ(r)级Borel方向,是4个判别的复数。对任意给定的正数ε(<π),如果f和g在Ω(θ-ε,θ+ε)上CM分担值ai(i=1,2,3,4),则f是g的分式线性变换。本文的安排如下:在第2节介绍Nevanlinna角域特征,并证明一些引理.在第3节证明定理1.1和定理1.2.2.nevhnna角域为了证明我们的结果,先介绍角域内的Nevanlinna理论.设f是角域Ω(α,β)上的亚纯函数,其中α<β且β-α<2π。根据Nevanlinna的定义,有其中是f在Ω(α,β)的计重数的极点。Cα,β(r,f)是f在Ω(α,β)的极点的角域计数函数.Nevanlinna角域特征函数定义为为了证明我们的结果,我们还需要下面的引理.引理2.1设f是C上的亚纯函数,Ω(α,β)(α<β,β-α<2π)是一个角域,则对任意的a∈C,有进一步地,对任意q(q≥3)个不同的值,有其中和是f-aj在Ω(α,β)的不同零点的计数函数。引理2.2设f是C上的亚纯函数,Ω(α,β)(α<β,β-α<2π)是一个角域,则其中,1<r<R<∞,K是一个非零常数.通过引理2.2和对数导数引理,容易得到下面的引理.引理2.3设f是C上的亚纯函数,Ω(α,β)(0<β-α<2π)是一个角域,则其中Rα,β(r,f)由(2.3)所定义,U(r)=rρ(r),ρ(r)是f的无限级,E是线性测度有限的集合。引理2.4设ρ(r)是亚纯函数f的无限级,则射线argz=θ是f的ρ(r)级Borel方向的充要条件是对任意的正数,有3-,+内f分担bib的特征定理1.1的证明设ρ(r)是f的无限级,g∈M(ρ(r))以及argz=θ(0≤θ<2π)是f的ρ(r)级Borel方向.假设对于任意给定的正数ε(<π),f和g在Ω(θ-ε,θ+ε)上IM分担值。接下来我们分两种情形证明f≡g。如果这个结论不成立,则。情形1首先假设ai≠∞(i=1,2,3,4,5).利用引理2.1,可得因此同样地,也可以得到结合(3.1)和(3.2),有通过引理2.4,有因为g∈M(ρ(r)),所以结合(3.3)-(3.6),容易得出一个矛盾。因此f≡g。情形2如果有一个ai(i=1,2,3,4,5)是∞,不失一般性,我们假设a5=∞.令c(≠ai)(i=1,2,3,4,5)是一个有限值,及b5=0,则F和G在Ω(θ-ε,θ+ε)内IM分担bi(i=1,2,3,4,5).通过引理2.1可知,Sθ-ε,θ+ε(r,F)=Sθ-ε,θ+ε(r,f)+O(1)及Sθ-ε,θ+ε(r,G)=Sθ-ε,θ+ε(r,g)+O(1).利用类似情形1的证明,可得F≡G.因此f≡g。定理1.2的证明设ρ(r)是f的无限级,g∈M(ρ(r))以及argz=θ(0≤θ<2π)是f的ρ(r)级Borel方向,假设对于任意给定的正数ε(<π),f和g在Ω(θ-ε,θ+ε)上CM分担值.令R(r)=O(ρ(r)logr),当r→∞,,其中E是一个有限测度集合.利用引理2.1和引理2.3,有ai=1,2,3,4)中至少存在2个值,不妨设为a1,a2,使得否则,使用引理2.1我们容易得到Sθ-ε,θ+ε(r,f)≤R(r),再利用引理2.3和引理2.4,容易得到矛盾.首先假设a1=∞.如果f≡g,则定理显然成立。因此我们假设,令如果,则因为f和g在Ω(θ-ε,θ+ε)内CM分担a1(=∞),a2,a3,a4,容易得到H在Ω(θ-ε,θ+ε)没有极点,所以Cθ-ε,θ+ε(r,H)=0,且容易看到在Ω(θ-ε,θ+ε)内f的每个极点是H的零点。由于f和g在Ω(θ-ε,θ+ε)内CM分担a1(=∞),所以此与(3.7)矛盾.所以H≡0.令类似于上面的讨论,如果,则有Aθ-ε,θ+ε(r,J)+Bθ-ε,θ+ε(r,J)≤Rθ-ε,θ+ε(r,f)+Rθ-ε,θ+ε(r,g)=R(r),Cθ-ε,θ+ε(r,J)=0及Sθ-ε,θ+ε(r,J)≤R(r).因为f和g在Ω(θ-ε,θ+ε)内CM分担a2,我们容易知道在Ω(θ-ε,θ+ε)内f-a2的每个零点是J的零点,所以此与(3.7)矛盾。所以J≡0。从H≡O和J≡0,可得(f-a2)2≡(