《二《九章算术》》教学设计(山西省县级优课)-数学教案

复习探究：九章算术中的高考热点交城二中张彩艳一、教学目标知识与技能：了解《九章算术》的背景，内容简介和历史，能运用高中数学中数列，程序框图，立体几何，概率等知识，将古代实际问题转化为数学语言，解决《九章算术》中的问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。2.过程与方法：引导学生学会从生活生产实际中发现数学问题，并能自主探究解决问题。3.情感态度与价值观：弘扬我国优秀的传统文化，让学生深切体会中国文化博大精深，同时也培养了学生的数学素养和学习兴趣。二、教学重难点引导学生从生活实际中发现问题，转化为与所学知识相关的内容，并能自主分析解决问题。三、教学过程：（一）：考情分析：2018年高考核心素养之一：要重视中国古代文化素养近几年的高考试题增加对中国传统文化进行考查的内容，将中国古代文明作为试题背景材料，体现中国传统文化对人类发展和社会进步的贡献。这种题目虽然难度不大，但是立意新颖，富有创新精神，特别是巧妙地利用我国优秀的传统文化设计试题，不仅使学生对我国的传统文化有所了解，同时也考查了学生的各种能力，如阅读能力、思维能力、运算能力、数据处理能力等，很好地渗透了数学的核心素养。中国古代数学取得了极其辉煌的成就，《九章算术》便是其中的代表作，研究的内容大多与实际生活，生产紧密结合，具有浓厚的实际背景。近年高考考查的一个热点，就是从古代数学挖掘素材，与高中知识相结合，既符合考生认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化。涉及立体几何、数列、三角函数、概率等方面。（二）《九章算术》背景了解：《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是“算经十书”中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。收有246个与生产生活实践有关的应用问题，分有九章：分别是方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，早提出负数概念及正负数加减法法则；《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显着特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。

（三）《九章算术》中的典例：【典例】一：(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T8)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a为(B)A.0 B.2

【解析】选B.程序在执行过程中,a,b的值依次为a=14,b=18;b=4;a=10;a=6;a=2;b=2,此时a=b=2程序结束,输出a的值为2,故选B.【典例】二：《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为35，则输入a的值为（B）A.4B.5C.7D.11【典例】三：《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6米，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为3.5平方米，则cos∠AOB=（

D

）A．B.C.D.【典例】四：（概率）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(B

)A.134石

B.169石

C.338石

D.1365石

【典例】五：（数列）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题的大意为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积之和各为多少？”则该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（A）A.升B.升C.升D.升【典例】六：（数列）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里，良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”在这个问题中驽马从出发到相遇时所行走的路程为___855________里。．【典例】七：我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺。以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍。问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第（C）天蒲草和莞草高度相同。（结果保留一位小数．参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．1.3

B．1.5

C．2.6

D．2.8【分析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An．莞（植物名）的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．则An=，Bn=，令=，化为：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，【典例】八：《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（面积为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何。下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（B）A3立方丈B5立方丈C6立方丈D12立方丈【典例】九：(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(B)A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【典例】十：中国古代数学经典《九章算术》中，将底面为长方形且有一侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（bienao).若三棱锥P-ABC为鳖臑，且PA⊥平面ABC,PA=AB=2,又该鳖臑的外接球的表面积为24π，则该鳖臑的体积为（）变式：在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点，连接DE，BD，BE。证明：1.DE⊥平面ABC，试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出每个面的直角；求阳马P-ABCD的体积与四面体EBCD的体积之比。（4）(四)：巩固练习练习一：《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（

）（A）

钱

（B）

钱

（C）

钱

（D）

钱练习二：我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式.人们还用过一些类似的近似公式.根据判断,下列近似公式中最精确的一个是（）A．B．C．D．试题分析：根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为a：b，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．由

设选项中的常数为

，则可知，选项A代入得，选项B代入得π==3，选项C代入可知，选项D代入可知，故D的值接近真实的值，故选D.四：小结：总结反思：解决数学文化题策略：1.转化语言2.将古