一元二次方程专题复习

一元二次方程专题复习【本章概述】一元二次方程是初中数学的重要内容，在初中数学中占有重要的地位，它和二次函数的联系非常密切.这部分内容是各地考试热点和同学们容易出错的地方，是历年各地中考的必考内容之一，在试卷中占有较大的分值比例.考试中不仅基础题会考查，更重要的是后面的综合题也会重点考查，一般以函数等知识为背景进行综合考查，因此同学们应对这部分内容予以高度重视.【课标要求】1.了解一元二次方程的概念，对本章所学的解一元二次方程的配方法、公式法、分解因式法有个全面的了解，会合理选择方法解具体的一元二次方程，并在解方程的过程中体会转化等数学思想.2.能够利用一元二次方程的有关知识解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.3.能够结合具体情境，估计一元二次方程的解，发展估算意识和能力.4.理解一元二次方程的根的判别式，会根据判别式判别一元二次方程的根的情况（注：本部分内容虽然不作为考试重点，但对同学们今后的学习非常重要，一定要认真复习）.实际问题实际问题的答案实际问题实际问题的答案数学问题（）数学问题的解配方法公式法分解因式法降次解方程设未知数，列方程检验【知识要点解读】1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的次数是二次的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式：（）.（1）判断一个方程是不是一元二次方程时应抓住三点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③方程是整式方程（即含有未知数的式子是整式）.三者必须同时满足，否则就不是一元二次方程.（2）（，，为常数，）称为一元二次方程的一般形式，其中是定义中的一部分，不可缺少，否则就不是一元二次方程.叫做二次项，叫做二次项系数，二者是不同的概念，不可混淆.2.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是降次，一般可采用下面几种方法：（1）配方法①基本思路先将方程转化为的形式（它的一边是一个关于的完全平方式，另一边是一个常数），再利用平方根的定义求解.当时，两边开平方便可求得方程的根；当时，方程在实数范围内无解，因为负数没有平方根.②配方步骤：化：.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；移：移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；配：配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为的形式；求：若，两边同时开平方，求得方程的解；若，则原方程无实数根即原方程无解.注意：“在方程的两边都加上一次项系数一半的平方”的前提是二次项系数为1.（2）公式法①求根公式：一般地，对于一个一元二次方程（），当时，它的根是.②基本步骤：化：将方程化为一般形式：；定：正确确定的值；求：代入公式求解，若则方程有实数根，若则方程无实数解即无解.（3）因式分解法①基本思想：利用“若，则或”的性质求方程的根.②基本步骤：化：将方程的右边化为零；分：将方程的左边分解为两个一次因式的积；转：令每个因式分别为零，转化为两个一元一次方程；解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.③注意事项：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积的形式时，可用分解因式法.用此法解方程时，要深入观察方程的特点，并且要对分解因式的方法非常熟练.解具体的一元二次方程时，要分析方程的特征，灵活选择方法.公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基础（公式法是直接利用了配方法的结论）.分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程.掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本.一般说来，先特殊后一般，即先考虑分解因式法，后考虑公式法.没有特别说明，一般不用配方法.3.一元二次方程的近似解估计一元二次方程的精确解或近似解，通常采用列表的方式.首先根据具体的实际问题确定出解的具体范围，然后通过具体计算从两边“夹逼”，逐步获得方程的精确解或近似解.这种“夹逼”的思想是近似计算的重要思想.一般地，一个一元二次方程如果有解，那么它有两个解，这两个解可能相等，也可能不相等.4.一元二次方程的是实际应用方程是解决实际问题的有效模型和工具，解方程的技能训练要与实际问题相联系，在解决问题的过程中体会解方程的技巧，理解方程的解的含义.利用方程解决实际问题的关键是找出问题中的等量关系，找出题目中的已知量与未知量，分析已知量与未知量的关系，再通过等量关系，列出方程，求解方程，并能根据方程的解和具体问题的实际意义，检验解的合理性.列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答.审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；设：设元，也就是设未知数；列：列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；解：解方程，求出未知数的值；验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；答：写出答语.相等关系的寻找应从以下几方面入手：①分清本题属于哪一类型的应用题，如行程问题，则其基本数量关系应明确（）.②注意总结各类应用题中常用的等量关系.如工作量（工程）问题.常常是以工作量为基础得到相等关系（如各部分工作量之和等于整体1等）.③注意语言与代数式之间的转化.题目中多数条件是通过语言给出的，我们要善于将这些语言转化为我们列方程所需要的代数式.④从语言叙述中寻找相等关系.如甲比乙大5应理解为“甲=乙＋5”⑤在寻找相等关系时，还应从基本的生活常识中得出相等关系.总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程的基础，找相等关系是列方程解应用题的关键.【复习指引】1.配方法、公式法、分解因式法分别适用于解不同特点的方程，具体求解时，应在观察方程特点和综合考虑各种方法适用范围的基础上合理选择解方程的方法.2.在用一元二次方程解决实际问题的过程中，要抓住问题的数学本质，尽量避免实际情境的干扰；同时要明确：数学问题与实际问题的区别.在用方程知识解决完实际问题后，一定要检验所求结果是否符合实际情况，对不适合实际情况的解一定要舍去；同时对适合实际情况的解绝对不能丢掉.【考点例析】考点一：一元二次方程的定义构成一元二次方程的条件：①必须是整式方程；②二次项系数不能为0；③只含有一个未知数；④未知数的最高次数是2.只有同时具备这三个条件的方程才是一元二次方程.例1.（甘肃）下列方程中，关于的一元二次方程是（）.（A）（B）（C）（D）析解：由一元二次方程的判定条件可知：（B）不满足条件①，（C）不满足条件②，（D）不满足条件②，只有（A）同时满足这几个条件.故选（A）.考点二：一元二次方程的相关概念基本形式：（）；其中分别叫做二次项、一次项、常数项，分别称为二次项系数和一次项系数.例2.①（吉林）将方程化为一元二次方程的一般形式为___________.②（吉林）一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为___________.析解：①为（莫忘移项要变号）；②为5，要特别注意项和系数的符号.考点三：方程根的定义及其应用若是一元二次方程（）的根，则必有，反之，若，则是一元二次方程的根，这就是一元二次方程根的定义.利用这个根的定义解题时，要特别注意二次项系数不为0的条件.例3.①（兰州）已知ｍ是方程ｘ２－ｘ－１＝０的一个根，则代数ｍ２－ｍ的值等于（）

（Ａ）－１（Ｂ）０（Ｃ）１（Ｄ）２②（北京海淀）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（）.（A）1（B）－1（C）1或－1（D）析解：①选（C）；②根据方程根的定义，将代入原方程中，则原方程变形为关于的一元二次方程：，，又由于，，所以，应选（B）.本题极易忽视二次项系数这一内含条件，容易错选为（C）.因此解这类题目时，若二次项系数中含有字母已知数，一定要使其不为0.考点四：一元二次方程的解法直接开平方法：课本上虽然没有介绍，但这是解一元二次方程的一种方法，它建立在数的开方的基础上，当把方程整理成的形式时，就可以用此法求解.但要注意当时，方程无实根；配方法：它建立在直接开平方的基础上，将方程（）的左边恒等变形为的形式，从而整理得，通过开平方法求得方程的根.它适用于任何一个有解的一元二次方程，而且在今后的学习和复习中，它始终是一种很重要的思想方法；公式法：它适用于任何一个有解的一元二次方程.公式法抓住了配方法的结论，使其公式化，变求解问题为已知的值，求代数式的值的问题；因式分解法：对于系数比较特殊的一元二次方程，用因式分解法求解比较快捷，其实质就是降次法.它将一元二次方程化为一元一次方程来求解.这四种方法既有区别，又有联系.公式法比配方法简单，但不如直接开平方法和因式分解法快捷，在具体解方程时，要根据题目的特点，选择适当的方法求解.一般顺序为先特殊后一般.即直接开平方法因式分解法公式法，没有特别说明一般不采用配方法.例4.（福州）解方程：.解析：本题可用公式法或配方法求解，答案：.考点五、一元二次方程在实际中的应用一元二次方程的应用常常以当今社会所关注的热点问题和焦点问题为素材，这类问题虽然贴近生活，却不拘一格.因此，平时热心关注社会、积累生活经验是学好本部分内容的一个前提，在较复杂的社会背景中，运用方程的思想，寻找等量关系式，列出方程，是解题的一个关键.下面就近几年的中考试题中选取几道典型的经典考题，加以评析，供参考.例5.（常州）春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解：设该单位这次共有名员工去天水湾风景取旅游.因为1000×25=25000＜27000，所以员工人数一定超过25人，可得方程.解得，.当时，1000－10（－25）=600＜700，故舍取；当时，1000－10（－25）=900＞700，符合题意；答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.例6.（黄冈）黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天售出20件，每件赢利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存，经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上赢利1200元，那么，每件童装应降价多少元？误解：设每件童装应降价元，依题意，得，整理，得.解得.答：每件童状应降价10元或20元.剖析：从表面上看，本题的解答天衣无缝，但本题要求在赢利相同的情况下，尽快减少库存，就是使童装尽快地销售.因为每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，则降价20元比降价10元卖的多，可尽快减少库存，故正确答案应为每件童装降价20元.说明：随着市场经济的发展，经济决策型应用题逐渐成为各地中考题的新宠，这类应用题与实际生活密切相关，解题时一定要全面考虑题设条件，要对题意进行检验，使求解出来的根不仅适合方程，也得符合题意.考点六：创新题展示例7.（茂名）先阅读，再填空解题：(1)方程：x2-x-2=0的根是：x1=-3,x2=4，则x1+x2=1，x1·x2=12；(2)方程2x2-7x+3=0的根是：x1=,x2=3，则x1+x2=，x1·x2=；(3)方程x2-3x+1=0的根是：x1=,x2=.则x1+x2=，x1·x2=；根据以上（1)(2)(3）你能否猜出：如果关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p为常数）的两根为x1、x2，那么x1+x2、x1、x2与系数m、n、p有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由.分析：近几年来，以一元二次方程为背景的探索创新题不断涌现，这类问题形式新颖、富有趣味性，极好地考查了同学们的发散思维能力和开拓探究能力.本题难度不大，属中等题.解：（3），，，.猜想：，.∵一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p为常数）的两实数根为：∴，，∴..★★★(I)考点突破★★★考点1：一元二次方程的解法一、考点讲解：1．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）2．一元二次方程的解法：⑴配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．⑵公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)⑶因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．3．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4⑷注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．二、经典考题剖析：【考题1－1】（2004、青岛，3分）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为（）A．y2+y＋2＝0B．y2－y—2＝＝0C．y2－y+2＝0D、y2+y－2=0解：D。点拨：此题是考查的是“整体”思想。【考题1－2】（2004、开福）解方程：x2＋2x－3=0

解：x2＋2x－3=0，x2＋2x=3，即x+l=2或x+1=2．所以x1=1，x2=3．点拨：考查解方程的知识，还可用公式法或因式分解法解．【考题1－3】（2004、青岛，6分）已知方程5x2+kx－10=0一个根是－5，求它的另一个根及k的值．解：设方程的另一根是x，那么，+(－5)=－EQ\F(k,5)，所以k=－5×［EQ\F(2,5)+(-5)］=23.答：方程的另一根是EQ\F(2,5)，k的值是23．点拨：利用根与系数的关系来解．考点2：一元二次方程的应用一、考点讲解：1．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．2．注重．解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．二、经典考题剖析：【考题2－1】（2004、海口，8分）某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价x元，依题意，得(500－20x)（10+x）=6000．整理，得x2－15x＋50=0．解这个方程，x1=5，x2=10．要使顾客得到实惠，应取x=5．答：每千克应涨价5元．．点拨：应抓住“要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况．【考题2－2】（2004、深圳南山区副卷）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图1－2－1），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．解：设与墙相接的两边长都为米，则另一边长为米，依题意得∴又∵当时，当时，＞15∴不合题意，舍去．∴答：花圃的长为13米，宽为10米．中考题预测★★★一、基础经典题(44分)(一)选择题(每题4分，共28分)【备考1】如果在－1是方程x2+mx－1=0的一个根，那么m的值为（）A．－2B．－3C．1D．2【备考2】方程的解是（）A．【备考3】若n是方程的根，n≠0，则m+n等于（）A．－7B．6C．1D．－1【备考4】关于x的方程的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）A．m＝0，n＝0B．m＝0，n≠0C．m≠0，n=0D．m≠0，n≠0【备考5】以5－2EQ\r(,6)和5+2EQ\r(,6)为根的一元二次方程是（）A．B．C．D．【备考6】已知x1，x2是方程x2－x－3=0的两根，那么x12+x22的值是（）A．1B．5C．7D、EQ\F(49,4)【备考7】已知关于x的方程有两个不相等的实根，那么m的最大整数是（）A．2B．－1C．0D．l“（二）填空题（每题4分，共16分）【备考8】已知一元二次方程x2＋3x+1=0的两个根为x1，x2，那么（1+x1）（1+x2）的值等于_______.【备考9】已知一个一元二次方程x2+px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则P的值是_______.【备考10】关于x的方程的一次项系数是－3，则k=_______【备考11】关于x的方程是一元二次方程，则a=__________.【备考12】飞机起飞时，要先在跑道上滑行一段路程，这种运动在物理中叫做匀加速直线运动，其公式为S=EQ\F(1,2)at2，若某飞机在起飞前滑过了4000米的距离，其中a=20米／秒，求所用的时间t．中考一轮复习之一元二次方程根的判别式知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。精典例题：【例1】当取什么值时，关于的方程。（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。分析：用判别式△列出方程或不等式解题。答案：（1）；（2）；（3）【例2】求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实根。分析：列出△的代数式，证其恒大于零。【例3】当为什么值时，关于的方程有实根。分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分＝0和≠0两种情形讨论。略解：当＝0即时，≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当≠0即时，方程有根的条件是：△＝≥0，解得≥∴当≥且时，方程有实根。综上所述：当≥时，方程有实根。探索与创新：【问题一】已知关于的方程有两个不相等的实数根、，问是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。略解：化简得∴不存在。【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利