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华东理工大学线性代数作业簿（第八册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________6.1二次型及其标准型1.设矩阵与合同，则下述选项正确的是（）.()；()；()；()与有相同特征值.解：.提示：与合同即存在可逆矩阵，使得，故.2．设二次型,则此二次型的矩阵,二次型的秩为______,二次型的正交变换标准型为___________________.解：，，.提示：二次型的秩就是二次型的矩阵的秩，也是其标准型中非零项的个数（注：标准型不唯一）。因此求二次型的秩有两种方法，1)直接求二次型的矩阵的秩，2）先求的特征值，有几个非零特征值（重根按重数计算），二次型的秩就是几.设实二次型其中，则二次型的矩阵为_________.解：.提示：的值是一个数，即，故有。而为对称矩阵.若元(>2)实二次型的正交变换标准型为，则______，矩阵的迹为_____.解：0,.提示：的特征值为，根据易得.若二次型的秩为2，则参数的值为_____，表示的曲面为__________.6.设二次型经正交变换可化为标准型，证明：二次型经相同的正交变换可化为标准型．证明：＝＝（）＋（）＝．7.设二次型，试用正交变换化二次型为标准型，并讨论当取何值时，为负定二次型．解：根据上一题的结论，我们只需先求出二次型的正交变换矩阵及其标准型。经计算得二次型的矩阵的特征值为-2,-2,4.对应的线性无关的特征向量为.经施密特正交化，单位化可得所求的正交变换矩阵为,而在正交变换下的标准型为．故有：在正交变换下的标准型为．二次型为负定二次型，即,,故有（也可用顺序主子式来解）.8.设为一个n元实二次型，为A的特征值，P为正交矩阵，且.试证明：（1）；（2）在时取到的最大值就等于A的最大特征值.证明：1）令，则，故，又，故1）得证.2）令，显然，代入得．由1)得，故在时取到的最大值就等于A的最大特征值（同理取，知在时取到的最小值就等于A的最小特征值）.9.证明对任意的实对称阵A，一定存在实数

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