2024版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等式2.3.2一元二次不等式的应用导学案新人教A版必修第一册

第2课时一元二次不等式的应用【学习目标】(1)会将简单的分式不等式化为一元二次不等式求解．(2)理解一元二次方程，一元二次不等式与二次函数的关系．(3)能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，解决实际生活问题．题型1简单分式不等式的解法【问题探究】x-1x+1<0与(x＋1)(xx-1x+1≤0与(x＋1)(x－1)例1解下列不等式：(1)2x-13x+1≥0；题后师说简单分式不等式的解法策略跟踪训练1解下列不等式：(1)x-13x+5≤0；(2)题型2一元二次不等式的实际应用例2某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？题后师说求解一元二次不等式应用问题的步骤跟踪训练2制作一个高为20cm的长方体容器，底面矩形的长比宽多10cm，并且容积不少于4000cm3.问：底面矩形的宽至少应是多少？题型3二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用例3已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．一题多变将本例中的“不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}”改为“不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x<2或x>3}”，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．学霸笔记：已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．跟踪训练3不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则2x2＋bx＋a<0的解集为()A．{x|－1<x<12}B．{x|x<－1或x>1C．{x|x≤2或x>12}D．{x|－1<x<－1随堂练习1.不等式1+x1-x≥0的解集为A．{x|x≥1或x≤－1}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|x≥1或x<－1}D．{x|－1≤x<1}2．已知关于x的不等式2x2－mx＋n<0的解集是(2，3)，则m＋n的值是()A．－2B．2C．22D．－223．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p＝300－2x；生产x件的成本r＝500＋30x(元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x满足()A．55≤x≤60B．60≤x≤65C．65≤x≤70D．70≤x≤754．已知不等式ax2－x＋6>0的解集为{x|－3<x<2}，则不等式x2＋ax－6<0的解集为____________．课堂小结1.解简单分式不等式的关键是等价转化．2．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型．3．二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用．第2课时一元二次不等式的应用问题探究提示：x-1x+1<0与(x＋1)(x－1)<0等价，x-1x+1≤0与(x＋1)(x-1x+1≤0的分子可以等于0而分母不能等于0，即x-1例1解析：(1)原不等式可化为(2x解得x∴x<－13或x≥1∴原不等式的解集为{x|x<－13或x≥12(2)原不等式可化为2-x化简得-2x-1x+3>0∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－12∴原不等式的解集为{x|－3<x<－12}跟踪训练1解析：(1)原不等式为(x∴-53≤x≤1故原不等式的解集为{x|－53<x≤1}(2)原不等式可化为x-1x+2－1∴x-1-x+2x+2＜0，∴-3故原不等式的解集为{x|x＞－2}．例2解析：设每件定价为t元，依题意得(8－t-251×0.2)t≥25整理得t2－65t＋1000≤0，解得：25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．跟踪训练2解析：设底面矩形的宽为x，由题意可得20x(x＋10)≥4000，整理可得x2＋10x－200≥0，解得x≤－20(舍)，或x≥10，所以底面矩形的宽至少为10cm.例3解析：方法一由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ca由a<0知c<0，bc＝-故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋bcx＋ac>即x2－56x＋16>0，解得x<13或x所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x|x<13或x>12方法二由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a(x－13)(x－12故原不等式的解集为{x|x<13或x>12一题多变解析：方法一由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<2或x>3}可知a>0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ca＝由a>0知b<0，c>0，bc＝－5故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋bcx＋ac即x2－56x＋16<0，解得13<x所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x|13<x<12方法二由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<2或x>3}可知，a>0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＋0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a(x－13)(x－12)<0，故原不等式的解集为{x|13<x<跟踪训练3解析：因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，所以－1和2是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，则-1+2=-b所以不等式2x2＋bx＋a<0即化为2x2＋x－1<0，所以(2x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<12.故选答案：A[随堂练习]1．解析：不等式等价于x+1x-1≤0，即(x＋1)(x－1)≤0，且x－1≠0，解得－1≤x<1，故不等式的解集为{x|－1≤x答案：D2．解析：由题意得：2与3是方程2x2－mx＋n＝0的两个根，故2＋3＝m2，2×3＝n2，所以m＋n＝10＋12＝22.答案：C3．解析：由题意可得(300－2x)x－(500＋30x)≥8600，即x2－135x＋4550≤0，则(x－65)(x－70)≤0，故65≤x≤70.故选C.答案：C