第1-控制系统的状态空间表达式课件

本章结构第1章控制系统的状态空间表达式

1.1

状态变量及状态空间表达式

1.2

状态空间表达式的模拟结构图

1.3

状态空间表达式的建立（一）

1.4

状态空间表达式的建立（二）

1.5

状态变量的线性变换

1.6

从状态空间表达式求传递函数

1.7离散时间系统的状态空间表达式

1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式1第1页/共88页绪论1.1状态变量及状态空间表达式状态描述一个系统得过去、现在和将来的状况状态变量足以表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量例如微分方程：2第2页/共88页注1.1-1：一个用n阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动也就被揭示无遗。注1.1-2：状态变量的个数等于系统独立储能元件的个数。1.1状态变量及状态空间表达式表示，并把这些状3状态矢量如果n个状态变量用态看作是 的分量，则就称作状态矢量：4状态空间以状态变量为坐标轴构成的n维空间，称为状态空间。随着时间的推移， 将在状态空间中描述出一条轨迹，称为状态轨迹。3第3页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式状态方程描述系统状态与输入之间关系的一阶微分方程组：输出方程描述系统输出与状态、输入之间关系的表达式：状态空间表达式状态方程+输出方程，构成一个系统完整的动态描述：4第4页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式例1.1-1

求R-L-C电路的状态空间表达式，输出为电容两端电压图1.1-1

R-L-C电路例题1.1【解答】1选择状态变量状态变量个数：独立储能元件个数。所以选择电容C两端电压，和流经电感L的电流。5第5页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式例题1.1-1【解答】2列写一阶微分方程3列写状态方程和输出方程（1）状态方程6第6页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式例题1.1-1【解答】3列写状态方程和输出方程（2）输出方程4列写状态空间表达式7第7页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式8第8页/共88页8状态空间表达式的一般形式状态矩阵输入矩阵直接转移矩阵输出向量输出矩阵状态向量输入向量1.1状态变量及状态空间表达式8状态空间表达式的一般形式（1）SISO（2）MIMO9第9页/共88页1.1状态变量及状态空间表达式9状态空间表达式系统框图注1.1-3：从状态空间表达式与系统框图可以看出，状态空间方法既表征了输入对系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响。所以状态空间表达式是对系统的一种完全描述。10第10页/共88页本章结构第1章控制系统的状态空间表达式

1.1

状态变量及状态空间表达式

1.2

状态空间表达式的模拟结构图

1.3

状态空间表达式的建立（一）

1.4

状态空间表达式的建立（二）

1.5

状态变量的线性变换

1.6

从状态空间表达式求传递函数

1.7离散时间系统的状态空间表达式

1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式11第11页/共88页绪论1.2状态空间表达式的模拟结构图作用采用模拟结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。三类基本框图12第12页/共88页1.2状态空间表达式的模拟结构图例1.2-1设一阶系统状态方程为 则其状态图为例1.2-2设三阶系统状态空间表达式为13第13页/共88页1.2状态空间表达式的模拟结构图14第14页/共88页本章结构第1章控制系统的状态空间表达式

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状态变量及状态空间表达式

1.2

状态空间表达式的模拟结构图

1.3

状态空间表达式的建立（一）

1.4

状态空间表达式的建立（二）

1.5

状态变量的线性变换

1.6

从状态空间表达式求传递函数

1.7离散时间系统的状态空间表达式

1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式15第15页/共88页绪论1.3状态空间表达式的建立（一）用状态空间法分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式，一般有3种途径：由系统方块图来建立从机理特性出发建立由高阶微分方程和传递函数建立1由系统框图建状态空间表达式例1.3-1

系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式16第16页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-1

系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式17第17页/共88页例题1.3-1

【解答】求解步骤：选择状态变量列写状态方程列写输出方程写成状态空间表达式1.3状态空间表达式的建立（一）1选择状态变量每一个方块的后面，除比例环节。2列写状态方程4列写状态空间形式例1.3-1

系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式x3

x2

x13列写输出方程18第18页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-2

系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式例1.3-3

系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式19第19页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-3

系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式z-p20第20页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）2从机理特性出发建状态空间表达式一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的状态方程。弹簧-质量-阻尼器系统21第21页/共88页电路系统系统1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-4

如图1.3-4所示的电路，试以电压u为输出，以电容C上的电压uc为输出变量，列写其状态空间表达式图1.3-4电路系统系统例题1.3-4【解答】1选择状态变量电路的贮能元件有电感L1，L2和电容C。考虑到i1、i2、uc这三个变量是独立的，故可确定为系统的状态变量。22第22页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）2列写状态方程根据基尔霍夫定律列写电路方程现在令x1=i1，x2=i2，x3=uc，将上式写成矩阵形式即为状态方程23第23页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）3列写输出方程由于前面已指出电容上的电压uc为输出变量，故系统的输出方程为4整理成状态空间表达式24第24页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）例1.3-5

如图1.3-5所示，输入为外力F(t)，输出为位移y(t)，小车质量为m，试建立机械位移系统的状态空间表达式图1.3-5

弹簧-质量-阻尼器系统例题1.3-5【解答】1选择状态变量选择位移y(t)，速度y’(t)为系统的状态变量。25第25页/共88页1.3状态空间表达式的建立（一）2列写状态方程根据牛顿运动学定律列写运动方程现在令x1=y，x2=ẏ，将上式写成矩阵形式即为状态方程4整理成状态空间表达式3列写输出方程26第26页/共88页本章结构第1章控制系统的状态空间表达式

1.1

状态变量及状态空间表达式

1.2

状态空间表达式的模拟结构图

1.3

状态空间表达式的建立（一）

1.4

状态空间表达式的建立（二）

1.5

状态变量的线性变换

1.6

从状态空间表达式求传递函数

1.7离散时间系统的状态空间表达式

1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式27第27页/共88页绪论1.4状态空间表达式的建立（二）28第28页/共88页在经典控制理论中，系统的模型采用微分方程或传递函数来表示，表示的是系统输入-输出之间的关系。这一节将讲解如何从微分方程或传递函数来得到系统的状态空间表达式，控制上将这种问题称为实现问题。能控标准型能观标准型对角标准型Jordan（约旦）标准型1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型考虑由下式定义的系统（单变量线性定常，）系统的传递函数为：(1)m=0系统的传递函数为：29第29页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型m=0系统模拟结构图为：系统状态方程为：输出方程为：30第30页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型m=0系统状态空间表达式为：31第31页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-1系统的输入输出微分方程为：列写其状态方程和输出方程例题1.4-1【解答】1直接按能控标准型列写32第32页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠0系统的传递函数为：设待实现系统的传递函数为：33第33页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠034第34页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠035第35页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）1能控标准型(2)m≠0推广到n阶，状态空间表达式为：36第36页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）2能观标准型37第37页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-2系统的输入输出微分方程为：列写其状态方程和输出方程例题1.4-2【解答】1直接按能控标准型列写38第38页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）3对角标准型当系统的传递函数如下表示时：考虑分母多项式中只含相异根的情况。39第39页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）3对角标准型状态变量的拉普拉斯变换为40第40页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型当系统的传递函数如下表示时：考虑分母多项式中含有重根的情况。41第41页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型42第42页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型设n阶系统只有一个独立的n重极点s1.则G(s)由部分分式法展开为其中，设状态

变量为：43第43页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）4约旦标准型44第44页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-3系统的输入输出传递函数为：列写其对角标准型状态方程和输出方程例题1.4-3【解答】1化为真有理式45第45页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）2列写对角标准型46第46页/共88页1.4状态空间表达式的建立（二）例1.4-4系统的输入输出传递函数为：列写其能控、能观、对角标准型状态方程和输出方程能控标准型对角标准型能观标准型47第47页/共88页本章结构第1章控制系统的状态空间表达式

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状态变量及状态空间表达式

1.2

状态空间表达式的模拟结构图

1.3

状态空间表达式的建立（一）

1.4

状态空间表达式的建立（二）

1.5

状态变量的线性变换

1.6

从状态空间表达式求传递函数

1.7离散时间系统的状态空间表达式

1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式48第48页/共88页绪论1.5状态变量的线性变换1线性变换的概念如前所述，一个n阶系统必有n个状态变量。然而，这n个状态变量的选择却不是唯一的。但它们之间存在着线性变换关系。（1）定义：状态x与z的变换，称为状态的线性变换．由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此，状态变换的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。线性变换关系为：或注：T为非奇异矩阵49第49页/共88页1.5状态变量的线性变换1线性变换的概念（2）基本关系式：设一个n阶系统，状态矢量为x,其状态空间表达式为现取线性变换为,其中:

是阶非奇异阵。代入上述表达式，得50第50页/共88页1.5状态变量的线性变换例1.5-151第51页/共88页1.5状态变量的线性变换52第52页/共88页1.5状态变量的线性变换53第53页/共88页1.5状态变量的线性变换54第54页/共88页1.5状态变量的线性变换55第55页/共88页1.5状态变量的线性变换2系统特征值的不变性及系统的不变量（1）系统的特征值：对于线性定常系统，系统的特征值是一个重要的概念，它决定了系统的基本特性。对于系统：系统的特征值就是系统矩阵A的特征值。系统的特征方程为：系统的特征多项式为：若：56第56页/共88页1.5状态变量的线性变换2系统特征值的不变性及系统的不变量（2）系统不变性与特征值的不变性尽管

与 形式不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。57第57页/共88页1.5状态变量的线性变换2系统特征值的不变性及系统的不变量（3）特征值向量（矢量）例1.5-258第58页/共88页1.5状态变量的线性变换59第59页/共88页1.5状态变量的线性变换60第60页/共88页1.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型约旦标准型包括两种情况，一种是对角型，一种是标准型。对于系统：A特征值无重根A特征值有重根61第61页/共88页1.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型A特征值无重根步骤求A的特征值求特征值对应的特征向量定义转化矩阵为：求新的状态表达式62第62页/共88页1.5状态变量的线性变换例1.5-3将下面系统化为对角标准型例1.5-3解答1求A的特征值得到：63第63页/共88页1.5状态变量的线性变换2求特征值对应的特征向量当

时由同理：3定义转化矩阵为：64第64页/共88页1.5状态变量的线性变换4求新的状态表达式65第65页/共88页1.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型A特征值有重根步骤求A的特征值求特征值对应的特征向量定义转化矩阵为：求新的状态表达式66第66页/共88页1.5状态变量的线性变换例1.5-4①67第67页/共88页1.5状态变量的线性变换②68第68页/共88页1.5状态变量的线性变换③69第69页/共88页1.5状态变量的线性变换④70第70页/共88页1.5状态变量的线性变换例1.5-3解答例1.5-5将A化为对角标准型线性无关的两个向量71第71页/共88页1.5状态变量的线性变换求的：注1.5-1：A有重特征值，但A仍有n个独立的特征向量注1.5-2：A有重特征值，但A的独立特征矢量个数小于系统的阶数n72第72页/共88页1.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型（3）A为能控标准型①A的特征值无重根时73第73页/共88页Vandermonde范德蒙德矩阵1.5状态变量的线性变换3状态空间表达式变换成约旦标准型②

A的特征值有重根时 以有三重根为例③A的特征值有共轭复根时74第74页/共88页1.5状态变量的线性变换例1.5-3解答例1.5-6将A化为约旦标准型75第75页/共88页本章结构第1章控制系统的状态空间表达式

1.1

状态变量及状态空间表达式

1.2

状态空间表达式的模拟结构图

1.3

状态空间表达式的建立（一）

1.4

状态空间表达式的建立（二）

1.5

状态变量的线性变换

1.6

从状态空间表达式求传递函数

1.7离散时间系统的状态空间表达式

1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式76第76页/共88页绪论1.6从状态空间表达式求传递函数1传递函数在经典理论中，我们常用传递函数来表示SISO线