专题4.11一次函数的图象（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第第页专题4.11一次函数的图象（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一次函数的图象一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线.【知识点2】一次函数图象和性质y=kx+b图像经过象限升降趋势增减性k＞0，b＞0一、二、三从左向右上升y随着x的增大而增大k＞0，b＜0一、三、四k＜0，b＞0一、二、四从左向右下降y随着x的增大而减小k＜0，b＜0二、三、四【知识点3】一次函数的图象与k、b之间的联系①b决定直线与y轴的交点位置时，直线交y轴于正半轴；时，直线交y轴于负半轴；时，直线经过原点.②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小.③越大，直线越陡.【知识点4】确定一次函数表达式（1）待定系数法步骤：设：设函数表达式为；代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b，再把点（0,1）的坐标代入即可.【知识点5】图象的平移一次函数向左平移m个单位后的解析式为；一次函数向右平移m个单位后的解析式为；一次函数向上平移m个单位后的解析式为；一次函数向上平移m个单位后的解析式为.平移规律：左加右减，上加下减.【知识点6】两条直线间的位置关系设直线，.(1)相交；（2）平行；（3）垂直.补充：若直线经过，两点，则.【考点一】一次函数的图象及其位置【例1】（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）已知一次函数（a为常数）．（1）若这个函数的图象经过原点，求a的值；（2）若，直接写出这个函数图象经过的象限．【答案】（1）；（2）当时，函数图象经过一、三、四象限【分析】（1）经过原点则，据此求解；（2）把代入，得，根据，即可得出结论．（1）解：因为经过原点，所以，解得．（2）解：当时，则∵，，∴函数图象经过一、三、四象限．【点拨】本题考查了一次函数的图象性质，掌握一次函数的图象性质是解答本题的关键，难度不大．【举一反三】【变式1】（2023春·四川德阳·八年级统考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数与的图像不可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】分四种情况，根据、的符号，确定一次函数经过的象限，结合函数图象与选项进行判断即可．解：当，时，对于，图像经过第一，三，四象限，则经过一，二，三象限，则选项符合题意；当，时，对于，图像经过第一，二，三象限，则经过一，二，四象限，题目中没有符合的；当，时，对于，图像经过第二，三，四象限，则经过一，三，四象限，则选项符合题意；；当，时，对于，图像经过第一，二，四象限，则经过二，三，四象限，则选项符合题意；．故选：．【点拨】此题主要考查了一次函数的性质与图像，正确记忆一次函数图像经过象限与系数关系是解题关键．【变式2】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则函数的图象经过的象限是．【答案】一、二、四【分析】先根据一次函数的图象经过第一、三、四象限判断b的取值范围，再判断函数的图象经过的象限．解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，∴，，∴函数的图象经过一、二、四象限．故答案为：一、二、四．【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点．【考点二】一次函数与坐标轴交点【例2】（2023春·陕西商洛·八年级校考期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求点A，B的坐标．（2）若点C在x轴上，且，求点C的坐标．【答案】（1），；（2）或【分析】（1）当时求解的值及当时求解的值即可求解．（2）由（1）得，，根据可得，进而可求解．（1）解：当时，，点B的坐标为：，当时，，点A的坐标为：．（2）由（1）得：，，则：，即：，点C的坐标为：或．【点拨】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图示，可得，，根据不等式的性质即可求解．解：根据图示，可知一次函数中，；一次函数中，，∴、，故原选项错误，不符合题意；、∵，∴，故原选项正确，符合题意；、∵，且，∴，故原选项错误，不符合题意；、∵，∴，故原选项错误，不符合题意；故选：．【点拨】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的性质，不等式的性质是解题的关键．【变式2】（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，M、N分别是、的中点，点P是y轴上一个动点，当的值最小时，点P的坐标为．

【答案】【分析】先求出的坐标，根据中点，得到的坐标，求出点关于y轴的对称点的坐标，连接，根据两点之间线段最短，得到与轴的交点即为点，求出的解析式，即可．解：∵，当时，，当时，，∴，∵M、N分别是、的中点，∴，∴点关于y轴的对称点为，连接，

∵点P是y轴上一个动点，∴，∴当三点共线时，的值最小，设直线的解析式为，则：，∴，∴，当时，，∴；故答案为：．【点拨】本题考查一次函数，坐标与轴对称．解题的关键是掌握将军饮马模型，确定点的位置．【考点三】一次函数图象的平移【例3】（2023春·福建福州·八年级校考期末）已知一次函数．

（1）在平面直角坐标系中，画出该函数图象；（2）把该函数图象向上平移3个单位，判断点是否在平移后的函数图象上．【答案】（1）见分析；（2）在【分析】（1）根据函数图象与，轴的坐标交点坐标，画出图象即可；（2）根据平移的特点得出解析式，进而解答．（1）解：列表：200过点和点画出直线，

；（2）解：把函数图象向上平移3个单位，得函数的解析式为，当时，，点在平移后的直线上．【点拨】本题考查一次函数与几何变换，关键是根据函数图象与，轴的坐标交点画出图象．【举一反三】【变式1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）将正比例函数向上平移1个单位长度，则平移后的函数图象与一次函数的图象的交点不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】首先求得平移后的一次函数的解析式为，根据函数不经过第四象限，即可得出结论．解：将正比例函数向上平移1个单位长度得到，一次函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，平移后的函数图象与一次函数的图象的交点不可能在第四象限，故选：D．【点拨】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键．【变式2】（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴分别相交于两点，将沿过点的直线折叠，使点落在x轴负半轴上的点处，，折痕所在直线交y轴正半轴于点C．把直线AB向左平移，使之经过点，则平移后直线的函数关系式是．【答案】【分析】先求得的坐标，然后由勾股定理求出，再由折叠的性质得出，求得，在中，根据勾股定理，列出方程，解方程即可求得点的坐标，即可求得平移后的解析式．解：∵直线，与轴分别相交于两点，令，解得，令，解得，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，设，∴，在中，，即，解得，∴，∴平移后的直线的解析式为．故答案为：【点拨】本题考查了勾股定理与折叠的性质，一次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，求得点的坐标是解题的关键．【考点四】一次函数图象的增减性➼➻求参数★★判断位置【例4】（2019春·广西贵港·八年级统考期末）已知一次函数.（1）若这个函数的图象经过原点，求a的值.（2）若这个函数的图象经过一、三、四象限，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）y=kx+b经过原点则b=0，据此求解；（2）y=kx+b的图象经过一、三、四象限，k＞0，b＜0，据此列出不等式组求解即可．解：（1）由题意得，，∴．（2）由题意得解得，∴a的取值范围是．【点拨】考查了一次函数的性质，了解一次函数的性质是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2022·四川眉山·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，则点所在象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据一次函数的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处的象限即可．解：∵一次函数的值随的增大而增大，∴解得：∴在第二象限故选：B【点拨】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．【变式2】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线y＝x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是．【答案】【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线y＝x＋b中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围．解：直线y＝x＋b经过点B，将B（3，1）代入直线y＝x＋b中，可得，解得；直线y＝x＋b经过点A，将A（1，1）代入直线y＝x＋b中，可得，解得；直线y＝x＋b经过点C，C（2，2）代入直线y＝x＋b中，可得，解得；故b的取值范围是．故答案为：【点拨】本题考查一次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是应用数形结合思想，属于中考常考题型．【考点五】一次函数图象的增减性➼➻求最值【例5】（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．（1）列表：x…01234…y…10ab1…则_________，_________．（2）描点并画出该函数的图像；（3）①请写出一条关于函数的性质：__________________；②观察函数图像，当时，x的取值范围是_________；③观察图像，直接写出函数的最小值_________．【答案】（1），0；（2）见分析；（3）①当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；②或；③【分析】（1）直接将、分别代入函数中求解即可；（2）根据描点法画函数出图像即可；（3）①可根据图像的对称性、增减性等方面得出函数的性质即可；②根据图像的增减性可求解；③根据图像的最低点可求得该函数的最小值．（1）解：由表格知，当时，，当时，，故答案为：，0；（2）解：根据所给表格数据，在平面直角坐标系中描点、连线，则函数图像如图所示：

（3）解：①根据图像，当时，y随x的增大而增大，或函数关于直线对称，等，故答案为：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；②根据图像，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，由得或，当时，由得或，∴当时，x的取值范围是或，故答案为：或；③由图像知，当时，函数取得最小值，最小值为，故答案为：．【点拨】本题考查一次函数的图像与性质，理解题意，能从函数图像得出所需信息是解答的关键．【举一反三】【变式1】（2021春·全国·八年级专题练习）设0＜k＜2，关于x的一次函数y=（k-2）x+2，当1≤x≤2时，y的最小值是（）A．2k-2 B．k-1 C．k D．k+1【答案】A【分析】先根据0＜k＜2判断出k-2的符号，进而判断出函数的增减性，根据1≤x≤2即可得出结论．解：∵0＜k＜2，∴k-2＜0，∴此函数是减函数，∵1≤x≤2，∴当x=2时，y最小=2（k-2）+2=2k-2．故选A．【点拨】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．【变式2】（2023春·天津滨海新·八年级校考期末）已知一次函数，当时，函数的最大值是．【答案】3【分析】根据知道一次函数是单调递减函数，即y随x的增大而减小，代入计算即可得到答案．解：∵，∴一次函数是单调递减函数，即y随x的增大而减小，∴当时，在时y取得最大值，即：当时，y的最大值为：，故答案为：3．【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数，当时y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大；掌握一次函数的性质是解题的关键．【考点六】一次函数图象的增减性➼➻比较大小【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）已知一次函数．（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）若，点，都在一次函数的图象上，试比较与的大小，并说明理由．【答案】（1）见分析；（2），理由见分析【分析】（1）求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标，过这两点的直线即为该函数的图象；（2）由函数解析式可判断该函数y随x的增大而减小，又可判断，即可确定．解：（1）对于，当时，即，∴；当时，即．∴函数的图象经过点（2，0）、（0，4）；∴函数的图象如图所示．（2）∵，∴，∴．∵，，∴y随x的增大而减小．∵点，都在一次函数的图象上，∴．【点拨】本题考查画一次函数的图象，一次函数的增减性．熟练掌握一次函数的性质是解题关键．【举一反三】【变式1】（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）已知点（－2，），（－1，），（1，）都在直线y＝－x＋7上，则，，的大小关系是（

）A．＞＞B．＜＜ C．＞＞ D．＜＜【答案】A【分析】判断-2＜-1＜1，根据一次函数的性质，得到结论．解：∵直线y＝－x＋7中k=-1＜0，∴y随x的增大而减小，∵点（－2，），（－1，），（1，）都在直线y＝－x＋7上，且-2＜-1＜1，∴＞＞，故选A．【点拨】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．【变式2】（2023春·广东湛江·八年级校考期中）若，分别是一次函数图象上两个不相同的点，记，则W0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写）【答案】＜【分析】根据一次函数的性质进行判断即可得到答案．解：∵一次函数，随增大而减小，∴当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故答案为：＜．【点拨】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图形性质．【考点七】一次函数的图象➼➻一次函数与一元一次方程【例7】（2019春·广东江门·八年级阶段练习）如图，已知直线l1：y=2x+3，直线l2：y=﹣x+5，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l