2023-2024学年云南省元江县民族中学高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2023-2024学年云南省元江县民族中学高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若1，m，9三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（）A.或 B.或2C.或 D.或22．若数列满足，，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.3．等差数列中，,，则当取最大值时，的值为A.6 B.7C.6或7 D.不存在4．已知，，，执行如图所示的程序框图，输出值为（）A. B.C. D.5．已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6．在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为A. B.1C. D.7．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.8．已知直线过点，当直线与圆有两个不同的交点时，其斜率的取值范围是（）A. B.C. D.9．设，是椭圆C：的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）A. B.C. D.10．“”是“方程为双曲线方程”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11．已知数列的前项和为，当时，（）A.11 B.20C.33 D.3512．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，，抛物线的准线与轴交于点，则的面积为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，已知椭圆E的方程为(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________14．若数列满足，则称为“追梦数列”.已知数列为“追梦数列”，且，则数列的通项公式__________.15．已知、是椭圆（）长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线，的斜率分别为，（）．若椭圆的离心率为，则的最小值为______16．某学生到某工厂进行劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.（取）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点，（1）若过点P作的切线只有一条，求实数的值及切线方程；（2）过点P作斜率为1的直线l与相交于M，N两点，当面积最大时，求实数的值18．（12分）已知是边长为2的正方形，正方形绕旋转形成一个圆柱；（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形绕顺时针旋转至，求异面直线与所成角的大小19．（12分）如图所示，四棱锥的底面为矩形，，，过底面对角线作与平行的平面交于点（1）求二面角的余弦值；（2）求与所成角的余弦值；（3）求与平面所成角的正弦值20．（12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，.（1）求点C到平面的距离；（2）线段上是否存在点F，使与平面所成角正弦值为，若存在，求出，若不存在，说明理由.21．（12分）在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面为等腰直角三角形，，，点E为棱AD的中点（1）求证：平面ABCD；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值22．（10分）在四棱锥中，平面，底面是边长为2的菱形，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】运用等比数列的性质可得，再讨论，，求出曲线的，，由离心率公式计算即可得到【详解】三个数1，，9成等比数列，则，解得，，当时，曲线为椭圆，则；当时，曲线为为双曲线，则离心率故选：2、B【解析】根据等差数列的定义和通项公式直接得出结果.【详解】因为，所以数列是等差数列，公差为1，所以.故选：B3、C【解析】设等差数列的公差为∵∴∴∴∵∴当取最大值时，的值为或故选C4、A【解析】模拟程序运行可得程序框图的功能是计算并输出三个数中的最小数，计算三个数判断作答.【详解】模拟程序运行可得程序框图的功能是计算并输出三个数中的最小数，因，，，则，不成立，则，不成立，则，所以应输出的x值为.故选：A5、B【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系分析选项A,C,D，由平面与平面垂直的判定定理判定选项D.【详解】选项A.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.选项B.由，，则，故正确.选项C.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.选项D.由,,则可能相交，可能平行，故不正确.故选：B6、A【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.【详解】如图所示由正四面体的性质可得：可得：是棱中点故选：【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.7、A【解析】先化简函数表达式，然后再平移即可.【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象.故选：A8、A【解析】设直线方程，利用圆与直线的关系，确定圆心到直线的距离小于半径，即可求得斜率范围.【详解】如下图：设直线l的方程为即圆心为，半径是1又直线与圆有两个不同的交点故选：A9、B【解析】先设，根据P在椭圆上得到，由，得到的范围，即为离心率的范围.【详解】由椭圆的方程可得，，设，由，则，即，由P在椭圆上可得，所以，代入可得所以，因为，所以整理可得：，消去得：所以，即所以.故选：B10、C【解析】先求出方程表示双曲线时满足的条件，然后根据“小推大”的原则进行判断即可.【详解】因方程为双曲线方程，所以，所以“”是“方程为双曲线方程”的充要条件.故选：C.11、B【解析】由数列的性质可得，计算可得到答案.【详解】由题意，.故答案为B.【点睛】本题考查了数列的前n项和的性质，属于基础题.12、B【解析】画出图形，利用已知条件结合抛物线的定义求解边长CF，BK，然后求解三角形的面积即可【详解】如图，设拋物线的准线为，过作于，过作于，过作于，设，则根据抛物线的定义可得，，，的面积为，故选：.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】首先利用椭圆的对称性和为平行四边形，可以得出、两点是关于轴对称，进而得到；设，，，从而求出，然后由，利用，求得，最后根据得出离心率【详解】解：是与轴重合的，且四边形为平行四边形，所以、两点的纵坐标相等，、的横坐标互为相反数，、两点是关于轴对称的由题知：四边形为平行四边形，所以可设，，代入椭圆方程解得：设为椭圆的右顶点，，四边形为平行四边形对点：解得：根据：得：故答案为：14、##【解析】根据题意，由“追梦数列”的定义可得“追梦数列”是公比为的等比数列，进而可得若数列为“追梦数列”，则为公比为3的等比数列，进而由等比数列的通项公式可得答案【详解】根据题意，“追梦数列”满足，即，则数列是公比为的等比数列.若数列为“追梦数列”，则.故答案为：.15、【解析】设出点，，，的坐标，表示出直线，的斜率，作和后利用基本不等式求最值，利用离心率求得与的关系，则答案可求详解】解：设，，，，，，，，，，，当且仅当，即时等号成立，是椭圆长轴的两个端点，，是椭圆上关于轴对称的两点，，，即，的最小值为，椭圆的离心率为，，即，得，的最小值为故答案为：16、4500【解析】根据题意可知大圆柱的底面圆的半径，两圆柱的高，设小圆柱的底面圆的半径为，再根据小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，求出小圆柱的底面圆的半径，然后求出该模型的体积，从而可得出答案.【详解】解：根据题意可知大圆柱的底面圆的半径，两圆柱的高，设小圆柱的底面圆的半径为，则有，即，解得，所以该模型的体积为，所以制作该模型所需原料的质量为.故答案：4500.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；当时，切线方程为；当时，切线方程为；（2）或【解析】(1)根据题意可知P在圆上，据此即可求t和切线方程；(2)的面积，则当面积最大时，．即，据此即可求出圆心O到直线l的距离，即可求出t的数值.【小问1详解】由题意得点在上，∴，，①当时，切点，直线OP的斜率，切线斜率，切线方程为，即②当时，切点，直线OP的斜率，切线斜率，切线方程，即【小问2详解】∵的面积，则当面积最大时，．即，则圆心O到直线l距离又直线，即，则，解之得或注：亦可设圆心O到直线l的距离为d，则的面积，当且仅当，即时取等号(下同)18、（1）（2）【解析】（1）利用表面积公式直接计算得到答案.（2）连接和，，故即为异面直线与所成角，证明，根据长度关系得到答案.【小问1详解】【小问2详解】如图所示：连接和，，故即为异面直线与所成角，，，，故平面，平面，故，，故，直角中，，，，故异面直线与所成角的大小为.19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）设，连接、，证明出平面，推导出为的中点，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值；（2）利用空间向量法可求得与所成角的余弦值；（3）利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值.【小问1详解】解：设，则为、的中点，连接、，因为平面，平面，平面平面，则，因为为的中点，则为的中点，因为，为的中点，则，同理可证，，平面，，，则，，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设平面的法向量为，，，由，取，可得，易知平面的一个法向量为，.由图可知，二面角的平面角为锐角，因此，二面角的余弦值为.【小问2详解】解：，，，因此，与所成角的余弦值为.【小问3详解】解：，，因此，与平面所成角的正弦值为.20、（1）（2）存在，1【解析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得平面向量的法向量和相应点的坐标，利用点面距离公式即可求得点面距离（2）假设满足题意的点存在且满足，由题意得到关于的方程，解方程即可确定满足题意的点是否存在【小问1详解】解：如图所示，取中点，连结，，因为三角形是等腰直角三角形，所以，因为面面，面面面，所以平面，又因为，所以四边形是矩形，可得，则，建立如图所示的空间直角坐标系，则：据此可得，设平面的一个法向量为，则，令可得，从而，又，故求点到平面的距离【小问2详解】解：假设存在点，，满足题意，点在线段上，则，即：，，，，，据此可得：，，从而，，，，设与平面所成角所成的角为，则，整理可得：，解得：或（舍去）据此可知，存在满足题意的点，点为的中点，即21、(1)证明见解析，(2)【解析】（1）题中易得，，利用勾股定理可得，从而可证得线面垂直；（2）以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角的正弦值【详解】（1）证明：在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面为等腰直角三角形，，，点E为棱AD的中点，，，，，，，平面ABCD（2）以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，0，，，0，，，，，，设平面PBC的法向量y，，则，取，得1，，设直线AB与平面PBC所成角，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为：【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求线面角．空间角