拓展专题8空间几何体的外接球与内切球

拓展专题8空间几何体的外接球和内切球问题《课标》中对立体几何初步的学习提出了长方体模型是学习立体几何的基础，掌握长方体模型，对于我们理解立体几何的球的《课标》中对立体几何初步的学习提出了长方体模型是学习立体几何的基础，掌握长方体模型，对于我们理解立体几何的球的有关问题起着非常重要的作用。有关外接球与内切球的立体几何问题是近年各省高考试题的难点之一，这与我们的空间想象能力以及化归能力有关。在高考与模考试题中，外接球与内切球的问题最核心的几种解法是构造法、双外心法、等体积法等。在复习的过程中，外接球问题首先确定是否可以直接利用模型构造，还是需要利用三角形外心找球心；内切球重在“等体积”和球心位置。本专题微而精，既从寻找球心的角度考虑，又从求解半径的角度出发，通过例题和变式将核心方法展现。——合肥六中高级教师邱勤伟探究1：补形法求棱锥的外接球半径【典例剖析】例1.(2022·河北省·联考)在三棱锥A—BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为22、32、62，则三棱锥A—BCD的外接球的体积为(

)A.6π B.26π C.3选题意图:选题意图:对空间几何体的外接球的考查一直是高考立体几何命题热点问题之一.本题以三棱锥为载体，根据三条侧棱互相垂直的条件，构造长方体，则长方体的体对角线就是外接球的直径，将三棱锥的外接球问题转化为长方体的外接球问题，使要求解的问题得到简化和直观.思维引导：本题主要考查三棱锥的外接球，球的体积公式．从已知出发联立方程确定侧棱的长，因为三条侧棱互相垂直，可以补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径是进一步解题的关键．【答案】A

【解析】因为，在三棱锥A—BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为22、32、62，

设侧棱AB、AC、AD分别为a，b，c，

则12ab=2212bc=3212【变式训练】练11.(2022·全国·月考)在三棱锥P-ABC中，PB⊥AC，PA=PB=AB=2，AC=4，BC=25，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是(

)A.52π B.64π3 C.112π3【答案】B

【解析】由AB=2，AC=4，BC=25，可得BC2=AB2+AC2，

所以AB⊥AC．又PB⊥AC，AB∩PB=B，且PB，AB⊂平面PAB，

所以AC⊥平面PAB．

以△PAB为底面，AC为侧棱补成一个直三棱柱，

则三棱锥P-ABC的外接球即为该三棱柱的外接球．

由正弦定理，可得△PAB外接圆的半径为r=12×PAsin练12.(2022·湖南省·月考)在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，底面ABC是边长为23的正三角形，M为AC的中点，球O是三棱锥P-ABM的外接球，若D是球O上一点，则三棱锥D-PAC的体积的最大值是(

)A.2 B.23 C.73【答案】C

【解析】因为底面ABC是边长为23的正三角形，M为AC的中点，所以BM⊥AM，BM=3．

以BM，AM，AP为长方体的长，宽，高构造长方体AMBE-PNGF，

所以长方体AMBE-PNGF的外接球即为三棱锥P-ABM的外接球，

因为PB为长方体AMBE-PNGF的体对角线，所以O为PB中点，外接球半径R=12PB．

因为正三角形ABC边长为23，PA=2，PA⊥底面ABC，AB⊂平面ABC，

所以PA⊥AB，PB=(23)2+22=4，所以R=2，

因为D是球O上一点，要使三棱锥D-PAC的体积最大，

则点D到平面PAC的距离最大为球的半径R与球心O到平面PAC距离d之和，

因为由题可知，球O与平面PAC的截面为长方体AMBE-PNGF的一侧面AMNP，

设矩形AMNP的中心即PM中点为O'，所以d=|OO'|=1【规律方法】求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：1.三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；2.直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；3.如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.探究2：先定外接球球心再求半径【典例剖析】例2.(2022·江苏省宿迁市·月考)已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，且△PAB为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为(

)A.283π B.1123π选题意图:选题意图:本题涉及锥体的外接球问题,掌握锥体外接球球心的找法，求出球心后往往需要利用平面几何的知识求出半径，并熟悉常见规则图形（正方体、正三角形等）的中心，再进行求解，考查转化思想和空间想象能力.思维引导:本题考查四棱锥外接球的表面积，取侧面△PAB和底面正方形ABCD的外接圆的圆心分别为O1,O2，分别过O1,O2作两个平面的垂线交于点O，得到点O即为该球的球心，取线段AB的中点E，得到四边形O1EO2O为矩形，分别求得OO2,O2D，得到球的半径．【答案】B

【解析】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，

取侧面△PAB和底面正方形ABCD的外接圆的圆心分别为O1,O2，

分别过O1，O则由外接球的性质知，点O即为该球的球心，取线段AB的中点E，连O1E，O2E，O2在等边△PAB中，可得PE=23，则O1在正方形ABCD中，因为AB=4，可得O2在直角△OO2D中，可得O所以四棱锥P-ABCD外接球的表面积为S=4πR故本题选B．【变式训练】练21.(2021·湖南省·模拟)已知一圆台的上、下底面半径分别为2和3，高为3，且该圆台上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为(

)A.116π3 B.340π9 C.532【答案】B

【解析】圆台的上下底半径分别为r1=2，r2=3，高h=3，设外接球的半径为R，

轴截面(按圆台)，如图所示，

设OE=x，E为BC中点，若圆台的两个底面在球心O的同一侧，

则R2-4=(x+3)2R2-9=x2，不合题意；

所以可得两个底面在球心的两侧，则R2-4=(3-x练22.(2022·湖南省长沙市·月考)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=2，△ABC与△PAB的外接圆圆心分别为O1，O2，若三棱锥P-ABC的外接球的表面积为16π，设O1A=a，O2A=b，则a+b的最大值是(

)A.5 B.10 C.23 D.【答案】B

【解析】∵PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB，则△PAB为直角三角形，其外心O2为PB的中点，△ABC∴PB=2O2A=2b∴PA=4设三棱锥P-ABC的外接球的为O，

连接OO1，则OO1⊥平面ABC∴OO∴OA=O1A2+∴4πa2+由a2+b∴a+b≤2a2∴a+b的最大值是10．故选B．【规律方法】解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，一般棱锥外接球球心的找法：第一种：，过作底面的垂线，外接圆的半径用正弦定理求出；2.任选一侧棱，取其中点，过中点作侧棱的垂面，垂面与的交点即为外接圆的圆心，或在垂线上任设一点，利用到各点的距离相等，从而确定外接球球心，将转化为求解平面多边形.第二种：寻找几何体中两个面的多边形的外接圆的圆心即为，分别过作两个平面的垂线即为，的交点即为外接球的球心.探究3：内切球球心问题【典例剖析】例3.(2022·江苏省南京市·月考)已知正方形ABCD的边长为2，点E为边AB的中点，点F为边BC的中点，将△AED，△DCF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥P-DEF的外接球与内切球的表面积之比为(

)A.6 B.12 C.24 D.30选题意图:选题意图:本题考查空间几何体的折叠问题,考查空间想象能力和解决外接球和内切球问题的不同方法（补形法和等体积法），学生在掌握常见的柱体、锥体、台体、球的体积计算公式基础上，需要了解球与常见几何体组合的结构特征，通过观察和想象，再依据公式求解.思维引导:本题考查三棱锥的外接球与内切球问题，分割补形法，等体积算法．由题意可将三棱锥P-DEF补全成长、宽、高分别为1，1，2的一个长方体，则三棱锥P-DEF的外接球的直径2R即为长方体的体对角线长，从而计算出R2，再根据等体积算法可计算出三棱锥P-DEF的内切球的半径r，即可求解．【答案】C

【解析】如图，由题意可知PD⊥PE，PD⊥PF，PE⊥PF，且易得PE=PF=1，PD=2，

∴可将三棱锥P-DEF补全成长、宽、高分别为1，1，2的一个长方体，

∴三棱锥P-DEF的外接球的直径2R即为长方体的体对角线长，

∴(2R)2=12+12+22=6，∴R2=32，

∵PE=PF=1，PD=2，∴DE=DF=5，EF=2，

∴△DEF的面积为12×EF×DE2-(EF2)2=1【变式训练】练31.(2022·全国·模拟)在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，则四棱锥P-ABCD内切球的表面积为(

)A.3π B.4π C.5π D.6π【答案】B

【解析】设四棱锥P-ABCD内切球的半径为r，

因为VP-ABCD=13×42×3=16，

四棱锥P-ABCD的表面积S=42+12×3×4×2+练32.(2021·江西省上饶市·模拟)已知棱长为a的正四面体A-BCD的内切球为O，且球O1，O2，O3，O4分别与球O外切，与正四面体的另外三个侧面相切，在该几何体内注满水，则应该注入水的体积大约为(参考数据：2≈1.4，6A.115a3 B.215【答案】A

【解析】设球O的半径为R，由对称性可知球O1，O2,O3,O4的半径相等，不妨设为r'．如图，

设球O与底面BCD切于点P，与侧面ACD切于点F，球O1与球O外切于点M，与侧面ACD切于点G，

则易知点A，O1，M，O，P在同一直线PA上，且PA⊥平面BCD，A，G，E也在同一直线上．

因为正四面体的棱长为a，所以正四面体的高AP=63a，

所以由等体积，4×13×34a2×R=13×34a2×63a，得R=OP=612【规律方法】1.求解多面体、旋转体与球接、切问题的策略（1）过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题