论数学观念的内涵与特性-透过教学设计的视点

论数学观念的内涵与特性——透过教学设计的视点摘要：数学观念是人们对数学的基本看法和概括认识.学生发生数学知识认识，并非直接从教科书或教师所能讲授的知识中直接吸收，而是将数学知识经过改造、专门设计、简化、典型化等手段，形成呈现于学生面前的数学问题，学生从这一问题的探究解答中，萌生数学观念，构建信息轮廓，赋予问题信息以意义，从而使数学观念转化为数学知识，同时，生成数学方法，最终促使学生形成数学的思维方式.关键词：数学观念内涵；数学观念特性；数学教学设计1问题的提出为了探讨是什么促进学生数学知识的发生与积累，并伴随数学知识发生过程，学习主体生成数学方法，最终形成数学思维方式，从而为借助数学资源提升学生主体的素养或素质作出贡献.这里，从最简单的数学计算问题出发，展开本研究的讨论：问题1：小明昨天借了小芳5元，今天还了她2元，小明还欠小芳几元？解：5—2=3（元）.其实，这个问题的本真意义，小明欠小芳的就是5元减去2元.人们养成的习惯是回答的答案为经过数学计算后的结果3元，就是说，在实际生活与生产实践中，已经形成了数学求简观念；从生活中追求问题最简结果的倾向而言，又形成了数学目标观念.由于这两种数学观念都是自生活中大量的实践背景产生，因而，一般在学生接受数学启蒙教育之前就已经掌握了，对于学校教育而言，这些可以看作是主体的一种先天的直觉观念.当学生学习分数之后，又产生了下面的新问题：问题2：小明昨天借了小芳'元，今天还了她'25元，小明还欠小芳几元？分析:按照借钱与还钱的生活实践的数学求简观念而言，小明欠小芳的钱可以写成表达式：*—'=?由于数学目标观念，需要计算出算式*—'的最简结果，自然而然地成为一种心理内驱力.与问题1的解法不同，这个问题不可能通过生活实践中的直觉方法来解答，构成了学生真正的数学问题.然而，已经形成的生活实践中的直觉形式的数学求简观念与数学目标观念依然在指导思考前进方向的心理内驱力.但是，这两种既成的数学观念很难生成指令解决问题2所需要合适操作行为，因此，在解决问题探索的教学设计中，教师需要引领学生回到生活实践中去，利用学生生活经验寻找思维延伸物标志，形成学生思维展开的支点.可以如此指导学生思考：这是一个全新的问题，我们没有学习过分数的减法，可以将其转化为整数的减法，利用整数的减法法则进行计算吗？总之，应设法引导学生从自己的心底生成利用生活实践中的人民币币值单位的转化将分数转化为整数，实现数学求简观念与数学目标观念，由于5元=5角，£元=2* 5角，于是2元一5元可以转换为5角—2角=3角!再将结论3角的角为单位转化为元为单位（统一到原问题的单位中去，避免答非所问），即3角=场元，于是，2元一5元=仍元.由于这种解法是借助了人民币币值基本单位的换算关系，具有强烈的生活背景，而非形式化的数学运算!很难迁移到新的数学问题情境中去，因此，我们需要对这种解法进行分析，从中抽象出某个主体可以实际操作数学计算过程的一般性程序因素一一某种形式化运算法则，从而为分数的加减运算奠定基础.对于学完了整数加减运算的学生而言,2—5不能计算的原因在于它们不是整数，那么，如何将其变成整数呢？为此，我们就想到找*与5是某个共同单位的整数倍（当然，最好是一个最大的单位；其实，这是更深层次的辩证的数学观念，就是说，整数与分数是相对的，是针对具体的度量单位而言，而不是固定不变），结果发现（生活实践中，将元作为币值单位，转化为角作为币值单位）就可以扮演将*与三转化为整数的这个最大单位的角色.其实，这是5在生活实践背景指导下的一种数学化归观念，可以通过将对具体人民币币值单位进行相应的抽象来实现数学化归观念，于是，我们找到了一般的分式加减的法则.从萌生数学观念的角度而言，是对人民币币值单位的转化中得到可以公度分数*,5的最大单位场，这又是一种数学抽象观念.至此，从整数的加减运算（近似于具有直觉数学观念指导）过渡到分数的加减运算（开拓出了分数加减的运算法则一-一“通分”，寻找到将几个分数转化为整数的某个最大的公度单位），其实，学生已经产生了数学求简观念，数学目标观念，数学化归观念,数学抽象观念，数学辩证观念；从思考逻辑关系出发考察，其中还蕴含着数学推理观念，例如，从产生'—5结果而言，其实是借助了客体支点，通过逻辑手段，产生了令学生信服的结果.教师通过教学设计及其课堂实施，启发学生对他们开拓出的“公度”单位进行“通分”并再次抽象,产生这种数学抽象观念的过程又是一种确定几个量的基底问题（尽管目前笔者难以选择合适的文字将其表达出来，这也具有典型的数学观念特点之一，即有的数学观念可以使用语言很好地表达，从而形成共同体的数学观念，有的数学观念只能个性化，思维者意识到但却很难传达于其他人），或者是基本量问题，到后来的学习中，我们会看到向量基底（或基本量）的重要作用.从整数加减法过渡到分数加减法计算的实现!开拓合并同类项、合并同类二次根式、复数的加减法等，奠基向量空间知识的基础观念，其实已经蕴含于小学数学分数加减运算里了，即已经具有这样具体的数学观念萌芽，由此，我们也清楚地看到数学观念的全息性（需要说明的是，数学知识的进展呈现的是环节及其联结中介的特性，前期获得的基础知识没有生成，就很难发生新的数学知识，但是，数学观念不一样，萌生高一层次的数学知识所需要的数学观念，就已经隐含在基础的数学知识所携带的数学观念当中了）及其价值口+.从发生解答简单加减法问题的认识与方法中，可以认识到，形成数学知识、方法、思想等都离不开数学观念的作用.可以说，数学教学过程就是借助于数学知识所营造出数学共同体的场域（数学语言环境）形成的具体问题，首先萌生数学观念，再经由教师的教学设计将这些数学观念转化为具体的数学思想、方法、知识等.由于智囊中已经存在的数学观念提示着新的数学观念的萌生，这样就会产生诸多数学观念，它们组成数学观念系统，主体总是利用自己的数学观念系统操作外在数学信息解决问题、发生认识，从而获得许多数学结果.那么，数学观念具有怎样的内涵与特性呢？2数学观念的内涵就前面的具体加减法计算的例子而言，一直在运用“数学观念”这个名词.那么，这个词究竟具有怎样的内涵呢？在《现代汉语词典》（商务印书馆，第五版）中，观念被释义为“思想意识或客观事物在人脑中留下的概括的形象（有时指表象）”.这与本文所使用的“数学观念”概念具有较大区别.其实，观念涉及了主客观之间的关系与关联，具有某种程度上表示主体通过萌生思想指令，从而主动地赋予客观信息以某种意义的过程，而不完全是被动内涵，因此，其词义偏向于动词，而不是名词.由此，首先探讨数学观念的内涵.数学观念是人们对数学的基本看法和概括认识，它是在面对问题信息时所萌生的心理内驱力的活水源头.数学观念以系统性的方式作用于问题，数学观念系统可以看成是由数学精神（理性探索精神），数学传统（数学文化对个体的“濡化”与数学共同体设定的约束个体的行为规范）和数学基本思想（包括由此形成的数学基本方法与主体对数学的基本态度的定势）所构成动态的认知系统.这种认知系统最终形成了精神本体结构的能动性及其逻辑思维，即主体用数学的思维方式去发现问题、表述问题、考虑问题、处理问题的自觉意识和思维习惯E.数学观念既指针对某对象、过程、问题等的特定单一认识的层面，又指诸多系统性的认识，亦即数学观念本身必然具有一定系统性的层面，本研究只使用数学观念统一表述这两个层面的意义，因此后文不再称数学观念系统这个概念了.数学观念是由数学知识转化为数学思维能力的结晶核式的中介，把大量有助于萌生与发展数学观念的素材吸引在它的周围，大大地加速数学概括的进程，并增进了主体对数学材料的理解.因此，一方面，可以把数学观念看成是对数学材料具有巨大吸引力的“洞”；另一方面，在数学观念的指导下，主体会积极开展新的探究活动，发现与创造出使用数学观念的新例证、新方法产生广泛的迁移；因此，数学观念又可以看成是一个“源”，大量的课题、方法和技巧，都可以从这个“源％中喷涌出来⑵.为了更好地刻画数学观念的内涵，需要阐释数学观念的几个具体特性.3数学观念的特性一方面，从知识特点而言，《现代汉语字典》（商务印书馆，第五版）对“知识”词条的解释是，“人们在社会实践中获得的认识和经验的总和发生数学知识认识过程的途径在于，人们首先接触的只能是信息，要从信息中意识到合适的问题!在探究解决问题中，将信息中的某些要素遴选出来，发现联系信息要素的某些线索，从而将这些信息要素组成结构，对这种结构加以检验，从而形成数学知识.这种遴选信息要素、发现信息要素之间的联系线索的途径，问题信息与知识本身都不能直接告诉探究认识的主体，这就需要主体智力的介入，数学观念在介入中起着首当其冲的作用.另一方面，就数学解题而言，首先讨论一个问题，到底是知识解决了问题，还是主体解决了问题?因为，知识是作为解题图式，构成了解题过程中的物质基础一一范畴性框架，而解题合适的知识图式的发现与安排，是解题主体.解题主体从问题信息中选择出某些要素，探究要素之间的联系线索，从而形成某个拟似于具体知识结构的信息轮廓，以这种轮廓与某个具体知识结构轮廓比较，从而选择具体知识!再次对信息轮廓与知识结构进行比较，如果两者之间还不能完全拟合，就需要再次审视问题信息，补齐两者之间所缺的线索.如此认识到，数学解题过程是主体选择知识，通过知识作用于信息、解决问题的.因此，在形成信息轮廓选择具体知识及其所需要的线索中，离不开数学观念的介入.从上述这两项分析结果中认识到，不论是发生数学新知识认识，还是使用具体数学知识解决面临的数学问题，都离不开主体数学观念的主动介入.那么，数学观念具有怎样的特性呢？数学观念的全息性数学观念与数学知识不一样，数学知识需要透过主体心理成熟（皮亚杰在《发生认识论原理》中将儿童心理发展分成了“四水平”“六阶段”'3（,每一个阶段适应于学生某些特点的数学知识，例如，处于初中阶段的学生不可能学习微积分.但是，数学观念不同于数学知识，它具有全息性特点，即为了发生低层次数学知识认识，或解决低层次的数学问题，都会帮助学生萌生学习高层次数学知识或解决高层次数学问题所必需的数学观念，因此，数学教师必须要意识到，在低年级学生学习数学知识中，渗透基本的数学观念效率会更高，此时，借助于具体数学知识突出具体数学观念，学生更容易理解与掌握山.例如，上文中的“基本量”数学观念，通过整数加法与分数加法就突出地体现了这种数学观念，随着数系的扩充，每一次这种数学观念都能辅助学习主体更直接地进入扩充数系后的学习内容.数学观念的二重性一方面，根据数学观念是学习主体心理内驱力的根源，数学观念显然不同于数学知识，其特点是辅助学习主体从数学信息过渡到数学知识，或者辅助选择适合于具体问题特点的数学知识解决问题的能动性要素，因此，数学观念对发生数学知识认识，或者用以选择数学知识解决问题的思维之间具有启动与定向（例如目标观念）、调节与控制（例如化归观念）作用.数学观念的这种特点表现为心理动力性的一面，它具有主观性、认知性与动态性的一面，正是由于它具有心理层次上的特征，又具有模糊性与个体性的一面.另一方面，从发生数学知识认识与使用合适的数学知识解决问题中，有时萌生的数学观念具有共性，这种共性可以使用合适的语言符号表达，从而外化为学习共同体可以理解的数学观念，例如，数学目标观念，数学化简观念等.由此认识到，数学观念又具有客观性的一面，这种客观性使数学观念像具体的知识一样，可以利用合适的数学学习材料，例如帮助学生发生某些合适数学知识认识，或者解决具体数学问题，可以启发或鼓励学习主体萌生相应的数学观念，但要注意的是应该采用渗透的途径，有时教师无须说明使用的具体数学观念.就是说，数学观念像数学知识一样，具有知识性及可传授性、静态性的一面.综上所述，可以认识到，数学观念具有二重性.可以使用语言符号外化的数学观念既具有知识性质，可以传授，为学习共同体所接受一面，又可以促进认知活动的发生与展开，辅助主体选择合适知识解决问题的一面；另外，对于那些目前不能使用语言符号外化的数学观念还具有模糊性与个体性特点.数学观念的系统性个体数学观念的不断累积、自调整与整合，必然要形成结构化，从而构建成了数学观念系统，在这一系统中，数学观念管辖的范围与可迁移的程度会大相径庭，它是由从对数学系统以内与数学系统以外的情境都适用的公共意识中的数学观念过渡到受过数学训练的具体解决实际数学问题的数学观念.通过前述“通分”方法来源（即由求简观念、目标观念等产生的心理内驱力，而这种求简观念与目标观念并不是数学活动所特有的）与建立教学活动，可以认识到，数学观念只有在数学中所特有的应用了，因此!“通分”方法所形成的数学观念只有在极其特殊的情况下，才能迁移到数学学科以外的其他领域.数学观念是数学知识发生的精神资质中某些综合机能的展开，从静态上看，数学观念隐含在数学知识之中，数学观念是意识机能操作外在于意识的问题信息形成数学知识，并使用数学知识与数学方法描摹某些领域中客体的特性，而开拓出人的内在观念的结晶.某些个体的观念外化所形成的符号系统!得到了数学共同体的承认，这种数学符号系统才能成为真正的数学知识.观念集之中的这么多的观念必然要组成一个动态的系统，形成数学观念的等级层次.这就是数学观念的系统性.在数学观念系统中，可以分析出层次性.例如，如图1,关于发生“异分母分数加减法则”认识所建立的数学观念系统的途径：（1）一般性数学观念（如求简观念）；（2）功能性数学观念（协调单位，使分数变成为整数的化归观念）；（3）特殊性数学观念（通分方法中所蕴含的模糊数学观念）.数学观念越具有一般性，越是对主体的生活经验依赖性高，对数学经验依赖性低，也就是说，一般性的数学观念可以统帅、指导学生意识结构中的功能性数学观念与特殊性数学观念.再由数学观念的全息性特点，这就为早期渗透数学观念，达到发展学生的观念系统，提供了理论依据.图1数学观念系统的层次在数学教学设计及其课堂实施中，从数学观念所具有这些特性出发，可以帮助学生形成数学能力与数学素养的主观基础，因为，数学观念作为中介性平台，配置着内在思维材料（表现为静态的数学知识）与外在思维材料（表现为主体面临的数学问题系统中的未解决的数学问题所提供的信息），并使这两者组合起来，形成问题空间，在探究解决问题过程中，推动了一系列数学教学目标的实现.4渗透数学观念的教学设计示例上述分析得到的数学观念内涵与特性，对于渗透数学观念的教学设计具有重要的指导作用：其一，启发学生萌生数学观念离不开合适的数学知识，因此，教师一定要分析具体数学知识特点，数学知识是形，数学观念为影，两者之间就是如影随形的关系,没有了形则影也不复存在；其中的优势在于，数学观念的全息性，低层次的数学知识中所负载的数学观念对于高层次的数学知识依然起作用，这就是早期渗透数学观念的重要意义所在.其二，可以使用语言表达的清晰数学观念与目前还难以使用语言表达的模糊数学观念同等重要，教师需要特别注意的是，帮助学生意识到模糊数学观念.其三，帮助学生体验数学观念的二重性.其四，注意发生数学知识认识或解决问题中启发萌生观念的系统性.看一个解题教学中的例子：1 9例1利用万+,①的运算过程，帮助学生建立异分母分数加法法则.师：如何求算式①的结果？生:……（省略号表示学生思维活动的暂时中断）师:为了解决问题，首先大家想一想进行加法计算需要什么条件？生1:进行加法计算的最主要的条件就是其中的每一项的单位相同，就是说!单位相同的数能够合并或相加.1 2师：那么2,,的单位都是“1”，为什么不能合并或相加呢？1 9生2：因为在以“1”为单位的情况下，万与耳都不是整数，所以无法合并.师：生2洞察到了问题的本质.那么可以将'与9,同时转化为整数吗？注：通过将分数转化为整数，刺激学生萌生数学化归观念.TOC\o"1-5"\h\z1 9生3：2与,的在单位为“1”的情况下是分数，如果缩小单位“1”，例如使用“§”为单位，那么'=12 115（,（）,,=20（如）就都变成了整数，此时就可以12 1合并这两个自然数了.于是y+y=15（-）+z1 35 7…20（30）=30=）%%.注:（1）从自然数系扩充到分数系，构成了渗透数学基本量观念的绝佳素材，因为这种数系扩充的基础性条件就是“固本原则”，即在自然数中所建立的加法等法则要以此类推到分数系中来，要实现这样的目的与要求，所采用的一项重要途径就是将扩充以后的分数系返回到扩充以前的自然数系[5],即将本1 9例中的分数2与-都转化为整数，具体的方法就是对于这两个分数，需要找到一个新的单位（即基本量），在这个单位下，这两个分数都变成了整数.12（2）这种要求是可以办到的,由于分数2与耳在单位“§”就可以转化为整数，这是一种模糊的数学观念，可以使用数学基本量来表述之，但学生难以使用具体语言符号加以表述.这种数学基本量观念体现了数学观念的全息性特点，比如，后来数系扩充时,在高年级数系内的加法运算，例如，将来学生学习合并同类项或同类根式，复数或向量的加法运算等，都一律采用基本量途径，将具体数系