上海青浦区朱家角中学高三数学文测试题含解析

上海青浦区朱家角中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，AB=3，AC=2，，则(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C2.集合，，若，则的值为（

）A．1

B．2

C．-4

D．4参考答案：C试题分析：由于，当，解得，符合题意；当，解之得无解，故答案为C．考点：1、集合中元素的性质；2、集合的并集．3.已知Tn为数列的前n项和，若n＞T10+1013恒成立，则整数n的最小值为（）A．1026 B．1025 C．1024 D．1023参考答案：C【考点】数列的求和．【分析】利用等比数列的求和公式可得Tn，即可得出．【解答】解：∵，∴，∴T10+1013=11﹣+1013=1024﹣，又n＞T10+1013，∴整数n最小值为1024．故选C．4.将函数的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于轴对称，则的一个可能取值为A．

B．

C．

D．参考答案：B5.已知△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A=，M是BC的中点，则A.

B.11

C.12

D.15参考答案：B6.要得到函数的图象，只需的图象（

）A.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B.向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）参考答案：D【分析】先将函数的解析式化为，再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项.【详解】，因此，将函数的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），可得到函数的图象，故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：（1）左右平移指的是在自变量上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致.7.在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．则下列命题中：①若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．②若点A，B，C是三角形的三个顶点，则有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）．③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0．④若A为坐标原点，B在直线x+y﹣2=0上，则d（A，B）的最小值为2．真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】两点间距离公式的应用；2K：命题的真假判断与应用．【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0），x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）成立，故①正确；在△ABC中，d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|≥|（x0﹣x1）+（x2﹣x0）|+|（y0﹣y1）+（y2﹣y0）|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）③，故②错误；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x﹣1|+|y|}，由|x+1|=|x﹣1|，解得x=0，∴到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0，即③成立；设B（x，y），则d（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|=|x|+|2﹣x|≥2，即d（A，B）的最小值为2，故④正确；综上知，正确的命题为①③④，共3个．故选：C．8.已知函数f(x)＝|lgx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是()A．(1，＋∞)

B．1，＋∞)C．(2，＋∞)

D．2，＋∞)参考答案：C9.曲线y=xsinx在点P（π，0）处的切线方程是（）A．y=﹣πx+π2 B．y=πx+π2 C．y=﹣πx﹣π2 D．y=πx﹣π2参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得曲线对应的函数的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程，可得切线的方程．【解答】解：y=xsinx的导数为y′=sinx+xcosx，在点P（π，0）处的切线斜率为k=sinπ+πcosπ=﹣π，即有在点P（π，0）处的切线方程为y﹣0=﹣π（x﹣π），即为y=﹣πx+π2．故选：A．10.已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，如果，则的取值范围是

。参考答案：12.在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知,且，则b=

.参考答案：4

13.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则=

．参考答案：根据余弦定理可得，所以。14.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是

.参考答案：略15.的展开式中的系数是

．参考答案：19216.设二项式（x﹣）6（a≠0）的展开式中x2的系数为A，常数项为B，若B=44，则a=．参考答案：﹣【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于02，求出r的值，即可求得x2的系数为A的值；再令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项B，再根据B=44，求得a的值．【解答】解：二项式（x﹣）6（a≠0）的展开式中的通项公式为Tr+1=?（﹣a）r?x6﹣2r，令6﹣2r=2，求得r=2，可得展开式中x2的系数为A=15a2．令6﹣2r=0，求得r=3，可得展开式中常数项为﹣20a3=44，求得a=﹣，故答案为：﹣．17.设α为锐角，若sin（α﹣）=，则cos2α=．参考答案：﹣【考点】二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知及同角三角函数关系式可求cos（α﹣），从而可求sin的值，利用二倍角的余弦函数公式即可得解．【解答】解：∵α为锐角，若sin（α﹣）=，∴cos（α﹣）=，∴sin=[sin（α﹣）+cos（α﹣）]=，∴cos2α=1﹣2sin2α=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．参考答案：解:（1）将方程消去参数得，∴曲线的普通方程为，将代入上式可得，∴曲线的极坐标方程为：．

--------5分（2）设两点的极坐标方程分别为,由消去得，根据题意可得是方程的两根，∴，∴．

--------10分

19.设函数，k∈R（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当k＞0时，若f（x）存在零点，则f（x）在区间上仅有一个零点．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；分类讨论；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）由解析式求出定义域和f′（x），化简后对k进行分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，分别求出函数的增区间、减区间；（2）由（1）求函数的最小值，由条件列出不等式求出k的范围，对k进行分类讨论，并分别判断在区间上的单调性，求出f（1）和f（）、判断出符号，即可证明结论．【解答】解：（1）由得，函数的定义域是（0，+∞），=；①当k≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；②当k＞0时，由f′（x）=0得x=或x=﹣（舍去），当时，f′（x）＞0，当时，令f′（x）＜0，所以f（x）的递减区间是（0，），递增区间是（）；…证明：（2）由（1）知，当k＞0时，f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（）==．因为f（x）存在零点，所以，解得k≥e．当k=e时，f（x）在（1，）上递减，且f（）=0，所以x=是f（x）在（1，]上的唯一零点．当k＞e时，f（x）在（0，）上单调递减，且f（1）=0，f（）=＜0，所以f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．综上可知，若f（x）存在零点，则f（x）在（1，]上仅有一个零点…【点评】本题考查求导公式、法则，导数与函数单调性的关系，以及函数零点的转化，考查分类讨论思想，化简、变形能力，属于中档题．20.（本小满分12分）已知函数，其中，．(Ⅰ)若的最小值为，试判断函数的零点个数，并说明理由；(Ⅱ)若函数的极小值大于零，求的取值范围．参考答案：（I）函数的零点个数有3个；(Ⅱ)

（I）， 1分当时，有最小值为，所以，即， 2分因为，所以， 3分所以，所以在上是减函数，在上是增函数， 4分而，， 5分故函数的零点个数有3个； 6分(Ⅱ)

令，得， 7分 由知，根据（I），当变化时，的符号及的变化情况如下表：

0＋0－0＋↗极大值↘极小值↗

因此，函数在处取得极小值， 9分要使，必有可得， 10分所以的取值范围是 ． 12分21.（12分）已知函数，其中常数。（1）若在处取得极值，求的值；（2）求的单调递增区间；参考答案：22.已知函数f（x）=xln（ax）（a＞0）（1）若f′（x）≤+对任意的x＞0恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，设函数f（x）的极值点为x0，若实数m，n满足x0＜m＜1，x0＜n＜1，且m+n＜1．求证：＜（m+n）．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求解得出f′（x）═ln（ax）+1，即2ln（ax）+1﹣x≤0在x＞0恒成立，构造函数令h（x）=2ln（ax）+1﹣x，再次求解导数判断．（2）综合求解导数判断单调性得出x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）递减，m，n∈（，1），＜m+n＜1，由x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增，利用单调性得出lnmln（m+n）同理f（m+n）=（m+n）ln（m+n）＞nlnn，lnnln（m+n），利用对数，指数的运用求解证明ln（mn）＜2ln（m+n）ln（m+n），即可证明．＜（m+n）．【解答】（1）解：f′（x）═ln（ax）+1，即2ln（ax）+1﹣x≤0在x＞0恒成立，令h（x）=2ln（ax）+1﹣x，∴h′（x）=﹣1，故x∈（0，2）时，h′（x）＞0，则h（x）在（0，2）递增，x＞2时，h′（x）＜0，则h（x）在（2，+∞）递减，则h（x）max=h（2），依题意h（2）≤0，∴0．（2）a=1，f（x）=xlnx，令f′（x）=0得x=，且x∈（0，），f′（x）