两垂直简谐振动合成实验的观察与应用

两垂直简谐振动合成实验的观察与应用

在北京大学的实验中，作为一项重要的实验，使用计算机作为一个重要的实验，在培养学生的理论和实践能力以及基本使用设备方面发挥着重要作用。简谐振动是一种很典型、最基本的机械振动,在大学物理理论课的教学中是一个重点,而关于简谐振动的合成问题上又是该部分问题的一个难点。由于该内容比较抽象,学生很难理解和掌握,教师在课堂上讲解时也觉得困难,为了使学生理论联系实际,我们在示波器的使用实验中,增加了两垂直简谐振动的合成实验——观察和应用李萨如图,让学生对这种特殊的简谐振动的合成有一个形象、直观的认识,从而更好地消化理解和巩固理论课上的内容。通常,在“示波器的使用”实验中,作为基本操作能力培养,对示波器基本结构及其基本的调节和使用,利用示波器观察信号波形,并测量其电压值和周期等内容,都是作为重点内容讲解并操作的。对于利用示波器观察李萨如图,由于很多实验教材对此都是简单讲解,而且利用李萨如图求解信号频率的原理和操作上基本无障碍,所以学生对实验中出现的一些现象没引起重视,甚至部分教师也忽略了这一部分内容,以至使此部分内容应该达到的效果大打折扣,学生对做此部分实验的目的不太明确,对理论学习中的振动的合成的理解也就不深刻了。基于此,作者拟就李萨如图形的基本知识以及示波器使用实验中,利用示波器观察李萨如图过程中出现的一些现象做一些探讨,希望能对本实验的教与学有一定的参考价值。一、李萨如图的结构有两个相互垂直的振动:或者表示成:考虑它们的合成,如果其频率比满足一定的关系,即如果分振动频率成整数比,则其合振动的轨迹为一稳定的封闭曲线,此曲线称为李萨如图(Lissajous’figures)。李萨如图的图样形状和分振动的频率比,初位相以及振幅都有关系,利用示波器演示时,还跟信号通道的显示比例有关。为了研究和讨论方便,我们采用计算机,利用MATLAB语言编程描绘出部分李萨如图如下图1、图2:上两图中各曲线的相应参数如下:二、y方向上及其复杂性利用双踪示波器,可以很方便地得到李萨如图,再根据李萨如图形,可以比较两个电信号的频率,其关系式如下:其中,fx,fy分别指加在x,y方向上的电信号的频率,Nx,Ny分别指李萨如图形与x,y轴的最大交点数。若fx为已知频率,fy为未知频率,则可由下式求出fy通过频率比可由已知频率测量未知频率,这在电学测量技术中占有重要地位,可达到很高的精确度。三、yb3314函数/任意信号发生器我们实验室所用仪器为江苏绿扬电子仪器集团有限公司生产的YB43020B示波器和YB33150函数/任意信号发生器。利用信号发生器得到所需的信号,接入双踪示波器,从而得到李萨如图的操作过程极其简单,此处不加赘述。现就实验过程中出现的一些现象作如下一些分析与处理。(1)影响学生科学性观的态度每次实验,都有细心的同学会发现,在做相同频率比的实验步骤时,使用其它仪器的同学所得到的李萨如图跟自己得到的李萨如图形状有所不同,学生常常疑惑不解,如果指导老师不给予及时的正确指引,常常会使学生因为不理解而怀疑实验的可靠性和理论的正确性,导致学生做实验的态度也呈现懒散与随意,从而影响学生的科学研究观和学习的态度。(2)李萨如图的实验结果同一组实验的同学,所用仪器相同,在相同频率下,两人前后所做得出的李萨如图形状不相同,学生有怀疑结果和理论的正确性倾向。即使同一同学做相同实验,把信号发生器上的频率改变一下,再调回原频率,则会与原频率下得到的图形不一致。以上两种现象是实验中最常见的,对该类现象不理解,实际上是对李萨如图形成机理未能深刻理解所致。此处的李萨如图实际是电子同时参与了水平和竖直两个方向的简谐运动,最后落在荧光屏上使荧光屏发光的光迹图样。合成振动的轨迹方程推导如下:由(1)式可得:其中n是整数把(5)式代入(2)式,,并考虑到余弦函数是偶函数,得:此即为两个两个分振动合成为李萨如图的轨迹方程。从轨迹方程可以看出,要使得到的两个李萨如图形状相同,四个简谐信号还必须同时满足:显然,要得到相同形状的两个李萨如图,就并非像同学们一般想象那样,只要两个信号的频率比相同就可以了,而是还跟他们的初相位有关。尽管在示波器实验中,利用信号发生器使相叠加的两信号的频率比比较容易得到,但由于初相位之间的关系利用信号发生器很难甚至无法满足,在做实验的时候,各组之间开始的时间,仪器之间产生的初相位的差别,两信号叠加在一起的时刻都各不相同,所以尽管(7)式满足了,但(8)式非常难于满足,于是,各组之间在相同频率比下得到的李萨如图不相同,也就不足为奇了,甚至我们可以说,得到不相同的形状,反而是正常的。就算是相同仪器的一组同学,甚至是相同仪器的同一位同学,在反复做同一频率比的李萨如图实验时,由于前后使用的信号的初相位有变化,得到的李萨如图的形状也是不一样的,除非碰巧刚好满足(7)式,(8)式关系,但此种情况出现的几率非常小。尽管如此,我们利用得到的不同形状的李萨如图图样,来求解未知信号频率时,得到的频率结果却是一致的,这一点上,证明我们所使用的实验原理,就求解未知频率的方法而言,是绝对正确,无庸置疑的。如图3中,曲线6为:x=cos(2t-π/3)y=cos(4t+π/4)叠加,7为:x=cos(2t-π/5)y=cos(4t-π/4)叠加,由于各分振动的初相位不同,导致曲线形状不一样,但很明显,对曲线6和7,均满足(3)式,故求出的未知频率一定是正确的。(3)模拟出的转动图像实验中还有一个重要现象,就是当被测频率较高时,比如本实验中,当被测频率达到500HZ时,图象就表现出不稳定,呈旋转状,出现这种现象的同时,一方面学生高度好奇,觉得新鲜,好看,但另一方面,也不免要问为什么,书上不是说会得到稳定图样么,那这种现象又做何解释呢?原来是这样,由于任何仪器都有一个精度问题,当用信号发生器产生一定频率的信号时,会与理论期望值有所差距,且频率越高,差距也就越大,这样,频率比也就不是所期望的严格的整数比了,图样也就不稳定了,且频率越高时,现象越明显。因此,随着时间的增加,图样看起来也就呈现出转动的现象。笔者利用计算机,通过MATLAB语言编程模拟出合成的过程,当两分振动频率比成严格整数比时,图象稳定,保持固定形状,当二分振动频率不成严格整数比例(某分振动频率与欲设频率有微小偏离)时,图象变的不稳定,随着时间增加,开始旋转起来,模拟结果跟示波器上观察到的实验现象完全吻合,图4是当x=cos(2π×100t),y=cos(2π×5005.t+π/)4的两信号叠加时,模拟出的转动的图样中某两时刻的情况截图。通过本实验,不仅使学生切实观察到了简谐振动合成的李萨如图,学会了测量简谐振动频率的一种方法,而且,学生通过对实验中出现的一些实验前未曾预料的现象的疑惑与探讨,更加深了理论课中对简谐振动的合成这一部分理论内容的理解与直观印象,充分体现了实验课程与理论课程的相辅