上海市东实验学校2024届数学高二上期末教学质量检测试题含解析

上海市东实验学校2024届数学高二上期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数在处取得极值，则（）A. B.C. D.2．已知向量与平行，则（）A. B.C. D.3．已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为，若双曲线上有一点，使，则双曲线的焦点（）A.在轴上 B.在轴上C.当时在轴上 D.当时在轴上4．已知i是虚数单位，复数z=，则复数z的虚部为（）A.i B.-iC.1 D.-15．已知抛物线的焦点为，在抛物线上有一点，满足，则的中点到轴的距离为（）A. B.C. D.6．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（）A. B.C. D.7．某老师希望调查全校学生平均每天的自习时间.该教师调查了60位学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5小时.这里的总体是（）A.杨高的全校学生；B.杨高的全校学生的平均每天自习时间；C.所调查的60名学生；D.所调查的60名学生的平均每天自习时间.8．数学家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线方程是（）A. B.C. D.9．在四面体OABC中，点M在线段OA上，且，N为BC中点，已知，，，则等于（）A. B.C. D.10．在等差数列中，若，且前n项和有最大值，则使得的最大值n为（）A.15 B.16C.17． D.1811．如图，椭圆的右焦点为，过与轴垂直的直线交椭圆于第一象限的点，点关于坐标原点的对称点为，且，，则椭圆方程为（）A. B.C. D.12．已知椭圆及以下3个函数：①；②；③，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有（）A.0个 B.1个C.2个 D.3个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于，由球和圆的几何性质，可以知道，，于是.由的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以为焦点的椭圆.如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源，则球在桌面上的投影是椭圆.已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为___________.14．已知向量，若，则实数___________.15．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=3，AA1=4，P是侧面BCC1B1上的动点，且AP⊥BD1，记点P到平面ABCD的距离为d，则d的最大值为____________.16．若圆和圆的公共弦所在的直线方程为，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）等差数列的前n项和为，已知（1）求的通项公式；（2）若，求n的最小值18．（12分）已知圆C经过点，，且圆心C在直线上（1）求圆C的标准方程；（2）过点向圆C引两条切线PD，PE，切点分别为D，E，求切线PD，PE的方程，并求弦DE的长19．（12分）已知抛物线C：的焦点为F，为抛物线C上一点，且（1）求抛物线C的方程：（2）若以点为圆心，为半径圆与C的准线交于A，B两点，过A，B分别作准线的垂线交抛物线C于D，E两点，若，证明直线DE过定点20．（12分）已知圆过点且与圆外切于点，直线将圆分成弧长之比为的两段圆弧（1）求圆的标准方程；（2）直线的斜率21．（12分）在等差数列中，，.（1）求数列通项公式；（2）若，求数列的前项和.22．（10分）在平面直角坐标系中，设椭圆（）的离心率是e，定义直线为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为，长轴长为8.（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线l交椭圆C于E，F两不同点（点E，F与点A不重合），且满足，若点P满足，求直线的斜率的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据极值点处导函数为零可求解.【详解】因为，则，由题意可知.经检验满足题意故选：B2、D【解析】根据两向量平行可求得、的值，即可得出合适的选项.【详解】由已知，解得，，则.故选：D.3、B【解析】设出双曲线的一般方程，利用题设不等式，令二者平方，整理求得的，进而可判断出焦点的位置【详解】渐近线方程为，，平方，两边除，，，双曲线的焦点在轴上.故选B.【点睛】本题考查已知双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，考查对双曲线标准方程的理解与运用，求解时要注意焦点落在轴或轴的特点，考查学生分析问题和解决问题的能力4、C【解析】先通过复数的除法运算求出z，进而求出虚部.【详解】由题意，，则z的虚部为1.故选：C.5、A【解析】设点，利用抛物线的定义求出的值，可求得点的横坐标，即可得解.【详解】设点，易知抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，得，所以，点的横坐标为，故点到轴的距离为.故选：A.6、A【解析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式.【详解】设，则，故为上的增函数，而可化为即，故即，所以不等式的解集为，故选：A.7、B【解析】由总体的概念可得答案.【详解】某老师希望调查全校学生平均每天的自习时间，该教师调查了60位学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5小时，这里的总体是全校学生平均每天的自习时间.故选：B.8、B【解析】根据的三个顶点坐标，先求解出重心的坐标，然后再根据三个点坐标求解任意两条垂直平分线的方程，联立方程，即可算出外心的坐标，最后根据重心和外心的坐标使用点斜式写出直线方程.【详解】由题意可得的重心为．因为，，所以线段的垂直平分线的方程为．因为，，所以直线的斜率，线段的中点坐标为，则线段的垂直平分线的方程为．联立，解得，则的外心坐标为，故的欧拉线方程是，即故选：B.9、B【解析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解【详解】因为N为BC中点，所以,因为M在线段OA上，且，所以，所以，故选：B10、A【解析】由题可得，则，可判断，，即可得出结果.【详解】前n项和有最大值，，，，，，，使得的最大值n为15.故选：A.【点睛】本题考查等差数列前n项和的有关判断，解题的关键是得出.11、C【解析】连结，设，则，，由可求出，进而可求出，得出椭圆方程.【详解】由题意设椭圆的方程：，设左焦点为，连结，由椭圆的对称性易得四边形为平行四边形，由得，又，设，则，，又，解得，又由，，解得，，，则椭圆的方程为.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆的标准方程求解及椭圆的简单几何性质，在求解椭圆标准方程时，关键是求解基本量，，.12、C【解析】由椭圆的几何性质可得椭圆的图像关于原点对称，因为函数,函数为奇函数,其图像关于原点对称，则①②满足题意,对于函数在轴右侧时，，只有时，，即函数在轴右侧的图像显然不能等分椭圆在轴右侧的图像的面积,又函数为偶函数,其图像关于轴对称，则函数在轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在轴左侧的图像的面积,即函数的图像不能等分该椭圆面积，得解.【详解】解：因为椭圆的图像关于原点对称，对于①，函数为奇函数，其图像关于原点对称，即可知的图象能等分该椭圆面积；对于②，函数为奇函数，其图像关于原点对称，即可知的图象能等分该椭圆面积；对于③，对于函数在轴右侧时，，只有时，，即函数在轴右侧的图像（如图）显然不能等分椭圆在轴右侧的图像的面积,又函数为偶函数,其图像关于轴对称，则函数在轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在轴左侧的图像的面积,即函数的图像不能等分该椭圆面积，即函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有2个，故选C.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、函数的奇偶性及函数的对称性，重点考查了函数的性质，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##0.5【解析】利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一个焦点，求出，得出离心率.【详解】设球切于，切于E，，球半径为2，所以，，∴，又中，，，故椭圆长轴长为,,根据椭圆在圆锥中截面与二球相切的切点为椭圆的焦点知：球O与相切的切点为椭圆的一个焦点，且，，椭圆的离心率为.故答案：.14、2【解析】利用向量平行的条件直接解出.【详解】因为向量，且，所以，解得：2故答案为：215、##【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标之间的关系，以及坐标的范围，即可求得结果.【详解】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系如下所示：设，则，，∵，∴，解得，因为，所以c的最大值为，即点P到平面的距离d的最大值为.故答案为：.16、【解析】由两圆公共弦方程，将两圆方程相减得到，结合已知列方程组求、，即可得答案.【详解】由题设，两圆方程相减可得：，即为公共弦，∴，可得，∴.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）12【解析】（1）设的公差为d，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；（2）利用等差数的求和公式，得到，结合的单调性，即可求解.【小问1详解】解：设的公差为d，因为，可得，解得，所以，即数列的通项公式为【小问2详解】解：由，可得，根据二次函数的性质且，可得单调递增，因为，所以当时，，故n的最小值为1218、（1）（2）或，【解析】（1）设圆心，根据圆心在直线上及圆过两点建立方程求解即可；（2）分切线的斜率存在与不存在分类讨论，利用圆心到切线的距离等于半径求解，再根据圆的切线的几何性质求弦长即可.【小问1详解】设圆心，因为圆心C在直线上，所以①因为A，B是圆上的两点，所以，所以，即②联立①②，解得，所以圆C的半径，所以圆C的标准方程为【小问2详解】若过点P的切线斜率不存在，则切线方程为若过点P的切线斜率存在，设为k，则切线方程为，即由，解得，所以切线方程为综上，过点P的圆C的切线方程为或设PC与DE交于点F，因为，，PC垂直平分DE，所以，所以所以19、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）解方程和即得解；（2）设，，将与圆P方程联立得到韦达定理，再写出直线的方程即得解.【小问1详解】解：因为为抛物线C上一点，且，所以到抛物线C的准线的距离为2则，，则，所以，故抛物线C的方程为【小问2详解】证明：由（1）知，则圆P的方程为设，，将与圆P的方程联立，可得，则，当时，，不妨令，则，此时；当时，直线DE的斜率为，则直线DE的方程为，即，即，令且，得，直线过点；综上，直线DE过定点20、（1）；（2）.【解析】（1）分析可知圆心在轴上，可设圆心，根据圆过点、可得出关于的方程，求出的值，可得出圆心的坐标，进而可求得圆的半径，即可得出圆的标准方程；（2）利用几何关系可求得圆心到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式可求得的值.【小问1详解】解：圆的圆心为，记点、，直线即为轴，因为圆与圆外切于点，则圆心在轴上，设圆心，由可得，解得，则圆心，所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.【小问2详解】解：由题意可知，直线截圆所得的弦在圆上对应的圆心角为，则圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的基本量，根据题意，列出方程，即可求得公差以及通项公式；（2）根据（1）中所求，结合等差数列的前项和的公式，求得，以及，再利用等比数列的前项和公式求得.【小问1详解】因为，所以，故可得，所以.【小问2详解】因为，所以.于是，令，则.显然数列是等比数列，且，公比，所以数列的前n项和.22、（1）；（2）.【解析】（1）由题意列关于，，的方程，联立方程组求得，，，则椭圆方程可求；（2）分直线轴与直线l不垂直于x轴两种情况讨论，当直线l不垂直于x轴时，设，，直线l：（，），联立直线方程