2011全国中考真题解析120考点汇编直角三角形的有关计算

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编☆直角三角形的有关计算一、选择题1.（2011湖北荆州，8，3分）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A、5714B、35C、217D、2114

考点：解直角三角形．专题：几何图形问题．分析：根据∠A=120°，得出∠DAC=60°，∠ACD=30°，得出AD=1，CD=3，再根据BC=27，利用解直角三角形求出．解答：解：延长BA做CD⊥BD，

∵∠A=120°，AB=4，AC=2，

∴∠DAC=60°，∠ACD=30°，

∴2AD=AC=2，

∴AD=1，CD=3，

∴BD=5，

∴BC=27，

∴sinB=327=2114，

故选：D．点评：此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，根据题意得出∠DAC=60°，∠ACD=30°是解决问题的关键．2.（2011山东滨州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°,∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)A.9.1B.9.5C.3.1D.3.5【考点】解直角三角形．【专题】计算题．【分析】在Rt△ABC中，根据三角函数的定义，易得AB、AC及∠A的关系，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，

在Rt△ABC中，有cosA=，sinA=；

则AC=AB•cosA=10×cos72°≈3.1；

故选C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握好边角之间的关系及三角函数的定义．3.（2011•德州，7，3分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（） A、a4＞a2＞a1 B、a4＞a3＞a2 C、a1＞a2＞a3 D、a2＞a3＞a考点：正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定与性质。专题：计算题。分析：设等边三角形的边长是a，求出等边三角形的周长，即可求出等边三角形的周率a1；设正方形的边长是x，根据勾股定理求出对角线的长，即可求出周率；设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，根据等边三角形的性质和平行四边形的性质求出直径，即可求出正六边形的周率a3；求出圆的周长和直径即可求出圆的周率，比较即可得到答案．解答：解：设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3设正方形的边长是x，由勾股定理得：对角线是x，则正方形的周率是a2=QUOTE=2≈2.828，设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b，∴正六边形的周率是a3==3，圆的周率是，∴a4＞a3＞a2．故选B．点评：本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．4.（2011山东菏泽，5，4分）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（） A．6 B．3C．QUOTE D．QUOTE考点：翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：易得∠ABC=60°，∠A=30°．根据折叠的性质∠CBE=∠D=30°．在△BCE和△DCE中运用三角函数求解．解答：解：∵∠ACB=90°，BC=3，AB=6，∴sinA=BC：AB=1：2，∴∠A=30°，∠CBA=60°．根据折叠的性质知，∠CBE=∠EBA=QUOTE∠CBA=30°，∴CE=BCtan30°=QUOTE，∴DE=2CE=2QUOTE．故选C．点评：本题考查了：1．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2．直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．5.（2011泰安，19，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（） A．QUOTE B．QUOTEC．QUOTE D．6考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理。专题：探究型。分析：先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．解答：解：∵△CED是△CEB翻折而成，∴BC＝CD，BE＝DE，∵O是矩形ABCD的中心，∴OE是AC的垂直平分线，AC＝2BC＝2×3＝6，∴AE＝CE，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即62＝AB2＋32，解得AB＝3QUOTE，在Rt△AOE中，设OE＝x，则AE＝3QUOTE－x，AE2＝AO2＋OE2，即（3－x）2＝（3）2＋32，解得x＝QUOTE，∴AE＝EC＝3－＝2．故选A．点评：本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．6.（2011辽宁本溪，6，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（）A．3 B．4 C．4.8 D．5考点：三角形中位线定理；勾股定理专题：存在型分析：由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，根据勾股定理即可求得AC的长，又由DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，求得DE的长度．解答解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，∴AC==6，∵DE是△ABC的中位线，∴DE=AC=3．故选A．点评：此题考查了勾股定理与三角形中位线的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．7.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于（）A、B、1C、D、22.（2011•临沂，13，3分）如图，△ABC中，cosB=，sinC=QUOTE，AC=5，则△ABC的面积是（） A、QUOTE B、12 C、14 D、21考点：解直角三角形。分析：根据已知做出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．解答：解：过点A做AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=QUOTE，sinC=QUOTE，AC=5，∴cosB=QUOTE=QUOTE，∴∠B=45°，∵sinC===，∴AD=3，∴CD=4，∴BD=3，则△ABC的面积是：×AD×BC=QUOTE×3×（3+4）=．故选A．点评：此题主要考查了解直角三角形的知识，做出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．8.（2011•丹东，8，3分）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（） A、6QUOTE B、4QUOTE C、6 D、4考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形。专题：计算题。分析：由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．解答：解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．故选C．点评：本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．9.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD=，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为，则点P的个数为（）A、1B、2C、3【答案】B【考点】解直角三角形；点到直线的距离．【专题】几何综合题．【分析】首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与比较得出答案．【解答】解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，

∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD=，∴∠ABD=∠ADB=45°，

∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，∴AE=AB•tan∠ABD=2•tan45°=2=2＞，

所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个，

∴CF=CD•tan∠CDF==1，所以在边BC和CD上没有到BD的距离为的点，

所以P到BD的距离为的点有2个，故选：B．

【点评】此题考查的知识点是解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．10.（2011黑龙江省哈尔滨,9，3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（） A.5 B.5 C.5 D.10考点：解直角三角形；矩形的性质。专题：计算题。分析：本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度．解答：解：因为在矩形ABCD中，所以AO=AC=QUOTEBD=BO，又因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，所以AO=AB=5，所以BD=2AO=10，所以AD2=BD2﹣AB2=102﹣52=75，所以AD=5．故选A．点评：此题考查的知识点是解直角三角形，解答此题的关键是由矩形的性质和等边三角形的性质首先得出BD=2AB=10，然后由勾股定理求得AD．二、填空题1.（2011•玉林，17，3分）如图，等边△ABC绕点B逆时针旋转30°时，点C转到C′的位置，且BC′与AC交于点D，则QUOTE的值为2﹣QUOTE．考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形。分析：等边△ABC绕点B逆时针旋转30°时，则△BCD是直角三角形，根据三角函数即可求解．解答：解：设等边△ABC的边长是a，图形旋转30°，则△BCD是直角三角形．BD=BC•cos30°=QUOTE则C′D=1﹣QUOTE=QUOTE，CD=QUOTE∴QUOTE=QUOTE=2﹣QUOTE故答案是：2﹣．点评：本题主要考查了图形旋转的性质，以及直角三角形的性质，正确确定△BCD是直角三角形是解题的关键．2.（2011江苏淮安，18，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD=，则△ABC的周长等于考点：旋转的性质；解直角三角形。分析：根据已知可以得出∠BAC=60°，而将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°，可知∠B1AD=45°，可以求出AB1=QUOTE，而AB与AB1是相等的，故可求AB，那么BC和AC可求，则△ABC的周长可求．解答：解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，则∠BAC=60°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后，∠B1AD=45°，而∠AB1D=90°，故△AB1D是等腰直角三角形，如果AD=2QUOTE，则根据勾股定理得，AB1=QUOTE那么AB=AB1=QUOTE，AC=2AB=2QUOTE，BC=QUOTE，△ABC的周长为：AB+BC+AC=QUOTE+2QUOTE+QUOTE=3QUOTE+QUOTE．故本题答案为：3QUOTE+QUOTE．点评：本题主要考查旋转和直角三角形的性质，既要弄清等腰梯形、直角梯形的判定，又要掌握有关旋转的知识，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，也是解决问题的关键．3.（2011•江苏徐州，24，8）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，OP交AB于点C，OP=13，sin∠APC=QUOTE．（1）求⊙O的半径；（2）求弦AB的长．考点：切线的性质；解直角三角形。分析：（1）由题意可推出OA⊥AP，即可推出OA的长度，即半径的长度；（2）根据题意和（1）的结论，即可推出PA=PB，∠APO=∠BPO，AC=BC=QUOTEAB，可以推出AC的长度，即可推出AB的长度．解答：解：（1）∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴∠OAP=90°，∴sin∠APO=QUOTE，∵OP=13，∴OA=5，即所求半径为5．（2）Rt△OAP中，AP=12，∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴PA=PB，∠APO=∠BPO，∴AC=BC=QUOTEAB，PC⊥AB∴sin∠APC=QUOTE，∴AC=QUOTE，∴AB=2AC=QUOTE．点评：本题主要考查切线的性质、解直角三角形，解题的关键在于切线的性质找到直角三角形，然后解直角三角形．4.（2011新疆建设兵团，13，5分）如图，∠BAC所对的弧（图中eq\o(\s\up5(⌒),BC)QUOTE）的度数为120°，⊙O的半径为5，则弦BC的长为5eq\r(3)QUOTE．考点：圆周角定理；解直角三角形．专题：探究型．分析：连接OB、OB，过O点作OD⊥BC于点D，由eq\o(\s\up5(⌒),BC)QUOTE可求出∠BOB＝120°，再由垂径定理可知BD＝eq\f(1,2)QUOTEBC，根据锐角三角函数的定义可求出BD的长，进而可得出BC的长．解答：解：连接OB、OB，过O点作，OD⊥BC于点D，∵eq\o(\s\up5(⌒),BC)＝120°，∴∠BOC＝120°，∵OD⊥BC，∴BD＝eq\f(1,2)BC，∠BOD＝eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)×120°＝60°，在Rt△OBD中，BD＝OB•sin∠BOD＝5×eq\f(eq\r(3),2)＝eq\f(eq5\r(3),2)，∴BC＝2BD＝2×eq\f(eq5\r(3),2)＝5eq\r(3)．故答案为：5eq\r(3)QUOTE．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义解答是解答此题的关键．5.如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分面积等于6cm2．考点：旋转的性质；解直角三角形．专题：计算题．分析：将△ABC绕点A逆时针旋转15°，得到∠AB′D=45°-15°=30°，利用三角函数即可求出B′D的长，然后根据直角三角形的面积公式即可求出阴影部分面积．解答：解：∵∠AB′D=∠B′AC′-∠DAC′=45°-15°=30°，

∴B′D=AB′tan30°=6×=2，

S△AB′D=×6×2=6．

故答案为：6．点评：此题考查了旋转的性质和解直角三角形的相关计算，找到图中的特殊角∠B′AD是解题的关键．6.（2011•莱芜）如图①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．考点：旋转的性质；坐标与图形性质；勾股定理。专题：规律型。分析：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，则AB=5，每旋转3次为一循环，则图③、④的直角顶点坐标为（12，0），图⑥、⑦的直角顶点坐标为（24，0），所以，图⑨、⑩10的直角顶点为（36，0）．解答：解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴图③、④的直角顶点坐标为（12，0），∵每旋转3次为一循环，∴图⑥、⑦的直角顶点坐标为（24，0），∴图⑨、⑩的直角顶点为（36，0）．故答案为：（36，0）．点评：本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，找出图形旋转的规律“旋转3次为一循环”，是解答本题的关键．7.（2011福建莆田，15，4分）如图，一束光线从A（3，3）出发，经过y轴上的点C反射后经过点B（1，0），则光线从A点到B点经过的路线长是_▲．考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：延长AC交x轴于B′．根据光的反射原理，点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．路径长就是AB′的长度．结合A点坐标，运用勾股定理求解．解答：解：如图所示，延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=4．∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．即光线从点A到点B经过的路径长为5．点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角形是解决本题关键．8.（2011福建龙岩，15，3分）如图，菱形ABCD周长为8cm．∠BAD=60°，则AC=cm．考点：菱形的性质；解直角三角形.分析：根据已知条件和菱形的性质，可推出△AOB为直角三角形，AB=2，∠OAB=30°，根据锐角三角函数推出OA的长度，即可求得AC的长度解答：解：∵菱形ABCD周长为8cm．∠BAD=60°∴△AOB为直角三角形，AB=2，∠OAB=30°，OA=OC，∴OA=QUOTE∴AC=2QUOTE故答案为2QUOTE．点评：本题主要考察菱形的性质、锐角三角函数等知识点，解题的关键是根据有关性质推出边和相关角的度数，解直角三角形．9.（2010广东佛山，13，3分）在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB=OB=4，则AD=4QUOTE；考点解直角三角形；等边三角形的判定与性质；矩形的性质分析矩形的对角线相等且互相平分，可得到△AOB是等边三角形，那么即可求得BD长，进而利用勾股定理可求得AD长．分析矩形的对角线相等且互相平分，可得到△AOB是等边三角形，那么即可求得BD长，进而利用勾股定理可求得AD长．解答解：∵四边形ABCD为矩形．∴OA=OB=OD=OC=4cm∴BD=OB+OD=4+4=8cm在直角三角形ABD中，AB=4，BD=8cm由勾股定理可知AD2=BD2﹣AB2=82﹣42=48cm∴AD=4QUOTEcm．故答案为4QUOTE．点评本题考查矩形的性质及勾股定理的运用．用的知识点为：矩形的对角线相等且互相平分．10.16、如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°=2-．【考点】解直角三角形．【专题】几何综合题．【分析】此题可设AB=AC=x，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD=AB-AD，从而求出tan15°．【解答】解：由已知设AB=AC=2x，

∵∠A=30°，CD⊥AB，

∴CD=AC=x，

则AD2=AC2-CD2=（2x）2-x2=3x2，

∴AD=x，

∴BD=AB-AD=2x-x=（2-）x，

∴tan15°===2-．故答案为：2-．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形，关键是由直角三角形中30°角的性质与勾股定理先求出CD与AD，再求出BD．三、解答题1.（2011山东济南，22，3分）如图1，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=m，延长CB至点D，使BD=AB．①求∠D的度数；②求tan75°的值．（2）如图2，点M的坐标为（2，0），直线MN与y轴的正半轴交于点N，∠OMN=75°．求直线MN的函数表达式．图1图2图1图2考点：解直角三角形；待定系数法求一次函数解析式。专题：综合题。分析：（1）在直角三角形中利用角和边之间的关系求角的度数及边长即可；（2）分别求得点M和N的坐标，利用待定系数法求函数的解析式即可．解答：解：（1）①∵BD=AB，∴∠D=∠BAD，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=30°，∴∠D=15°，②∵∠C=90°，∴∠CAD=90°﹣∠D=90°﹣15°=75°，∵∠ABC=30°，AC=m，∴BD=AB=2m，BC=m，∴cd=cb+bd=m，∴tan∠CAD=，∴tan75°=；（2）∵点M的坐标为（2，0），∠OMN=75°，∠MON=90°，∴ON=OM•tan∠OMN=，∴点N的坐标为（0，），设直线MN的函数表达式为y=kx+b，∴Q