高等应用数学 课件 初东丽 第2章 导数、微分及应用

第二章导数、微分及应用目录导数的概念微分及应用导数的运算微分中值定理洛必达法则最优化问题【知识目标】

理解概念：导数、微分及几何意义，中值定理，洛必达法则，极值与最值、渐近线，凹凸性与拐点等；

掌握题型：求函数的导数与微分、求曲线的切线与法线方程、求函数的单调区间、极值与最值，中值定理证明不等式和根的存在性、洛必达法则求极限、求函数的水平和铅直渐近线、画出函数的图像等。【能力目标】

通过导数与微分及中值定理的学习，体会数学概念与理论的形成过程，培养创新思维能力、逻辑推理能力及综合分析问题与解决问题的能力，培养孜孜以求的探究精神和精益求精的工匠品质。教学目标文艺复兴时期和十七世纪前期，由于科学技术的发展，涌现了一系列新的数学问题，例如：求切线斜率、求瞬时速度、求不规则图形的面积、求曲线长等等，许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作。如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献；十七世纪下半叶，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。至此，微积分成为了一门独立的学科。微分学简介微积分学的创始人---牛顿和莱布尼兹一、牛顿与微积分1665年夏天，因为英国爆发鼠疫，剑桥大学暂时关闭。刚刚获得学士学位、准备留校任教的牛顿被迫离校到他母亲的农场住了一年多。这一年多被称为“奇迹年”，牛顿对三大运动定律、万有引力定律和光学的研究都开始于这个时期。在研究这些问题过程中，他发现了他称为“流数术”的微积分。1666年，牛顿写下了一篇关于流数术的短文，之后又写了几篇有关文章。但是这些文章当时都没有公开发表，只是在一些英国科学家中流传。微积分学的创始人---牛顿和莱布尼兹二、莱布尼兹与微积分：首次发表有关微积分研究论文的是德国哲学家莱布尼茨。莱布尼茨在1675年已发现了微积分，但是也不急于发表，只是在手稿和通信中提及这些发现。1684年，莱布尼茨正式发表他对微分的发现。两年后，他又发表了有关积分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推动下，莱布尼茨的方法很快传遍了欧洲。到1696年时，已有微积分的教科书出版。微积分学的创始人---牛顿和莱布尼兹三、微积分的创始人之争1.起初，并没有人来争夺微积分的发现权。1699年，移居英国的一名瑞士人一方面为了讨好英国人，另一方面由于与莱布尼茨的个人恩怨，指责莱布尼茨的微积分是剽窃自牛顿的流数术，但此人并无威望，遭到莱布尼茨的驳斥后，就没了下文。2.1704年，牛顿在其光学著作的附录中首次完整地发表了其流数术。当年出现了一篇匿名评论，反过来指责牛顿的流数术是剽窃自莱布尼茨的微积分。于是究竟是谁首先发现了微积分，就成了一个需要解决的问题了。微积分学的创始人---牛顿和莱布尼兹三、微积分的创始人之争3.

1711年，苏格兰科学家、英国王家学会会员约翰.凯尔在致王家学会书记的信中，指责莱布尼茨剽窃了牛顿的成果，只不过用不同的符号表示法改头换面。4.同样身为王家学会会员的莱布尼茨提出抗议，要求王家学会禁止凯尔的诽谤。王家学会组成一个委员会调查此事，在次年发布的调查报告中认定牛顿首先发现了微积分，并谴责莱布尼茨有意隐瞒他知道牛顿的研究工作。此时牛顿是王家学会的会长，虽然在公开的场合假装与这个事件无关，但是这篇调查报告其实是牛顿本人起草的。他还匿名写了一篇攻击莱布尼茨的长篇文章。微积分学的创始人---牛顿和莱布尼兹三、微积分的创始人之争5.后人通过研究莱布尼茨的手稿还发现,莱布尼茨和牛顿是从不同的思路创建微积分的。牛顿是为解决运动问题，先有导数概念，后有积分概念;莱布尼茨则反过来，受其哲学思想的影响，先有积分概念，后有导数概念。牛顿仅仅是把微积分当作物理研究的数学工具，而莱布尼茨则意识到了微积分将会给数学带来一场革命。这些似乎又表明莱布尼茨像他一再声称的那样，是自己独立地创建微积分的。谢谢大家2.1导数的概念目录函数在一点处的导数导数的几何意义导函数的概念可导与连续的关系【知识目标】

理解概念：导数及其几何意义、力学意义，可导与连续的关系；

掌握题型：求曲线的切线方程与法线方程、求简单函数的导数。【能力目标】

通过导数的学习，体会导数概念及其理论的形成过程，培养创新思维能力；提高变形能力和运算能力，培养严谨的学风和灵活的思维方式。教学目标14你会求瞬时速度吗？1.瞬时速度是表示物体在某一时刻或经过某一位置时的速度。如：汽车仪表上显示的车速；

动车车厢屏幕上显示的速度等。

2.瞬时速度是该时刻相邻的无限短时间内的位移与通过这段位移所用时间的比值。

引例：求变速直线运动的瞬时速度

导数的定义式：

二、导函数的概念19三、导数的几何意义20

三、导数的几何意义四、可导与连续的关系连续不可导23函数可导与连续之间的关系连续：可导：练习25作业谢谢大家2.2导数的运算目录导数基本公式复合函数的求导法则导数的四则运算法则隐函数求导法【知识目标】

理解概念：导数基本公式、导数的四则运算法则，复合函数求导法则，高阶导数，隐函数、参数方程的导数法则等。

掌握题型：求函数的一阶、二阶及高阶导数，求隐函数的导数，运用对数求导法求复杂函数的导数，求参赛方程确定函数的导数等。【能力目标】

通过导数的学习，体会导数概念及其理论的形成过程，培养创新思维能力；提高变形能力和运算能力，培养严谨的学风和灵活的思维方式。教学目标一、导数的基本公式

二、导数的四则运算

三、复合函数的求导法则

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四、隐函数求导法

四、隐函数求导法

练习与作业谢谢大家2.3微分及运算目录微分的概念微分的四则运算微分基本公式微分的近似计算【知识目标】

理解概念：微分及其微分基本公式、微分法则、微分形式不变性；

掌握题型：求函数的微分、求函数增量的近似值。【能力目标】

由微分的产生，体会数学概念的产生来源于生产、生活需要，又服务于生产、生活实际，从而提高运用数学方法解决实际问题的能力。教学目标金属薄片面积变化加热正方形金属薄片边长变化量：面积变化量：一、微分的概念

微分基本公式二、微分的四则运算

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三、微分的近似运算

练习57作业谢谢大家2.4微分中值定理目录罗尔定理约瑟夫·拉格朗日拉格朗日中值定理【知识目标】

理解概念：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

掌握题型：验证罗尔定理和拉格朗日中值定理的正确性，运用罗尔中值定理证明方程根的存在性，运用拉格朗日中值定理证明不等式。【能力目标】

学习中值定理及其应用，提高运用数学知识与数学方法分析问题、解决实际问题的能力。教学目标62观察函数图像思考函数在最高点和最低点的切线有什么特点？观察发现，如果函数出现了最高点或最低点，必然伴随这样一种现象：函数在最高点和最低点的切线平行于横轴。连续光滑端点值相等连续光滑端点值相等一、罗尔（Rolle）定理水平切线（罗尔定理的几何意义）罗尔定理的几何意义是十分明显的，如图所示，在曲线上，至少有一点C，使得过C点的切线平行于x轴。约瑟夫·拉格朗日约瑟夫·拉格朗日，全名约瑟夫·路易斯·拉格朗日，法国著名数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就尤为突出，拿破仑曾称赞他是“一座高耸在数学界的金字塔”。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。他的研究领域广泛，研究成果丰硕，其全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇。他的主要著作有《拉格朗日全集》、《分析力学》、《解析函数论》等。拉格朗日中值定理就是拉格朗日在《解析函数论》第一次公布于世的重要结论。二、拉格朗日中值定理练习作业谢谢大家2.5洛必达法则目录

其它类型的未定式

【知识目标】

理解概念：洛必达法则。

掌握题型：洛必达法则求极限【能力目标】

学习掌握洛必达法则求极限的方法与技巧，提高运算能力和变形能力。教学目标

三、其它类型的未定式

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84（2）使用洛必达法则务必要验证是否满足定理的条件，尤其是在连续多次使用时，每次都要检查是否满足定理条件.只有未定式才能用洛必达法则，否定会导致错误.练习与作业谢谢大家2.6最优化问题目录函数最值的认识

函数的极值函数的单调性【知识目标】

理解概念：函数的驻点、函数的极值与极值点、函数的最值与最值点；

掌握题型：判别函数的单调性，求函数的单调区间，求函数的极值与最值。

【能力目标】

通过极值与最值的学习，体会局部与整体的区别与联系，提高综合解决问题的能力；学习最优化理论及解决问题方法，提高运用数学知识、方法分析、解决问题的能力。教学目标一、函数最值的认识在实际应用中我们往往很关心最值这个指标.最值是一个全局概念，是指函数在指定范围内的最大、最小值。在很多数学和实际应用问题中，常会遇到如何才能使得“成本最低”、“效率最高”，“销售量最大”等问题，这些问题都可以归结为同一类数学问题——最值问题。而要研究函数的最值问题，首先要知道函数在哪些点处可能取得最值，这就要首先研究函数的单调性及极值问题。二、函数的单调性cxaboy图2-10图2-11函数单调区间的分界点（1）函数的间断点；（2）函数的驻点；（3）函数的连续而不可导的点。cxaboy图2-14图2-12图2-15求函数单调区间的一般步骤二、函数的单调性

三、函数的极值xyox1

x2

x3

x4

图2-16

图2-17求极值的方法与步骤-1三、函数的极值

求极值的方法与步骤-2三、函数的极值

三、函数的极值闭区间上连续函数的最值三、函数的极值三、函数的极值练习与作业练习与作业谢谢大家2.7函数图像的描绘目录函数的凹凸性与拐点

函数图像的描绘函数的渐近线【知识目标】

理解概念：凹弧与凸弧、拐点、水平渐近线、铅直渐近线；

掌握题型：判别函数的凹凸性，求函数的凹凸区间及拐点，【能力目标】

由函数定性分析和关键点确定到最终准确作出函数