湖南省三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体2023-2024学年高三上学期10月大联考数学试题

三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体2024届高三10月大联考数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则（）A.3 B.5 C.9 D.253.已知向量，满足，.若，则下列各式一定成立的是（）A. B. C. D.4.已知正实数，，满足，则的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.65.在平面外有两条直线和，设和在平面内的射影分别是直线和，则下列结论正确的是（）A.是的充分条件B.是的必要条件C.与相交是与相交或重合的充分条件D.与平行或重合是与平行的必要条件6.已知数列满足，，则下列结论正确的是（）A.数列为单调递增数列 B.数列为单调递减数列C. D.7.在平面直角坐标系中，已知点，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，若曲线上存在两点，，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数，若函数的值域与的值域相同，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在四棱锥中，底面为正方形，侧棱垂直于底面，且，则（）A.直线与所成角为 B.直线与所成角为C.直线与平面所成角为 D.平面与平面夹角的正切值为10.已知点，，且，设，为坐标原点，则下列结论一定正确的是（）A. B.C.当时， D.当时，11.已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且，，则双曲线的离心率可以为（）A. B. C.2 D.12.已知函数的导函数为，则（）A.无最小值 B.无最小值C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最大的项的系数为________.14.小明准备用9万元投资，两种股票，已知这两种股票的收益独立，且这两种股票的买入价都是每股1元，每股收益的分布列如下表所示.若投资种股票万元，则小明两种股票的收益期望和为________万元.股票每股收益的分布列 股票每股收益的分布列收益/元03收益/元0.6概率0.30.20.5概率0.4415.已知，函数与的图象在上恰有两个交点，则的值为________.16.如下表格给出了一个“等差数阵”，其中每行、每列的数都构成等差数列，表示位于第行、第列的数.1013（）（）……1318（）（）……（）（）（）（）………………表格中的值为________，2023在该数阵中共出现________次.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）影响一个城市消费水平的原因有很多，其中一个重要的指标就是该城市的月平均工资.2022年“双十一”已经过去，某机构借助国内几个主要的网购交易平台，统计了部分城市“双十一”当天的人均交易额（单位：百元）如下表：城市北京上海深圳广州宁波厦门苏州人均交易额5.35.95.14.63.84.33.9通过查阅人社局的报告，我们得到了上述七个城市的2022年的月平均工资（单位：百元）如下表：城市北京上海深圳广州宁波厦门苏州月平均工资92888275736967（1）从散点图可以发现，月平均工资与双十一交易额之间大致成正相关关系，即月平均工资越高，双十一当天的人均交易额越高，请求出人均交易额（百元）与月平均工资（百元）的经验回归方程（保留小数点后两位有效数字）；（2）若长沙市2023年的月平均工资为62百元，请预测长沙市在今年双十一中的人均交易额.附：参考公式：，.参考数据：，，，.18.（本小题满分12分）如图所示，四边形是圆台的轴截面，是上底面圆周上异于，的一点，圆台的高，.（1）证明：是直角三角形；（2）是否存在点使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分12分）如图，的内角，，的对边分别为，，.若.（1）求角的大小；（2）若是线段上的点，，，求的最大值.20.（本小题满分12分）设数列满足，，.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，其前项和为，数列满足，其前项积为，求证：.21.（本小题满分12分）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，定点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆分别交于点，（不在直线上），若直线，与椭圆分别交于点，，且直线过定点，问直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论函数的零点个数；（2）若且函数有两个零点，，证明：.三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体2024届高三10月大联考·数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】D【解析】由已知有，所以.故选D.【命题立意】本题考查集合的补集运算，考查学生的数学运算能力.2.【答案】B【解析】由已知有，所以.故选B.【命题立意】本题考查复数的乘法运算，复数的模，考查学生的数学运算能力.3.【答案】A【解析】，所以，故选A.【命题立意】本题考查向量的数量积运算，考查学生的数学运算能力.4.【答案】B【解析】，故选B.【命题立意】本题考查基本不等式，考查学生的逻辑推理以及数学运算能力.5.【答案】D【解析】在如图所示的正方体中，若取平面为平面，，分别为，，，分别为，，满足，但是不满足，故A错误；若取平面为平面，，分别为，，，分别为，，满足，但是不满足，故B错误；若取平面为平面，，分别为，，，分别为，，满足与相交，但是与异面，故C错误；当与平行时，与平行或重合，故D正确.故选D.【命题立意】本题考查空间中直线与直线的位置关系、充要条件，考查学生的数学抽象、逻辑推理能力.6.【答案】D【解析】由可知，，，故AB错误；又，所以当时，，构造函数，易知函数在上单调递增，又，，故存在使得，即，所以当时，，当时，，又，所以当为奇数时，；当为偶数时，，故选D.【命题立意】本题为新概念辨析问题，通过材料并结合数列相关知识了解并探究新概念所具有的性质和结论，在分析材料的过程中培养学生的逻辑推理，数学抽象，转化归纳的能力.7.【答案】C【解析】设，由，得，化简得，如图，设圆心为，因为为直角三角形，，若，为切线，则，在中，，，，所以，要使圆上存在点，，使得，则过到向圆引的两条切线的夹角不小于，即圆心到点的距离不大于，即，解得.故选C.【命题立意】本题以阿波罗尼斯圆为背景，借助直角三角形斜边上的中线长为斜边长的一半的性质来求解参数范围，考查了圆的方程、直线与圆的位置关系，考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.8.【答案】D【解析】由，有.当时，，在上单调递减，在上单调递增，则，故的值域为，令，则，要使得的值域也为，则，即，故.故选D.【命题立意】本题考查函数的值域问题，考查学生逻辑推理，数学运算等核心素养.9.【答案】AD【解析】如图，连接与交于点.因为平面，平面，所以.因为，，所以平面.而平面，所以，即直线与所成的角为，A正确；设，则，，所以为正三角形，所以直线与所成的角为，B错误；易知直线与平面所成角即，所以直线与平面所成的角为，C错误；设，四边形是正方形，是对角线，是的中点，可得.因为为等边三角形且为线段中点，所以.因为，且平面平面.所以平面与平面的夹角为.而.所以D正确.故选AD.【命题立意】本题为立体几何中常见的求角问题.对于这类问题的通解通法为：几何法和向量法.重点考查了学生对线线角、线面角、面面角的定义的理解以及空间向量法在求角过程中的一般步骤.培养学生几何直观、数形结合的数学思想.10.【答案】AB【解析】对于A，由得，，故A正确；对于B，由A有，则，而，因此有，即，因此，故B正确；对于C，D，因为，，是单位向量，由得，而，因此，当时，，而，则，即，故C错误；当，即时，，，，故D错误.故选AB.【命题立意】本题考查三角函数、向量的运算，考查学生的逻辑推理、数学运算能力.11.【答案】AB【解析】法一：因为，由双曲线的定义可得，所以，.又因为，由余弦定理可得.化简可得，的表达式在上为减函数，可得离心率的最大值为，故选AB.法二：利用双曲线中焦点三角形的面积公式，可得.即，后面解答同法一.【命题立意】本题为双曲线背景，利用双曲线的定义将离心率和解三角形结合起来，进行巧妙地转化，考查学生转化与化归，数形结合的数学思想，培养学生的直观想象、数学运算等数学素养.12.【答案】AC【解析】由于函数的导函数为，则，又的导函数，故在定义域上为增函数，因此无最小值，故A正确；当时，，，，故；又因为，故一定存在，使得，所以在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值，故B错误；又在定义域上为单调递增函数，可知在上为凹函数，可得，即，故C正确，D错误.故选AC.【命题立意】本题考查函数的导数，单调性，最值，凹凸性，切线放缩，以函数为着力点考查学生逻辑推理、数学运算、数学抽象等数学学科核心素养，在分析问题的过程中培养学生构造函数、转化化归等能力.13.【答案】1792【解析】由有，所以的展开式的通项为，当展开式的项的系数最大时，为偶数，比较得当时，展开式中项的系数最大，该项系数为1792.【命题立意】本题考查二项式定理，考查学生的逻辑推理、数学运算能力.14.【答案】10.8【解析】；.若投资股票元，则投资股票元，，即小明两种股票的收益期望和为10.8万元.【命题立意】本题考查离散型随机变量的期望与方差的实际应用问题，考查学生数据分析、逻辑推理和数学运算学科核心素养.培养学生利用数学知识解决生活中实际问题的能力.15.【答案】【解析】作出函数的图象，由于函数的图象是由函数的图象上所有的点的纵坐标不变，横坐标伸长或者缩短到原来的倍而得到的，因此由图象可知.【命题立意】本题为三角函数图象的性质研究，主要考查对三角函数图象的影响，考查分类讨论的基本思想，提升学生数学抽象、直观想象和逻辑推理等数学素养.16.【答案】376【解析】第一列第个数，又因为第一行、第二行、第三行…的公差依次是3，5，7，…，可以得到第行的公差为，于是有.因此.当2023出现在数阵中时，，即.因为和都是正整数，故4035必是的倍数，又因为，所以4035的因数有1，3，5，15，269，807，1345，4035共8个.因此解的情况列表为：13515269807134540350127134403672201720176724031347210舍去使或为0的解，共得到6组满足条件的和，因此2023在数阵中共出现6次.【命题立意】本题以等差数阵为媒介，考察学生对等差数列的通项公式及整数约分等相关内容的掌握情况.在分析问题的过程中，让学生通过运算观察数列的规律，对等差数列进行推算，提升学生的推理能力和运算素养.17.解：（1），，所以人均交易额（百元）与月平均工资（百元）的经验回归方程为；（2）当时，（百元），所以预测长沙市在今年双十一中的人均交易额为3.58百元.【命题立意】本题考查线性回归方程，预测值等知识，考查学生的数据处理、逻辑推理以及数学运算能力.18.【解析】（1）由题设，上底面圆，上底面圆，，，，，又，，是直角三角形；（2）假设存在点使得平面与平面夹角的余弦值为，如图，取的中点，连接，以为原点，，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，，，设，则，，设是平面的法向量，则即，令，则，易知平面的一个法向量为，由题意得，解得，此时.故存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.【命题立意】本题考查线线垂直，二面角等相关知识，考查学生的数学抽象，逻辑推理以及数学运算能力.19.【解析】（1）在中，由余弦定理有，所以，又因为，所以；（2）延长至使得，连接，易知，所以，，，在中，由余弦定理有，即，因此，解之得，当且仅当，时取等号.所以的最大值为8.【命题立意】本题考查余弦定理，考查学生的逻辑推理以及数学运算能力.20.【解析】（1）由题意可知，，则由，两边取对数可知，故是首项为，公比为2的等比数列，所以，即，；（2）由（1）可知，故，，故，而注意到，故，所以，得证！【命题立意】本题为数列递推与数列求和求积综合问题，主要考查学生对于非常规数列递推式的处理能力以及数列求和求积过程中的化简能力，通过对于不同的数列求和求积结构，进行有针对性地化简，在分析问题过程中培养学生数学抽象，数学运算，转化化归的能力.21.【解析】（1）由椭圆的长轴长为4可知，又椭圆的离心率为，所以，所以，，因此椭圆的方程为；（2）直线的斜率为定值，定值为1，证明：设，，，，，，，由，有，因为，在椭圆上，所以，，因此，整理得，即，因此，联立，解之有，同理，又因为直线过定点，所以，将，，，代入，有，整理得，又，所以.综上，直线的斜率为定值1.【命题立意】本题为椭圆中定点定值问题，主要考查学生逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养，在分析问题的过程中培养学生数形结合、转化与化归等能力.22.【解析】（1）易知，因此函数必有一个零点，由有，当时，，函数在上单调递增，此