2021年山东省泰安市中考数学真题

山东省泰安市2021年中考数学真题

一、单选题

1.下列各数：-4,-2.8,0,|-4|,其中比—3小的数是（）

A.-4B.|-4|C.0D.-2.8

2.下列运算正确的是（）

A.2x2+3x3=5x5B.（-2x）3=-6x，

C.（x+y）2-x2+y2D.（3x+2）（2-3x）=4-9/

3.如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方

4.如图，直线加〃〃，三角尺的直角顶点在直线机上，且三角尺的直角被直线，"平分，若Nl=60°，

则下列结论错误的是（）

A.Z2=75°B.Z3=45°C.Z4=105°D.N5=130°

5.为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质''等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班

50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，

中位数分别为（）

A.7h；7hB.8h；7.5hC.7h；7.5hD.8h；8h

6.如图，在△ABC中，AB=6,以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点£>,与AC,AB分

别交于点E和点G,点尸是优弧GE上一点，NCDE=18。，则NGFE的度数是（）

A.50°B.48°C.45°D.36°

7.已知关于x的一元二次方程标依2-(2攵-1)%+攵-2=0有两个不相等的实数根，则实数A的取值

范围是()

A.k>—B.k<—C.k>—且后。0D.k<—%。()

4444

8.将抛物线y=-/-2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过

()

A.(—2,2)B.(―1,1)C.(0,6)D.(1,-3)

9.如图，四边形ABCZ)是0。的内接四边形，N3=90°,ZBCZ)=120°,AB=2,8=1,则

的长为()

10.如图,在平行四边形ABCD中,E是B。的中点，则下列四个结论:①AM=CN；②若MD=40,

44=90°,则BM=CM；③若=则/仞忆=S^NE；④若AB=M/V,则加顼与

△DFC全等.其中正确结论的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线

上的A点出发，沿斜坡AO行走130米至坡顶。处，再从。处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，

在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60。，建筑物底端8的俯角为45。，点A、B、C、£>、E在同一平

面内，斜坡的坡度i=l：2.4.根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为()(参考

数据：百31.732)

A.136.6米B.86.7米C.186.7米D.86.6米

12.如图，在矩形ABC。中，AB=5,BC=56，点P在线段上运动（含&C两点），连接叱,

以点4为中心，将线段AP逆时针旋转60。到AQ,连接。Q,则线段OQ的最小值为（）

二、填空题

13.2021年5月15日7时18分，天间一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次火星探测任务着陆

火星取得圆满成功.探测器距离地球约3.2亿千米.数据3.2亿千米用科学记数法可以表示为

千米.

14.《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十,

问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，

2

则甲的钱数为50；而甲把自己7的钱给乙，则乙的钱数也能为50.问甲、乙各有多少钱？’‘设甲持钱

数为x,乙持钱数为y,可列方程组为.

15.如图是抛物线丁=依2+笈+。的部分图象，图象过点（3,0）,对称轴为直线x=l,有下列四个结

论：①出?c>0；②a-Z?+c=0；③y的最大值为3；④方程+笈+o+1=0有实数根.其中正确

的为（将所有正确结论的序号都填入）.

16.若AAbC为直角三角形，AC=BC=4,以3c为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为

17.如图，将矩形纸片ABCD折叠（AO>AB）,使A3落在匕AE为折痕，然后将矩形纸片

展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE,若=，

CE=2,则的长为.

18.如图，点B1在直线/：y=gx上,

点用的横坐标为2,过点用作4，/,交无轴于点儿，以

为边，向右作正方形4片打6，延长82G交x轴于点4；以为边，向右作正方形48283c2,延

长83c2交X轴于点4；以4员为边，向右作正方形45364c3,延长的84c3交X轴于点4；…；按

照这个规律进行下去，则第〃个正方形4纥凡+C"的边长为(结果用含正整数〃的代数式表

示).

三、解答题

19.(1)先化简，再求值：(------a+----------,其中a=J5+3;

Va+\)a+\

lx—13x—2

(2)解不等式:1--------->--------

84

20.为庆祝中国共产党成立100周年，落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”

主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅

不完整的统计图表.根据统计图表提供的信息，解答下列问题：

竞赛成绩统计表(成绩满分100分)

组别分数人数

A组75<x<804

8组80<x<85

C组85<x<9010

。组90<x<95

E组95<x<10014

合计

(1)本次共调查了名学生；C组所在扇形的圆心角为度;

(2)该校共有学生1600人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？

(3)若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为E”E2,垃，从其中抽取2名学生代表学

校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到瑞，心的概率.

Irn

21.如图，点尸为函数y=-x+1与函数y=—（x>0）图象的交点，点尸的纵坐标为4,~B_L尤轴，

2x

m

垂足为点尻（1）求加的值；（2）点M是函数y=—（尤>0）图象上一动点，过点M作MDLBP于点

x

D,若tanNPMD='，求点M的坐标.

2

22.接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天

生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂.为了应对疫情，回厂的工人加班生

产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15

万剂.

（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？

（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时.若上级分配给该厂共

760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？

23.四边形A8CO为矩形，E是A3延长线上的一点.

图1图2

（1）若AC=£C,如图1,求证：四边形BECD为平行四边形；

（2）若AB=A£>,点尸是A3上的点，AF=BE，或；，4。于点6,如图2,求证：ADGF是

等腰直角三角形.

24.二次函数,=如2+云+4（。40）的图象经过点A（—4,0）,8（1,0）,与），轴交于点C,点尸为第二

象限内抛物线上一点，连接5P、AC,交于点Q，过点P作。轴于点D

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接BC，当ZDPB=2NBCO府,求直线的表达式；

（3）请判断：室是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由.

25.如图1,。为半圆的圆心，C、。为半圆上的两点，且8D=CZ).连接AC并延长，与的延

图1

(1)求证：CD=ED；

(2)AO与OC，BC分别交于点凡H.

①若CF=CH,如图2,求证：CFAF^FOAH；

②若圆的半径为2,BD=1，如图3,求AC的值.

参考答案

1.A

【分析】

根据正数比负数大，正数比0大，负数比0小，两个负数中，绝对值大的反而小解答即可.

【详解】

解：|-4|=4,4>3>2.8,

-4<-3<-2.8<0<|-4|,

...比-3小的数为-4,

故选：A.

【点睛】

本题考查有理数大小比较，熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键.

2.D

【分析】

分别根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行判断即可.

【详解】

解：A、/和R不是同类项，不能合并，此选项错误；

B、(—2x)3=-8/，此选项错误；

C、=f+2孙+yL此选项错误；

D、(3%+2)(2-3%)=(2+3x)(2-3%)=4-9x2,此选项正确，

故选：D.

【点睛】

本题考查了同类项、积的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，掌握运算法则是解答的关键.

3.B

【分析】

直接从左边观察几何体，确定每列最高的小正方体个数，即对应左视图的每列小正方形的个数，即可确

定左视图.

【详解】

解：如图所示：从左边看几何体，第一列是2个正方体，第二列是4个正方体，第三列是3个正方体;

因此得到的左视图的小正方形个数依次应为2,4,3；

故选：B.

【点睛】

本题考查了几何体的三视图，要求学生理解几何体的三种视图并能明白左视图的含义，能确定几何体左

视图的形状等，解决本题的关键是牢记三视图定义及其特点，能读懂题意和从题干图形中获取必要信息

等，本题蕴含了数形结合的思想方法，对学生的空间想象能力有一定的要求.

4.D

【分析】

根据角平分线的定义求出N6和N7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出N3,Z8,Z2

的度数，最后利用邻补角互补求出N4和N5的度数.

【详解】

首先根据三角尺的直角被直线m平分，

二/6=/7=45。；

A、VZ1=6O°,N6=45°,AZ8=180°-Z1-Z6=180-60°-45°=75°,m/^n,，/2=/8=75°结论正确，选

项不合题意：

B.VZ7=45°,m//n,/.Z3=Z7=45°,结论正确，选项不合题意；

C、VZ8=75°,AZ4=180-Z8=180-75°=105°,结论正确，选项不合题意；

D,VZ7=45°,AZ5=180-Z7=180-45°=135°,结论错误，选项符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行

线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.

5.C

【分析】

根据众数的定义及所给频数分布直方图可知，睡眠时间为7小时的人数最多，根据中位数的定义，把睡

眠时间按从小到大排列，第25和26位学生的睡眠时间的平均数是中位数，从而可得结果.

【详解】

由频数分布直方图知，睡眠时间为7小时的人数最多，从而众数为7h；

把睡眠时间按从小到大排列，第25和26位学生的睡眠时间的平均数是中位数，

而第25位学生的睡眠时间为7h,第26位学生的睡眠时间为8h,其平均数为7.5h,

故选：C.

【点睛】

本题考查了频数分布直方图，众数和中位数，读懂频数分布直方图，掌握众数和中位数的定义是解决本

题的关键.

6.B

【分析】

连接A。，由切线性质可得/AC8=/AQC=90。，根据AB=2A。及锐角的三角函数可求得/BA£>=60。，

易求得NAOE=72。，由AD=AE可求得ND4E=36。，则NGAC=96。，根据圆周角定理即可求得NGFE的

度数.

【详解】

解：连接A。，贝i」AQ=AG=3,

•.•BC与圆A相切于点。，

ZADB=ZADC=90°,

A£)]

在Rt^ADB中，AB-6,贝ijcosZBAD=------=—,

AB2

ZBAD=60°,

VZCD£=18°,

/.ZADE=900-18°=72°,

'：AD=AE,

：.ZADE=ZAED=12°,

：.ZDAE=180°-2x72°=36°,

/GAC=360+60°=96°,

：.ZGFE=-ZGAC=48°

2t

故选：B.

F

【点睛】

本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练学

握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得NBAE>=60。是解答的关键.

7.C

【分析】

由一元二次方程定义得出二次项系数后0；由方程有两个不相等的实数根，得出解这两个不等

式即可得到A的取值范围.

【详解】

k手b

解：由题可得:

[-(2Z-1)]2)>0

解得：4>一，且左。0；

4

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题

意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的

计算能力有一定的要求.

8.B

【分析】

根据二次函数平移性质”左加右减，上加下减”，得出将抛物线y=-/-2x+3的图象向右平移1个单

位，再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，代入求值即可.

【详解】

解：将抛物线y=一2》+3化为顶点式,

即：y=—%?—2x+3

=-(/+2x)+3

=_(x+l『+4,

将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，

根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得：

y=-(x+l-l)2+4-2=-x2+2,

4选项代入，y=—f+2=—(―2>+2=-2,不符合；

8选项代入，y=-x2+2=-(-D2+2=l，符合；

C选项代入，y=—f+2=—(0>+2=2,不符合；

。选项代入，y=—f+2=—⑴2+2=1,不符合；

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即y=a(x-/z)2+k的形式，然后按照

“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键.

9.C

【分析】

如图，延长AD,BC,二线交于点E,可求得NE=30。，在放ASE中，利用5?30。计算£>E,Rt^ABE

中，利用。"30。计算AE,根据A£)=AE-OE求解即可；

【详解】

如图，延长AC,BC,二线交于点E,

VZB=90°,ZBCD=120°,

AZA=60°,ZE=30°,ZAZ)C=90°,

・・・ZADC=ZEDC=90°f

在即△COE中，

DC

tan30°=----

DE

1

***DE=-^3=>

T

在中，

AB

6齿30°=—,

AE

2_

'.AB=1=4,

2

：.AD=AE-DE=4-y/3,

故选C

【点睛】

本题考查了圆的内接四边形对角互补，特殊角的三角函数值，延长构造直角三角形，灵活运用直角三角

形特殊角的三角函数值计算是解题的关键.

10.D

【分析】

依次分析各选项，进行推理论证即可；其中①可通过证明二ABNEIAAS),进一步转换后可以

得到结论，②可先得到该平行四边形是矩形，利用矩形的性质等得到垂直平分BC,即可完成求证，

③可以先证明两个三角形的共线边上的高的关系，再利用三角形面积公式即可完成证明，④可以先证明

也△OGW(S45)后可进一步证明△肱\犷丝△Ob(AAS),即可完成求证.

【详解】

解：•.•平行四边形ABCO中，E是5。的中点，

:.BE=DE,AD//BC,AD=BC，

：./MDE=ZNBE,/DME=ZBNE,

ADMEABNE(AAS),

：.DM=BN,

：.AM=CN,

故①正确；

若NA=90°,

则平行四边形ABCD是矩形，

由矩形的对角线相等，而点E是矩形的对角线的交点可知，

E点到8、C两点的距离相等，

...E点在BC的垂直平分线上，

由=可得8N=CM

所以N点是BC的中点，

.•.MN垂直平分BC,

BM=CM,

故②正确；

若=则BN=2CN,

如图1,分别过。、E两点向BC作垂线，垂足分别为Q点和P点,

点是BD中点，

：.DQ=2EP,

•；S,、MNC=；CN.DQ=ICN-2EP=CN.EP,

S.KNE=；BN.EP=32CN-EP=CN.EP

S&MNC=S&BNE，

故③正确；

若AB=MN,

因为4?=z)c,

所以DC=MN,

分别过N、C两点向AQ作垂线，垂足分别为H、K,

由平行线间的距离处处相等可知：NH=CK,

：.RtANHMmRtACKD(HL],

/.ZNMD=ZMDC,

：.AMNDADCM(5A5),

/MND=NDCM,

又•:ZNFM=NCFD,

AMNFADCF(AAS),

故④正确；

故选：D.

【点睛】

本题综合考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、线段的垂直平分线的判定与性质、全等三角形

的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与性质，能熟练运用全等三角形的判定与性质进

行角或边之间关系的转化等，本题对推理分析能力要求较高，属于中等难度偏上的题目，对学生的综合

分析能力有一定的要求.

11.A

【分析】

作。FLAB于尸点，EGLBC于G点，根据坡度求出£»F=50,AF=UO,从而分别在A8EG和ACEG中

求解即可.

【详解】

如图，作。F_LA8于F点，EGJ_BC于G点，

则四边形。FBG为矩形，DF=BG,

；斜坡AO的坡度i=1:2.4,

.15DF

tan/DAF=—=—=---，

2.412AF

,.・■£)=130,

ADF=50,AF=120,

：・BG=DF=50,

由题意，ZCEG=60°,ZBEG=45°,

・・・△BEG为等腰直角三角形，BG=EG=50,

在R/ZkCEG中，CG=GEG=50百，

3C=3G+CG=50+50GM136.6米,

故选：A.

【点睛】

本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解坡度的定义，准确构建合适的直角三角形是解题关键.

12.A

【分析】

根据题中条件确定出点P的轨迹是线段，则线段的最小值就转化为定点。到点P的轨迹线段的距

离问题.

【详解】

解：•••”与固定夹角是60。，AP：AQ=1,点P的轨迹是线段，

的轨迹也是一条线段.

•••两点确定一条直线，取点P分别与民C重合时，所对应两个点Q,

来确定点。的轨迹，得到如下标注信息后的图形：

求QQ的最小值，转化为点。到点Q的轨迹线段的距离问题,

•/AB=5,BC=5y/3,

•••在RSABC中，tanZBAC=岸=瓜:.ABAC=60°,

-.■AB//DC,：.ZDCA=60°,

将AC逆时针绕点A转动60°后得到,

・•.△ACQi为等边三角形，DC=DQ]=5,

Q为AC的中点，根据三线合一知，

NCQQ=30。，

过点D作的垂线交于点Q,

在R/AQIQ。中，30°对应的边等于斜边的一半，

DQ=^DQi=^,

OQ的最小值为!■,

2

故选：A.

【点睛】

本题考查了动点问题中，两点间距离的最小值问题，解题的关键是：需要确定动点的轨迹，才能方便找

到解决问题的突破口.

13.3.2xl08

【分析】

根据科学记数法的一般形式4X10"（1WIaI<10,〃为整数）确定出。和〃值即可.

【详解】

解：亿=10&,

.♦.3.2亿=3.2x108,

故答案为：3.2x108

【点睛】

本题考查科学记数法，熟记科学记数法的一般形式，正确确定。和"值是解答的关键.

【详解】

【分析】甲持钱数为x,乙持钱数为y,根据题意可得：甲的钱+乙的钱的一半=50,乙的钱+甲所有钱

的2=50,据此列方程组即可.

3

【详解】由题意可得，

%+丫=50

2

2

—x+y=50

13

x+X=50

2

故答案为

-x+j=50

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出合适的等量关系是解题的关键.

15.②④

【分析】

根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可.

【详解】

解：•.•抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，

c>0,

：抛物线的对称轴为直线41，

b

-——1,即b--2a>0

2a

.".abc<0,故①错误；

•.•抛物线与x轴的一个交点坐标为（3,0）,

根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（-1,0）,

：.a-b+c=0,故②正确；

根据图象，y是有最大值，但不一定是3,故③错误；

由ax2+Z?x+c+1=0得at2+bx+c=-1>

根据图象，抛物线与直线y=-1有交点，

tzr2+bx+c+1=0有实数根，故④正确，

综上，正确的为②④,

故答案为：②④.

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解

答的关犍.

16.4

【分析】

设AB与半圆的交点为D,连接OC,根据题意，得到阴影部分的面积等于S^ACD,计算即可

【详解】

解：如图，设AB与半圆的交点为。，连接。C,

是直径，

ZBZ)C=90°,

VZACB=90°,AC=BC=4,

:.NDBC=NDCB=45。,AD=BD,

过点。作。ELBC,垂足为E,

则NCZ)E=NBZ)E=45。，

；.CE=EB=ED=2,

半圆关于直线OE对称，

阴影部分的面积等于S/。，

„111..

S-AC"=2=5X,X4X4=4

故答案为:4.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，圆的对称性,

利用圆的对称性化阴影的面积为三角形的面积加以计算是解题的关键.

17.4+20

【分析】

根据矩形的性质和正方形的性质，证明ABEF三AGEF，从而BF=FG=2,又因为

AGn/GuAE—EG=(&-1)AB,代入求解即可.

【详解】

解：：四边形ABCD是矩形,A6=AB',

AAB^CD,AD-BC,ZB=ZC=90，且四边形ABEB'是正方形，

/.AB=BE，

BE=CD，

又；DE=EF,

4BEF三△COE，

BF=CE=2

又,：ABEF三AGEF(折叠，

/.BF=FG=2,BE=GE,NFGE=/B=90,

设A3=x，则4七=岳，

AAG=AE-GE=AE-BE=AE-AB=(y/2-1)x,

又•/AE是正方形ABEB'对角线，

•••NG4尸=45。，

，Z4FG=45。，

•*.FG-AG，

；.(行—l)x=2,解得：X=20+2，即AB=BE=2夜+2，

•••AD=BC=BE+EC=2^+2+2=4+2H

故答案为：4+2夜

【点睛】

本题考查的是矩形的性质，正方形的性质和判定，三角形全等等相关知识点，根据题意找到等量关系转

换是解题的关键.

此当＜

【分析】

根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再

找规律得出第〃个正方形的边长.

【详解】

解：•••点用在直线/：)=(%上，点用的横坐标为2,

点B|纵坐标为1.=V22+l2=区

分别过四，G，…,。4作X轴的垂线，分别交于0,9,…，2,下图只显示一条;

NBQA=NCQB[=90°,ZBl0£>=

二类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有

C,A__C„A,+I

0D20BxG4GA，

不妨设第1个至第〃个正方形的边长分别用：乙,4,…，。来表示，通过计算得:

,OB.V5

122

,「人一31一出3

4=4+G4=^2=~X2，

/3=/2+。243吟=冬图

4=射+C,T422⑶

按照这个规律进行下去,则第n个正方形AB„BC的边长为

nn+]n■I

故答案是：立xja].

【点睛】

本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再

从中去找计算第〃个正方形边长的方法与技巧.

19.(1)一一—；—1—百；(2)%<1

a-3

【分析】

(1)先根据分式混合运算法则化简，然后代入条件求值即可；

(2)根据解一元一次不等式的步骤求解即可.

【详解】

a+l

解:(1)原式=

。+13-3)2

—a(a—3)〃+1

a+l~(a—3)2

a

。一3

当。=&+3时,

(2)8-(7x-l)>2(3x-2)

8-7x+l>6x-4

-7x—6x>-4-9

-13x>-13

x<l.

【点睛】

本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式等，掌握相应的运算法则，注意分母有理化是解题关键.

20.(1)50,72；(2)960人；(3)-

6

【分析】

(1)根据样本容量=样本中某项目的频数除以该项目所占的百分数，求得样本容量，利用圆心角度数=

某项目所占的百分数乘以360。，计算即可；

(2)计算出各组的人数，利用样本估计总体的思想计算即可；

(3)利用画树状图法计算概率；

【详解】

14

(1)•.•样本容量=——=50,

28%

,共有50人参与调查；

等级C组所对应的扇形的圆心角为：360。=72。，

故答案为：50,72；

(2)8组人数：50x12%=6(人)

。组人数：50-4-6-10-14=16(人)

该校优秀人数：1600x3土丝=960(人)

(3)树状图

2I

P(抽到&,&)=—=—

126

【点睛】

本题考查了统计表，扇形统计图，样本容量，画树状图求概率，掌握统计图的意义，并能灵活运用画树

状图法进行相关计算是解题的关键.

21.(1)24；(2)M点的坐标为(8,3)

【分析】

(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用—y计算，〃即可；

(2)利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.

【详解】

解：(1)・・,点尸纵坐标为4,

・'.4=-x+1,解得x=6

2

，P(6,4)

：.4二一，

6

，m=24.

(2),?tanZPMD=-,

2

,PD1

•.----=一，

PM2

设产。=Q>0),则0M=27,

当M点在P点右侧，

M点的坐标为(6+2t,4-t),

：.(6+2Q(4-/)=24,

解得：/1=1,弓=0(舍去)，

当号=1时，”(8,3),

.••加点的坐标为(8,3),

当用点在P点的左侧，

.••M点的坐标为(6-2f,4+f),

(62)(4+r)=24,

解得：/,=0,t2=-\,均舍去.

综上，M点的坐标为(8,3).

【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的

解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题

的关键.

22.(1)30人；(2)39天

【分析】

(1)设当前参加生产的工人有x人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于x的方程，求解即可；

(2)设还需要生产)'天才能完成任务.根据前面4天完成的工作量+后面》天完成的工作量=760列

出关于y的方程，求解即可.

【详解】

解：(1)设当前参加生产的工人有x人，

1615

依题意得:

8(x+10)10x

解得：x=30,

经检验，x=30是原方程的解，且符合题意.

答：当前参加生产的工人有30人.

(2)每人每小时的数量为16+8+40=0.05(万剂).

设还需要生产y天才能完成任务，

依题意得：4x15+40x10x0.05xy=760,

解得：y=35,35+4=39(天)

答：该厂共需要39天才能完成任务.

【点睛】

本题考查分式方程的应用和一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键.

23.(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(1)根据等腰三角形的性质得出A6=6£，再根据一组对边平行且相等证明即可；

(2)先证矩形ABCD是正方形，再证AEGF当AAGD，得出GF=GO，再证ZDGF=90°即可.

【详解】

证明：(1)♦••A3CD是矩形，

：.AB/JCD,CB1AE,

又；AC=EC,

AB=BE，

BE/JCD,

...四边形BECD是平行四边形.

⑵\'AB=AD>

，矩形ABC。是正方形，

.-.ZC4E=45°,

-EG±AC，

.•.NE=NG4E=45。，

:.GE=GA,

又AF=BE，

:.AB=FE，

.\FE=AD，

又ND4C=N£=45°,

/.△EGF^AAGD.

：.GF=GD,ZDGA=ZFGE,

ZDGF=ZDGA+ZAGF=ZEGF+ZAGF=ZAGE=90°,

.•.VDGF是等腰直角三角形.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题关

键是熟练准确运用相关知识进行推理证明.

1515PO4

24.(1)y=——一3X+4；(2)y=-—x+—；(3)福有最大值为二，P点坐标为(-2,6)

【分析】

(1)将A(-4,0),8(1,0)代入,=℃2+法+4(。工0)中，列出关于〃、b的二元一次方程组，求出〃、

b的值即可；

(2)设3P与y轴交于点E，根据轴可知，ZDPB=ZOEB,当ZDPB=2ZBCO,即

NOEB=2ZBCO,由此推断△QE8为等腰三角形，设QE=a,则C£=4—。，所以3E=4—a,

由勾股定理得B£=OE2+QB2,解出点£的坐标，用待定系数法确定出BP的函数解析式即可：

(3)设PO与4C交于点N,过B作y轴的平行线与AC相交于点由4、C两点坐标可得AC所

在直线表达式，求得M点坐标，则助0=5,由BM//PN,可得LPNQs/XBMQ,

PQPNPN2c八〜八

==~，设尸(〃0，一%~-3%+4)(-4<。0<0),则"(4,/+4)

QBBM5

丝=———&+4)=2g^=一&+2)2+4,根据二次函数性质求解即可.

QB555

【详解】

解：(1)由题意可得：

a-(^4)2+/>-(-4)+4=0

V

。+6+4=0

[a=-l

解得：〈，

b=-3

二次函数的表达式