高三北师大版数学（理）一轮课时检测 5.2 平面向量基本定理及坐标表示 含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精5。2平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1．设平面向量a＝（－1,0)，b＝(0，2），则2a－3bA．(6,3） B．（－2，－6）C．(2，1） D．(7，2）解析:2a－3b＝（－2，0）－(0,6）＝(－2,－6)．答案：B2．已知平面向量a＝(x，1）,b＝（－x,x2）,则向量a＋b(）．A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线解析由题意得a＋b＝（x－x,1＋x2）＝(0，1＋x2)，易知a＋b平行于y轴．答案C3．已知平面向量a＝（1,2)，b＝（－2，m），且a∥b，则2a＋3bA．（－2，－4） B．（－3，－6）C．(－4，－8） D．（－5，－10)解析由a＝（1，2），b＝(－2,m)，且a∥b，得1×m＝2×（－2）⇒m＝－4，从而b＝（－2，－4），那么2a＋3b答案C4。设点A（2,0），B（4，2)，若点P在直线AB上，且|eq\o(AB，\s\up6(→））｜＝2｜eq\o(AP，\s\up6（→））|,则点P的坐标为(）A．（3，1)B．（1，－1）C．(3,1)或（1,－1)D．无数多个解析设P(x,y),则由｜eq\o（AB,\s\up6(→))｜＝2｜eq\o（AP，\s\up6（→)）｜，得eq\o（AB，\s\up6（→))＝2eq\o（AP，\s\up6(→））或eq\o(AB，\s\up6(→))＝－2eq\o(AP，\s\up6(→）），eq\o(AB，\s\up6（→)）＝（2,2),eq\o(AP,\s\up6(→））＝(x－2,y)，即(2，2)＝2（x－2，y)，x＝3，y＝1，P（3,1)，或（2,2)＝－2(x－2，y),x＝1，y＝－1,P（1，－1）．答案C5.若向量=（1,2）,=（3，4)，则=(）A（4,6)B(—4，—6)C(—2,-2)D(2,2)答案A解析因为=+=,所以选A。6．已知向量a＝(x＋z，3)，b＝（2，y－z)，且a⊥b，若x，y满足不等式|x｜＋|y｜≤1，则z的取值范围为()．A．［－2，2］ B．[－2，3］C．[－3，2］ D．[－3,3］解析因为a⊥b，所以a·b＝0，所以2x＋3y＝z，不等式｜x｜＋｜y｜≤1可转化为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y≤1x≥0，y≥0，,x－y≤1x≥0,y＜0，,－x＋y≤1x＜0，y≥0，，－x－y≤1x＜0，y＜0，）)由图可得其对应的可行域为边长为eq\r(2），以点（1,0），(－1，0)，(0,1），（0,－1)为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x＋3y＝z过点（0，－1）时z有最小值－3，当过点（0,1）时z有最大值3.所以z的取值范围为［－3，3]．答案D7．设两个向量a＝（λ＋2，λ2－cos2α)和b＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(m,\f（m,2)＋sinα）)，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则eq\f(λ，m）的取值范围是(）．A．[－6，1］ B．［4,8］C．（－∞，1] D．［－1，6]解析由a＝2b，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(λ＋2＝2m,,λ2－cos2α＝m＋2sinα。））由λ2－m＝cos2α＋2sinα＝2－（sinα－1)2,得－2≤λ2－m≤2,又λ＝2m则－2≤4(m－1）2－m≤2,∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(4m2－9m＋2≤0，，4m2－9m＋6≥0.）)解得eq\f（1,4)≤m≤2，而eq\f(λ,m）＝eq\f（2m－2,m)＝2－eq\f（2，m），故－6≤eq\f（λ，m)≤1,即选A。答案A二、填空题8。设a＝（1，2）,b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝（－4，－7）共线,则λ＝________。解析∵λa＋b＝（λ＋2,2λ＋3）与c＝（－4，－7)共线，∴(λ＋2)×（－7）－（2λ＋3)×(－4)＝0，解得λ＝2。答案29．若三点A（2，2),B（a,0)，C（0，b）（ab≠0）共线，则eq\f（1,a)＋eq\f(1,b)的值为________．解析eq\o(AB，\s\up16（→））＝(a－2,－2）,eq\o（AC，\s\up16(→）)＝(－2，b－2）,依题意，有(a－2)（b－2）－4＝0,即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a）＋eq\f（1，b）＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2）10．设向量a，b满足｜a|＝2eq\r（5），b＝（2，1），且a与b的方向相反，则a的坐标为________．解析设a＝λb(λ＜0），则｜a｜＝|λ｜｜b|，∴｜λ｜＝eq\f（｜a｜，｜b｜），又｜b|＝eq\r（5），|a|＝2eq\r（5).∴|λ|＝2,∴λ＝－2。∴a＝λb＝－2（2,1)＝(－4,－2）．答案(－4，－2）11．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2,b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合,即e1＋e2＝________a＋________b.解析由题意,设e1＋e2＝ma＋nb.又因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m（e1＋2e2）＋n(－e1＋e2)＝(m－n）e1＋（2m＋n）e2由平面向量基本定理,得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,2m＋n＝1，）)所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝\f（2，3）,,n＝－\f(1，3）.))答案eq\f（2，3）－eq\f(1，3)12．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC。已知点A(－2,0），B（6，8)，C(8,6），则D点的坐标为________．解析由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．设D（x，y)，则有eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16（→))，即（6,8）－（－2，0)＝(8，6）－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2）．答案(0，－2)三、解答题13．已知点A（－1，2）,B(2，8)以及eq\o（AC,\s\up16（→))＝eq\f(1，3)eq\o（AB，\s\up16(→）），eq\o(DA,\s\up16(→））＝－eq\f(1,3）eq\o(BA，\s\up16（→))，求点C，D的坐标和eq\o(CD，\s\up16(→）)的坐标．解析设点C，D的坐标分别为(x1，y1)、(x2,y2），由题意得eq\o（AC,\s\up16（→))＝（x1＋1，y1－2),eq\o（AB,\s\up16（→))＝(3，6)，eq\o（DA，\s\up16(→)）＝（－1－x2，2－y2）,eq\o(BA,\s\up16(→）)＝(－3，－6）．因为eq\o(AC,\s\up16（→））＝eq\f(1，3)eq\o(AB，\s\up16（→）)，eq\o（DA,\s\up16(→)）＝－eq\f(1，3)eq\o（BA，\s\up16(→））,所以有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x1＋1＝1,，y1－2＝2，）)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－1－x2＝1，，2－y2＝2。))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x1＝0，,y1＝4，)）和eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝0。)）所以点C，D的坐标分别是（0,4)、（－2,0)，从而eq\o(CD，\s\up16（→）)＝（－2，－4）．14．已知A（1，1)、B(3,－1)、C(a，b）．(1）若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)若＝2，求点C的坐标．解析:（1)由已知得＝(2，－2）,＝（a－1，b－1），∵A、B、C三点共线，∴∥.∴2（b－1）＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2。(2)∵＝2,∴(a－1,b－1)＝2（2，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a－1＝4，，b－1＝－4,)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5,，b＝－3。））∴点C的坐标为(5，－3)．15．已知向量eq\o（OA,\s\up16（→)）＝(3,4），eq\o(OB,\s\up16(→)）＝(6，－3)，Oeq\o(C,\s\up16(→）)＝（5－m，－3－m)．若点A，B,C能构成三角形，求实数m满足的条件．解析∵eq\o(AB,\s\up16(→））＝eq\o（OB，\s\up16(→））－eq\o（OA，\s\up16（→))＝（3，－7)，eq\o(AC,\s\up16（→）)＝eq\o（OC，\s\up16(→)）－eq\o（OA,\s\up16（→)）＝(2－m，－7－m），又A，B，C能构成三角形，故点A,B，C不共线,即eq\o(AB，\s\up16（→)），eq\o(AC,\s\up16(→)）不共线，∴3×(－7－m)－（－7）×（2－m)≠0,得m≠－eq\f（7，10)，故m应满足m≠－eq\f(7，10)。16．已知O(0，0），A(1，2），B(4,5)及eq\o（OP，\s\up16（→)）＝eq\o(OA，\s\up16（→））＋teq\o（AB,\s\up16(→)），求（1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限?（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．解析(1)eq\o(OP,\s\up16（→)）＝eq\o(OA，\s\up16(→）)＋teq\o(AB，\s\up16（→))＝（1＋3t,2＋3t）．若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－eq\f（2,3）；若P在y轴上,只需1＋3t＝0，∴t＝－eq\f(1,3)；若P在第二象限，则eq\b\lc\{\rc\(\a\