人教版高中物理新教材同步讲义必修第二册 第5章 4　第2课时　平抛运动的两个重要推论　一般的抛体运动（含解析）

第2课时平抛运动的两个重要推论一般的抛体运动[学习目标]1.进一步熟练运用平抛运动规律解决相关问题.2.会应用平抛运动的重要推论解决相关问题.3.了解一般抛体运动，掌握处理一般抛体运动的方法．一般的抛体运动物体被抛出时的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)．(1)水平方向：物体做匀速直线运动，初速度v0x＝v0cosθ.(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度v0y＝v0sinθ.如图所示．一、平抛运动的两个重要推论导学探究1.如图，以初速度v0水平抛出的物体，经时间t后速度方向和位移方向相同吗？分别求出两者与水平方向夹角的正切值有什么关系？答案不相同由题图知，tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)tanα＝eq\f(yA,xA)＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq\f(gt,2v0)所以tanθ＝2tanα.2．结合以上结论并观察速度反向延长线与x轴的交点，你有什么发现？答案xA＝v0t，yA＝eq\f(1,2)gt2，vy＝gt，vx＝v0，又tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(yA,xA′B)，解得xA′B＝eq\f(v0t,2)＝eq\f(xA,2).知识深化平抛运动的两个重要推论1．做平抛运动的物体在某时刻速度方向与水平方向的夹角θ、位移方向与水平方向的夹角α的关系为tanθ＝2tanα.2．做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．例1如图所示，若物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后仍落在斜面上，则物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计，物体可视为质点)()A．tanφ＝sinθ B．tanφ＝cosθC．tanφ＝tanθ D．tanφ＝2tanθ答案D解析物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向的夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为φ，由平抛运动的推论知tanφ＝2tanθ，选项D正确．例2如图所示，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R.一个小球从A点沿AB以速度v0抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是()A．v0越大，小球从抛出到落在半圆环上经历的时间越长B．即使v0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水平方向的夹角也相同C．若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环答案D解析小球落在环上的最低点C时所用时间最长，所以选项A错误；由平抛运动规律可知，小球的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，v0取值不同，小球落到环上时的位移方向与水平方向的夹角不同，则速度方向和水平方向的夹角不相同，选项B错误；小球撞击半圆环时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，故不可能过圆心，则无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环，故选项D正确，C错误．二、斜抛运动1．斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．2.斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明，如图所示)斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动．(1)速度公式：vx＝v0x＝v0cosθvy＝v0y－gt＝v0sinθ－gt(2)位移公式：x＝v0cosθ·ty＝v0sinθ·t－eq\f(1,2)gt2(3)当vy＝0时，v＝v0x＝v0cosθ，物体到达最高点hmax＝eq\f(v0y2,2g)＝eq\f(v02sin2θ,2g).3．分析技巧(1)斜上(下)抛运动问题可用运动的合成与分解进行分析，即分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上(下)抛运动．(2)对斜上抛运动①运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由初速度和抛射角决定．②由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析．例3(2021·广州市高一期末)如图所示，一位初中生将一个质量为m＝2kg的实心球抛出，球离手时距地面高度约为h＝1.8m，离手瞬间初速度约为v0＝8m/s，球到达最高点O时的速度约为v＝6m/s，忽略空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2.求：(1)O点离地面的高度H；(2)球到达O点后的运动过程中，平抛落地点与O点的水平距离s.答案(1)3.2m(2)4.8m解析(1)忽略空气阻力，小球水平方向做匀速直线运动，当球到达最高点时，其竖直方向的速度为零，此时小球的水平速度为v＝6m/s，则竖直初速度为vy＝eq\r(v02－v2)＝2eq\r(7)m/s小球竖直上升的高度为Δh＝eq\f(vy2,2g)＝1.4mO点离地面的高度H＝h＋Δh＝3.2m.(2)球到达O点后做平抛运动，则由H＝eq\f(1,2)gt2可知t＝eq\r(\f(2H,g))＝0.8s则水平距离s＝vt＝4.8m.例4如图所示，从水平地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则()A．B的加速度比A的加速度大B．B的飞行时间比A的飞行时间长C．B落地时的速度比A落地时的速度大D．B在最高点的速度与A在最高点的速度相等答案C解析A和B的加速度均等于重力加速度，即B的加速度等于A的加速度，故A错误；两球都做斜抛运动，竖直方向的分运动是竖直上抛运动，根据运动的对称性可知，两球上升和下落的时间相等，而下落过程，根据t＝eq\r(\f(2h,g))，知下落时间相等，则两球飞行的时间相等，故B错误；两球的飞行时间相等，A的水平位移小于B的水平位移，则A的水平速度小，最高点只有水平速度，故最高点A的速度比B的速度小，故D错误；落地时根据vy＝eq\r(2gh)，知A和B的竖直分速度一样大，B的水平分速度比A的水平分速度大，根据v＝eq\r(vx2＋vy2)可知，B落地时的速度比A落地时的速度大，故C正确．考点一平抛运动的两个重要推论1.如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是()A．小球水平抛出时的初速度大小为gttanθB．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为eq\f(θ,2)C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D．若小球初速度增大，则θ减小答案D解析将小球的速度、位移分解如图所示，vy＝gt，v0＝eq\f(vy,tanθ)＝eq\f(gt,tanθ)，故A错误；设位移方向与水平方向夹角为α，则tanθ＝2tanα，α≠eq\f(θ,2)，故B错误；平抛运动的落地时间由下落高度决定，与水平初速度无关，故C错误；由tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)知，t不变时，v0增大，则θ减小，故D正确．2．如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则()A．当v1>v2时，α1>α2B．当v1>v2时，α1<α2C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2D．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关答案C解析小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移方向与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq\f(gt,2v0)，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tanβ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)，故可得tanβ＝2tanθ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是β，故速度方向与斜面的夹角总是相等，与v1、v2的关系无关，C选项正确．考点二斜抛运动3.(2021·广东华南师大附中高一期中)与地面成一定角度的喷泉喷出的水如图所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是()A．水在最高点时的速度为0B．水在向上运动过程与在向下运动过程经过同一高度时的速度大小相等C．水做的是变加速曲线运动D．水在运动过程中受到的合力方向总与其速度方向垂直答案B解析与地面成一定角度的喷泉喷出的水做斜抛运动，则在最高点具有水平速度，选项A错误；根据抛体运动的对称性，水在向上运动过程与在向下运动过程经过同一高度时的速度大小一定相等，B正确；与地面成一定角度的喷泉喷出的水做斜抛运动，不计空气阻力，则只受重力，加速度为重力加速度，则做匀变速曲线运动，C错误；水在运动过程中受到的合力是重力，只有最高点时合力方向与其速度方向垂直，其余位置合力方向与速度方向不垂直，D错误．4.“过水门”是由两辆消防车相对喷水形成类似水门的造型而得名，这项寓意为“接风洗尘”的仪式，是国际民航中最高级别的礼仪．如图所示，若水柱轨迹在两相互平行的竖直面内，甲、乙两喷水口的高度相同，甲喷出的水柱最高点更高，不计空气阻力，则()A．甲喷口处的水速度一定更大B．甲喷出的水射得一定更远C．甲喷出的水在空中运动时间一定更长D．甲喷口处的水柱与水平面的夹角一定更大答案C解析将甲、乙喷出的水运动到最高点的过程逆向看作是平抛运动，甲喷出的水柱最高点更高，根据h＝eq\f(1,2)gt2，vy2＝2gh可知，甲喷出的水在空中运动时间一定更长，甲喷出的水竖直方向初速度vy更大，故C正确；甲、乙喷出的水柱在水平方向做匀速直线运动x＝vxt，由于无法得出二者水平分速度vx大小关系，所以无法得出二者喷出的水射程大小关系，故B错误；设喷出时水的初速度为v，喷口处的水柱与水平面的夹角为θ，有v＝eq\r(vx2＋vy2)，tanθ＝eq\f(vy,vx)，甲喷出的水竖直方向初速度vy更大，但vx大小关系无法确定，所以无法得出二者喷出的水初速度大小关系和初速度与水平面夹角大小关系，故A、D错误．5.如图所示，某同学分别在同一直线上的A、B、C三个位置投掷篮球，结果都击中篮筐，击中篮筐时篮球的速度方向均沿水平方向，大小分别为v1、v2、v3，若篮球出手时高度相同，速度的方向与水平方向的夹角分别是θ1、θ2、θ3，不计空气阻力，则下列说法正确的是()A．v1<v2<v3 B．v1>v2>v3C．θ1>θ2>θ3 D．θ1＝θ2＝θ3答案B解析三个篮球都垂直击中篮筐，其逆过程是平抛运动，设某一篮球击中篮筐的速度为v，上升的高度为h，水平位移为x，则有：x＝vt，h＝eq\f(1,2)gt2，可得：v＝xeq\r(\f(g,2h))，h相同，则v∝x，可得v1>v2>v3，故B正确，A错误；根据速度的分解有：tanθ＝eq\f(gt,v)，t相同，v1>v2>v3，则θ1<θ2<θ3，故C、D错误．6．从某高处以6m/s的初速度、与水平方向成30°角斜向上抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°，(忽略空气阻力，g取10m/s2)求：(1)石子在空中运动的时间；(2)石子的水平射程；(3)石子抛出后，相对于抛出点能到达的最大高度；(4)抛出点离地面的高度．答案(1)1.2s(2)eq\f(18\r(3),5)m(3)0.45m(4)3.6m解析(1)如图所示：石子落地时的速度方向和水平线的夹角为60°，则eq\f(vy,vx)＝tan60°＝eq\r(3)即：vy＝eq\r(3)vx＝eq\r(3)v0cos30°＝eq\r(3)×6×eq\f(\r(3),2)m/s＝9m/s取竖直向上为正方向，落地时竖直方向的速度向下，则－vy＝v0sin30°－gt，得t＝1.2s.(2)石子在水平方向上做匀速直线运动：x＝v0tcos30°＝6×1.2×eq\f(\r(3),2)m＝eq\f(18\r(3),5)m.(3)当石子速度的竖直分量减为0时，到达最大高度处，设最大高度为h，由于v0y＝v0sin30°＝6×eq\f(1,2)m/s＝3m/s，由v0y2＝2gh得h＝eq\f(v0y2,2g)＝eq\f(32,2×10)m＝0.45m.(4)抛出点离地面的高度h1＝|v0sin30°×t－eq\f(1,2)gt2|＝|6×eq\f(1,2)×1.2m－eq\f(1,2)×10×1.22m|＝3.6m.7.在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，