2024届安徽省六安三校高二数学第一学期期末监测试题含解析

2024届安徽省六安三校高二数学第一学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若是等差数列的前项和，，则（）A.13 B.39C.45 D.212．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m3．“直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出共6名同学进行决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），和去询问成绩，回答者对说“很遗㙳，你和都末拿到冠军；对说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（）A.720种 B.600种C.480种 D.384种5．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，、分别是的两个焦点，过的直线交于、两点，若的周长为，则的离心率为（）A. B.C. D.6．已知椭圆方程为：，则其离心率为（）A. B.C. D.7．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（）A. B.C. D.8．如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线的方程是（）A. B.C. D.9．现有60瓶饮料，编号从1到60，若用系统抽样的方法从中抽取6瓶进行检验，则所抽取的编号可能为（）A.3，13，23，33，43，53 B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54 D.5，10，15，20，25，3010．记等差数列的前n项和为，若，，则等于（）A.5 B.31C.38 D.4111．椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（）A.3 B.4C.6 D.812．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数在处有极值2，则______.14．已知等差数列公差不为0，且，，等比数列，则_________.15．在梯形中，，，.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为______.16．已知双曲线C：的两焦点分别为，，P为双曲线C上一点，若，则=___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求a的取值范围.18．（12分）已知函数在处取得极值（1）若对任意正实数，恒成立，求实数的取值范围；（2）讨论函数的零点个数19．（12分）已知圆与（1）过点作直线与圆相切，求的方程；（2）若圆与圆相交于、两点，求的长20．（12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点.（1）证明：AB1//面BC1D；（2）若AA1=AB，求二面角B1-AC-C1的余弦值.21．（12分）已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，求面积的最大值22．（10分）物联网(Internetofthings)是一个基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能够被独立寻址的普通物理对象实现互联互通的网络，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：千米）之间的关系为，每月库存货物费（单位：万元）与x之间的关系为：；若在距离车站11.5千米建仓库，则和分别为4万元和23万元.（1）求的值；（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】先根据等差数列的通项公式求出，然后根据等差数列的求和公式及等差数列的下标性质求得答案.【详解】设等差数列的公差为d，则，则.故选：B.2、A【解析】根据题意先建立恰当的坐标系，可设出抛物线方程，利用已知条件得出点在抛物线上，代入方程求得p值，进而求得焦点到顶点的距离.【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O重合，焦点F在x轴上设抛物线的标准方程为，由已知条件可得，点在抛物线上，所以，解得，因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m，故选：A.3、B【解析】直线倾斜角的范围是[0°,180°)，直线斜率为倾斜角(不为90°)的正切值，据此即可判断求解.【详解】直线的斜率不大于0，则直线l斜率可能等于零，此时直线倾斜角为0°，不为钝角，故“直线的斜率不大于0”不是“直线的倾斜角为钝角”充分条件；直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率为负，满足直线的斜率不大于0，即“直线的倾斜角为钝角”是“直线的斜率不大于0”的充分条件，“直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的必要条件；综上，“直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的必要不充分条件.故选：B.4、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4种情况，再排，也有4种情况，余下的问题是4个元素在4个位置全排列，根据分步计数原理求解即可【详解】由题意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4种情况，再排，也有4种情况，余下4人有种情况，利用分步相乘计数原理知有种情况故选：D.5、A【解析】本题首先可根据题意得出，然后根据的周长为得出，最后根据求出的值，即可求出的离心率.【详解】因为椭圆的面积为，所以长半轴长与短半轴长的乘积，因为的周长为，所以根据椭圆的定义易知，，，，则的离心率，故选：A.6、B【解析】根据椭圆的标准方程，确定，计算离心率即可.【详解】由知，，，，即，故选：B7、A【解析】设，计算出重心坐标后代入欧拉方程，再求出外心坐标，根据外心的性质列出关于的方程，最后联立解方程即可.【详解】设，由重心坐标公式得，三角形的重心为，，代入欧拉线方程得：，整理得：①的中点为，，的中垂线方程为，即联立，解得的外心为则，整理得：②联立①②得：，或，当，时，重合，舍去顶点的坐标是故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程.8、B【解析】设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为，，则，利用点差法可得答案.【详解】设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为，，则因为，两式相减可得，，即由中点公式可得，所以，即，所以AB所在直线方程为，即故选：B9、A【解析】求得组距，由此确定正确选项.【详解】，即组距为，A选项符合，其它选项不符合.故选：A10、A【解析】设等差数列的公差为d，首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案.【详解】解：设等差数列的公差为d，由题知：，解得.故选：A.11、D【解析】令椭圆C的右焦点，由已知条件可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.【详解】令椭圆C的右焦点，依题意，线段与互相平分，于是得四边形为平行四边形，因此，而椭圆：的长半轴长，所以.故选：D12、D【解析】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，，因此异面直线与所成角的余弦值等于.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6【解析】根据函数在处有极值2，可得，解方程组即可得解.【详解】解：，因为函数在处有极值2，所以，即，解得，则，故当时，，当时，，所以函数在处有极大值，所以，所以.故答案为：6.14、【解析】设等差数列的公差为，由，，等比数列，可得，则的值可求【详解】解：设等差数列的公差为，，，等比数列，，则，得，故答案为：15、##【解析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可【详解】梯形ABCD：由题意可知空间几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的圆锥，几何体的体积为：故答案为：16、18或2##2或18【解析】先由双曲线的方程求出，再利用双曲线的定义列方程求解即可【详解】由，得，则，因为双曲线C：的两焦点分别为，，P为双曲线C上一点，所以，即，所以或，因为，所以或都符合题意，故答案为：18或2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）在上单调递减，在上单调递增（2）【解析】（1）研究当时的导数的符号即可讨论得到的单调性；（2）对原函数求导，对a的范围分类讨论即可得出答案.【小问1详解】当时，，令，则，所以在上单调递增.又因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】，且.①当时，由（1）可知当时，所以在上单调递增，则，符合题意.②当时，，不符合题意，舍去.③当时，令，则，则，，当时，，所以在上单调递减，当时，，不符合题意，舍去.综上，a的取值范围为.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用18、（1）（2）答案见解析.【解析】（1）根据极值点求出，再利用导数求出的最大值，将不等式恒成立化为最大值成立可求出结果；（2）利用导数求出函数的极大、极小值，结合函数的图象分类讨论可得结果.【小问1详解】函数的定义域为，因为，且在处取得极值，所以，即，得，此时，当时，，为增函数；当时。，为减函数，所以在处取得极大值，也是最大值，最大值为，因为对任意正实数，恒成立，所以，得.【小问2详解】，，由，得，由，得或，所以在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，所以在时取得极大值为，在时取得极小值为，因为当大于0趋近于0时，趋近于负无穷，当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，所以当，即时，有且只有一个零点；当，即时，有且只有两个零点；当，即时，有且只有三个零点；当，即时，有且只有两个零点；当，即时，有且只有一个零点.综上所述：当或时，有且只有一个零点；当或时，有且只有两个零点；当时有且只有三个零点.19、（1）或（2）【解析】（1）根据已知可得圆心与半径，再利用几何法可得切线方程；（2）联立两圆方程可得公共弦方程，进而可得弦长.【小问1详解】解：圆的方程可化为：，即：圆的圆心为，半径为若直线的斜率不存在，方程为：，与圆相切，满足条件若直线的斜率存在，设斜率为，方程为：，即：由与圆相切可得：，解得：所以的方程为：，即：综上可得的方程为：或【小问2详解】联立两圆方程得：，消去二次项得所在直线的方程：，圆的圆心到的距离，所以.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1），连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）说明平面，取的中点F，连接，以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【小问1详解】证明：记，连接，由直棱柱的性质可知四边形是矩形，则E为的中点.因为D是的中点，所以，又平面平面，所以平面；【小问2详解】因为底面是等边三角形，D是的中点，所以，由直棱柱的性质可知平面平面，平面平面，面，所以平面，取的中点F，连接，则两两垂直，故以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，从而，设平面的法向量为，则，令x=2，得，同理平面的一个法向量为，则cosm由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角B1-AC-C1的余弦值为.21、（1）（2）【解析】（1）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数性质求解（2）由余弦